Äquivalenzrelationen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen, dass es sich bei folgender Relation R um eine Äquivalenzrelation auf der Menge M handelt. Zudem muss die Äquivalenzklasse des Elemente x beschrieben werden.
M := Z; R := {(m,n) [mm] \in [/mm] Z x Z | [mm] \exists [/mm] k [mm] \in [/mm] Z : m -n = k * p}, wobei p [mm] \in [/mm] N fest gewählt sei; und x := 1. |
Wie kann ich bei dieser Aufgabe vor gehen?
Der ganze AUsdruck sieht für mich so Komplex aus, dass ich nicht mal weiß wie ich anfangen kann.
Eine Menge (M) setzt sich doch normalerweise aus Elementen zusammen und eine Relation (R) aus Tupel.
Also z.B.:
M= {1,2,3,4}
R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)....}
Was wären die Elemente und Tupel im Zusammenhang mit der gestellten Aufgabe und wie erkenne ich diese?
Vielleicht bringt mich das etwas weiter, das Ganze zu begreifen.
Ich bin dankbar für jede Hilfe!!!
Viele Grüße
Thorsten
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1848365#post1848365
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 So 03.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Zeigen, dass es sich bei folgender Relation R um eine
> Äquivalenzrelation auf der Menge M handelt. Zudem muss die
> Äquivalenzklasse des Elemente x beschrieben werden.
>
> M := Z; R := {(m,n) [mm]\in[/mm] Z x Z | [mm]\exists[/mm] k [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Z : m -n = k
> * p}, wobei p [mm]\in[/mm] N fest gewählt sei; und x := 1.
>
> Wie kann ich bei dieser Aufgabe vor gehen?
> Der ganze AUsdruck sieht für mich so Komplex aus, dass
> ich nicht mal weiß wie ich anfangen kann.
>
> Eine Menge (M) setzt sich doch normalerweise aus Elementen
> zusammen und eine Relation (R) aus Tupel.
> Also z.B.:
> M= {1,2,3,4}
> R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)....}
>
> Was wären die Elemente und Tupel im Zusammenhang mit der
> gestellten Aufgabe und wie erkenne ich diese?
Die Menge M ist die Menge [mm] \IZ [/mm] der ganzen Zahlen.
R besteht aus denjenigen Paaren (m,n) [mm] \in \IZ \times \IZ [/mm] mit der Eigenschft:
m-n ist teilbar durch p.
FRED
> Vielleicht bringt mich das etwas weiter, das Ganze zu
> begreifen.
>
> Ich bin dankbar für jede Hilfe!!!
>
> Viele Grüße
> Thorsten
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1848365#post1848365
|
|
|
| |
|
Kannst Du mir genau erklären, wie Du das ermittelt hast und was das nun genau aussagt (m-n ist teilbar durch p)?
Oder mir allgemein erklären wie ich bei solchen Aufgaben vorgehen muss?
Ich stehe hier komplett auf dem Schlauch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 So 03.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Kannst Du mir genau erklären, wie Du das ermittelt hast
> und was das nun genau aussagt (m-n ist teilbar durch p)?
Es ist doch (m.n) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] $ [mm] \exists [/mm] $ k $ [mm] \in [/mm] $ Z : m -n = k * p
Also: (m.n) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] m-n ist ein ganzzahliges Vielfache von p.
Beispiel: p=2.
(m.n) [mm] \in [/mm] R [mm] \gdw [/mm] m-n ist gerade
(4,2) [mm] \in [/mm] R
(5,2) [mm] \notin [/mm] R.
> Oder mir allgemein erklären wie ich bei solchen Aufgaben
> vorgehen muss?
Das machen wir später, wenn Du die Relation R verstanden hast.
FRED
>
> Ich stehe hier komplett auf dem Schlauch.
|
|
|
| |
|
Ich glaube jetzt gab es einen kurzen Funken, stimmen diese Annahmen:
exists k [mm] \in [/mm] Z definiert den Ausdruck "m-n". "k" repräsentiert somit "m-n".
