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Hallo Matheraum Mitglieder,
ich habe mir vor kurzem das Buch "Lineare Algebra" von Beutelsspacher gekauft, als Vorbereitung für mein Mathe Studium.
Nun stoße ich aber schon im ersten Kapitel auf ein Verständnisproblem, es geht um Äquivalenzrelationen.
Die Aufgabe lautet:
Die folgenden Vorschriften definieren eine Äquivalenzrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen:
- [mm] x\sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x, y gerade
- [mm] x\sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x-y gerade
- [mm] x\sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x+y gerade
- [mm] x\sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x-y ungerade
- [mm] x\sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x+y unggerade
Man soll nun entscheiden halt welche der Vorschriften wirklich Äquivalenzrelationen definieren und welche nicht.
Ich habe halt nun geprüft, ob diese Relationen reflexiv, symmetrisch und transitiv sind, mit dem Ergebnis, dass alle diese 3 Bedingungen erfüllen und somit alle Äquivalenzrelationen seien müssen!
Im Buch steht jedoch, dass nur die nummer 2 und 3 richtig sind, und ich habe auch schon im Internet nachgeschaut, ob ich irgendwo bessere Erklärungen finde, bin jedoch immer noch nicht schlauer. Wo liegt mein Denkfehler... ich hoffe mir kann jemand helfen, da ich es unbedingt verstehen will, ist ja immerhin erst das erste Kapitel.
Vielen Dank für eure Antworten...
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Hallo info-tronic,
Du kannst Dir ja nochmal anschauen was reflexiv war.
viele Grüße
mathemaduenn
siehe auch Definition der  Äquivalenzrelation
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Mi 31.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
also zur ersten wurde ja schon gesagt : Reflexivität klappt nicht, denn für alle natürlichen Zahlen soll gelten y~y , aber was ist mit ungeraden y ?
zur vorletzten und letzten betrachten doch mal:
5~4 und 4~1 , aber folgt daraus : 5~1 ?!?
insgesamt musst du dir vor dem Studium nicht zu viel Stress machen, denn das Studium ist ja schließlich dafür da, dass du es lernst.
Dir werden noch dutzende Aufgaben begegnen, die am Anfang schwer aussehen, aber wenn man einmal den Dreh raus hat, dann klappt das schon irgendwie.
Es ist jedoch sehr lobenswert, dass du schon vorher versuchst dich einzudenken - lass dich nicht durch Schwierigkeiten beirren - die kommen sogar im Studium vor !
Stelle dann einfach ein paar Fragen hier, dann läuft schon alles peachy..
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 13:13 Mi 31.08.2005 | | Autor: | jbulling |
Hi Info-Tronic,
bist Du sicher, dass Du die Aufgabenstellung richtig aus dem Buch übertragen hast?
1 x, y gerade
2 x-y gerade
3 x+y gerade
4 x-y ungerade
5 x+y unggerade
1 ist eine Äquivalenzrelation.
Für jede gerade Zahl x erfüllt das Paar (x,x) die Bedingung, also ist die Relation reflexiv.
Für zwei gerade Zahlen x, y erfüllen sowohl das Paar (x,y) als auch das Paar (y,x) die Bedinung. Also ist die Relation symmetrisch.
Für drei Zahlen x,y,z für die das Paar (x,y) und das Paar (y,z) in der Relation enthalten sind, muß auch das Paar (x,z) in der Relation enthalten sein. Denn es müssen für die Ausgangsbedinung alle drei Zahlen gerade sein. Also ist die Relation auch tranistiv und weil sie alle drei Bedingungen erfüllt somit eine Äquivalenzrelation.
2 Ist zumindest nicht transitiv, denn es gilt 4 - 2=2 ist gerade und 5-1=4 ist gerade aber 4-1=3 ist ungerade. Damit kann es sich um keine Äquivalenzrelation handeln.
3-5 ähnlich wie bei zwei verhält es sich hier.
eigentlich ist also nur Nummer 1 eine Äquivalenzrelation.
Gruß
Jürgen
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Hallo Jürgen,
> Für jede gerade Zahl x erfüllt das Paar (x,x) die
> Bedingung, also ist die Relation reflexiv.
Die Grundmenge waren die natürlichen Zahlen.
reflexiv bedeutet jedes Element der Grundmenge steht mit sich in Relation.
1 ist aus den natürlichen Zahlen aber (1,1) nicht in der Relation.
> 2 Ist zumindest nicht transitiv, denn es gilt 4 - 2=2 ist
> gerade und 5-1=4 ist gerade aber 4-1=3 ist ungerade. Damit
> kann es sich um keine Äquivalenzrelation handeln.
Hier mußt Du schon mit der 1 weitermachen
(5,1) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (1,..) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (5,..) in R
und das klappt.
gruß
mathemaduenn
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Hallo und erstmal Danke für die vielen Antworten, ich denke ich habe es jetzt einigermaßen begriffen.
Wenn man alleine, von dem Aspekt der Reflexivität ausgeht kommen Nummer 4 und 5 schonmal nicht in Frage, weil es kein Element aus N gibt, dass die Relation erfüllt.
Bei Nummer eins bin ich mir immernoch nicht sicher, Müssen denn alle Elemte aus N die Relation erfüllen? Denn die geraden Zahlen tuen es ja, aber die ungeraden nicht. Ansonsten stimmen bei Nummer eins die Transitivität und Symmetrie ja auch, aber ebend nur bei den Geraden Zahlen, also man findet immer eine gerade Zahl, aber ich denke es soll für alle N gelten? Das müsste man mir nochmal kurz erklären, ob eine solche Relationen, für jedes Element aus N gelten muss oder nicht.
Denn ansonsten könnten doch 2 und 3 auch nicht gelten, da es Paare von Elementen gibt, die die Relation nicht erfüllen, wie z.B. (3,2) deren Differenz eine ungerade Zahl ist.
Oder muss man immer nur schauen, ob es zu jedem Element von N ein passendes Element gibt, sodass die Relation erfüllt ist?
Wäre nett wenn mir das jemand idiotensicher erklären kann, dass 4 und 5 nicht gelten, habe ich ja nun durch Reflexivität rausbekommen.
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Mi 31.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Machen wir es noch einmal ganz deutlich:
Ja, es muss in der Tat
$x [mm] \sim [/mm] x$
für alle $x [mm] \in \IN$ [/mm] gelten.
Zur Symmetrie:
Es wird nicht behauptet, dass $x [mm] \sim [/mm] y$ für alle $x,y [mm] \in \IN$ [/mm] gilt. Stattdessen wir gefordert:
Wenn $x [mm] \sim [/mm] y$ gilt, dann muss auch $y [mm] \sim [/mm] x$. gelten.
Setze also $x [mm] \sim [/mm] y$ voraus und leite daraus $y [mm] \sim [/mm] x$ her. Wenn du auch nur ein paar $(x,y) [mm] \in \IN \times \IN$ [/mm] findest mit $x [mm] \sim [/mm] y$, aber $y [mm] \not\sim [/mm] x$, dann ist die Relation nicht symmetrisch.
Ähnlich bei der Transitivität:
Wenn $x [mm] \sim [/mm] y$ und $y [mm] \sim [/mm] z$ gelten, dann muss auch $x [mm] \sim [/mm] z$ gelten.
Ist es jetzt klarer? 
Viele Grüße
Julius
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Ja vielen Dank jetzt ist es wunderschön klar :)
Ich frage mich warum man das nicht so einfach in einem Mathebuch erklären kann, dennoch vielen Dank.
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