Da p frei wählbar ist, wird k immer mit dem Wert von p multiplizert.
Die Menge [mm] \in [/mm] R ist somit immer äquivalent mit k*p bzw. (m-n) * p
In deinem Beispiel müsste somit das Ergebnis 4 -2 multipliziert mit p muss wieder wieder 4 ergeben. Wäre p = 3, würde (6,4) [mm] \in [/mm] R sein.
Ist das soweit korrekt?
Falls ja, wie kann ich nun z.B. Reflexivität beweisen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 So 03.11.2013 | | Autor: | chrisno |
> Ich glaube jetzt gab es einen kurzen Funken, stimmen diese
> Annahmen:
>
> exists k [mm]\in[/mm] Z definiert den Ausdruck "m-n".
nein
> "k" repräsentiert somit "m-n".
nein
> Da p frei wählbar ist,
nein
> wird k immer mit dem Wert von p multiplizert.
>
$p [mm] \in \IN$ [/mm] fest gewählt heißt: ein p, aber da wir es im Moment nicht 7 nennen wollen, weil die ganze Chose auch für 27 gelten soll, lassen wir es lieber bei p. Nur ändert sich der Wert von p in alen folgenden Betrachtungen nicht.
Gegeben sind zwei Elemente der Menge: n und m.
Wenn es ein k gibt, so dass m-n = k*p (mit dem p von eben), dann ist dieses Paar in R, wenn es kein k gibt, dann eben nicht.
Für andere m, n darf das k einen anderen Wert haben.
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für Deine Richtigstellung.
Angenommen :
n=4
m=8
8-4 = 4
k * p = 4
Angenommen p = 2 kann es ein ein k geben welches m-n ausdrücken kann.
Somit ist m,n [mm] \in [/mm] R
Liege ich da jetzt richtig?
|
|
|
| |
|
Ja, korrekt. Du bist aber noch sehr unsicher. Probiere mal bitte Folgendes:
m=7, p=5.
Gib mal mehrere verschiedene Zahlenpaare für m=7 an.
Dann schreib mal zusätzlich andere auf, die auch zu diesem R gehören, bei denen aber m [mm] \ne [/mm] 7 ist. Wenn dir das gelingt, hast du die Relation verstanden.
Zusatzfrage: Wenn (m,n) ein Zahlenpaar im Koordinatensystem ist, welche allgemeine Lage haben dann die Punkte zueinander, die zu R gehören?
|
|
|
| |
|
OK, ich probiere es mal:
für m=7, p=5
n = 3
7 - 3 = 4
k * 5 = 4, 4/5 => ungerade
(m,n) [mm] \not\in [/mm] R
n=2
7-2 = 5
k * 5 = 5, 5/5 =1 => gerade, natürliche Zahl
(m,n) [mm] \in [/mm] R
n=6
7-6=1
k*5=1, 1/5 => ungerade
(m,n) [mm] \not\in [/mm] R
für m [mm] \not= [/mm] 7, p=5
m=12
n=2
12-2=10
k * 5 = 10 => 10/5 = 2 => gerade
(m,n) [mm] \in [/mm] R
m=20
n=5
20-5=15
k*5=15 => 15/5 = 3 => gerade
(m,n) [mm] \in [/mm] R
m=10
n=2
10-2 = 8
k* 5 = 8 => 8/5 => ungerade
(m,n) [mm] \not\in [/mm] R
Es gibt somit immer einen Teiler von p, wenn das Ergebnis von (m-n)/p ungerade ist, dann sind die Elemente (m,n) [mm] \not\in [/mm] R ansonsten (m,n) [mm] \in [/mm] R
Bzgl. der Zusatzfrage:
Ich habe diese nich ganz Verstanden, aber stimmt evtl. folgendes:
(m,n)
x=(k*p)+n
y=n
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Mo 04.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
als ungerade bezeichnet man Zahlen der Form 2n+1!
mit ungerade meinst du nicht ganz?
warum schreibst du nicht einfach, wenn m-n durch p teilbar ist? teilbar ist bei ganzen Zahlen ein fester Begriff, und heisst eben a aus [mm] \IZ [/mm] ist durch p teilbar, wenn a=k*p ist k aus [mm] \IZ
[/mm]
Kannst du jetzt alle Zahlen aufschreiben, die zu 1 in Relation stehen mit p=7, mit p=32 mit einfach p?
dasselbe mit allen Zahlen die zu 7 äquivalent sind mit p=7
alle Zahlen die mit 1 äquivalent sind mit p=1, mit p=2
dann hast du's endgültig kapiert!
dann Reflexiv. n-n=k*p was gilt da?
Sym n-m=k*p was ist dann mit m-n?
Gruss leduart
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Sorry, ich meinte natürlich "nicht ganz".
Die zu 1 in Relation stehen:
Meinst du damit z.B:
p=7
m=1
n=8
(1,8) [mm] \in [/mm] R
p=32
m=1
n=33
(1,33) [mm] \in [/mm] R
p=p
m=1
n=p+1
(1,p+1) [mm] \in [/mm] R
"Alle Zahlen die mit 7 bzw. 1 äquivalent sind."
Hier tue ich mir noch etwas schwer. Kannst du mir hier noch einen Tipp geben wie ich da ansetzen kann?
Bzgl. n-n=k*p
Da müsste gelten 0 = k * 0
Aber wieso beweißt das Reflexivität?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Mo 04.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit p=2 sind alle ungeraden Zahlen zu 1 äquivalent.
mit p=7 sind alle Zahlen der Form 1+n*7 [mm] n\in\IZ [/mm] äqivalent
SymL
n ist aquivalent zu n für alle p weil n-n=0*p d. h. es gibt ein k hier k=0
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Reflexiv heißt doch, dass jedes Objekt der Grundmenge mit sich selbst in Relation steht. Wie wird das von n-n=0*p bewiesen?
Ich begreife hier irgendwie noch nicht den Zusammenhang.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:05 Di 05.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Reflexiv heißt doch, dass jedes Objekt der Grundmenge mit
> sich selbst in Relation steht. Wie wird das von n-n=0*p
> bewiesen?
Das steht doch fast da !
Ist n [mm] \in \IZ, [/mm] so ist
n-n=0*p, also
(n,n) [mm] \in [/mm] R.
FRED
>
> Ich begreife hier irgendwie noch nicht den Zusammenhang.
|
|
|
| |
|
Hallo Thorsten,
kann mich jetzt erst wieder melden, da ich den ganzen Tag beschäftigt war.
Die letzten Zeilen lassen erkennen, dass du die Tupelbildung verstanden hast. Nun zu deinen allgemeinen Fragen:
Zunächst hast du eine beliebige Menge M, hier [mm] M=\IZ. [/mm] Aus den Elementen von M bildest du auf beliebige Weise bestimmte Tupel und packst diese in R. Dadurch bildest du mit Hilfe von R eine Relation: Ist [mm] (m,n)\in [/mm] R, so steht m in Relation zu n, sonst nicht. Beispiel: Relation R soll heißen "ist Teiler von", M = [mm] \IN. [/mm] Dann gehören z.B. alle (1,x) in R, da 1 Teiler von allen x [mm] \in \IN [/mm] ist, (5,15) auch, (15,5) aber nicht, ebenso nicht (7,3) und nicht (2,11).
Für die Relation der Aufgabe haben alle Elemente die Form (m,m+k*p), wobei p vorher fest gewählt wurde. Für p=5 wären also (3,3), (33,-2) und (13,23) in R, (2,8), (-6,-7) und (5,3) nicht.
Du sollst nun zeigen, dass diese Relation R eine Äquivalenzrelation ist, also:
- zu jedem x [mm] \in [/mm] M gehört (x,x) zu R. (Wieso?)
- wenn (m,n) in R ist, so auch (n,m) (Wieso?)
- wenn (r,m) in R ist und (m,n), dann auch (r,n) (Wieso?)
Für eine Äquivalenzrelation gilt nämlich: Sie zerlegt M in lauter Teilmengen, die miteinander keine gemeinsamen Elemente haben und zusammen M bilden. Für p=5 gehören in eine gemeinsame Klasse:
{0,5,-5,10,-10,15,-15,...}, in eine andere
{1,6,-4,11,-9,16,-14,...}, in eine andere
{2,7,-3,12,-8,17,-13,...}, in eine andere
{3,8,-2,13,-7,18,-12,...}, in eine andere
{4,9,-1,14,-6,19,-11,...}.
Andere Klassen gibt es nicht. Du kannst jetzt aus jeder der 5 Klassen irgendeinen Vertreter wählen, und der steht stellvertretend für die ganze Klasse.
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für Deine Mühe und ausführliche Antwort.
Das hat mich glaube ich echt ein ganzes Stück weiter gebracht!
Im folgenden habe ich versucht alles nachzuvollziehen:
geg.:
M:=Z; [mm] R:={(m,n)\inZxZ | \existsk\in Z;m-n=k*p}, [/mm] wobei p [mm] \in [/mm] N fest gewählt sei, und x:=1
1. Wir haben M:= eine beliebige Menge aus den ganzen Zahlen
2. Aus M werden auf beliebige Weise Tupel gebildet und als R deklariert
3. Sobald (m,n) [mm] \in [/mm] R, steht m zu n in Relation (ansonsten nicht)
"m" ist Teiler von "n"
Relation R = "ist teiler von"
Bsp:
M:= N (Natürliche Zahlen)
[mm] (1,x)\inR, [/mm] da x/1; x [mm] \in [/mm] N
[mm] (5,15)\inR, [/mm] da 15/5=3 und 3 [mm] \in [/mm] N
[mm] (15,5)\not\inR, [/mm] da 5/15=0,333... [mm] \not\in [/mm] N
[mm] (7,3)\not\inR... [/mm] "
[mm] (2,11)\not\inR... [/mm] "
zur geg. Aufgabe:
Relation dann, wenn
m-n=k*p
m= k* p +n
m-n=k*p | *(-1)
-m+n =-k * (-p) | +m
n= k*p + m
Beispiel:
p=5
(3,k*5+3)
k=0
[mm] (3,3)\inR
[/mm]
(33,k*5+3)
k=-1
[mm] (33,-2)\inR
[/mm]
Was ich hier nicht verstehe: Da 33 kein Teiler von (-2) ist (es kommt keine Ganze Zahl heraus), dürfte es doch auch laut der De "ist ein teiler von"-Definition nicht in R sein. Wieso ist Sie es dann doch? Das selbe gilt für das nächste:
(13, k *5+3)
k=4
[mm] (13,23)\inR
[/mm]
1. Zu jedem x [mm] \in [/mm] M gehört (x,x) zur Relation (xRx)
m=k*p+n
n=k*p+m
z.B.: p=7, m=2
2-2=k*7
0=0*7
(m,m) oder (n,n)
m=k*p+m => m-m k*p
n=k*p+n => n-n = k*p
mRm gilt, da m-m=0*p, somit ist R reflexiv.
nRn gilt, da n-n=0*p, somit ist R reflexiv.
2. Wenn (m,n) in Relation ist, so auch (n,m)
Wenn (n,m) in Reltation (nRm), muss gelten n-m = k * p, wobei k [mm] \in [/mm] Z.
Da k [mm] \in [/mm] Z mit m-n=k*p folgt,
m-n = (-k) * p | : (-1)
-m+n = k *p
n-m=k*p
(n,m) in Relation => somit symmetrisch
3. Wenn (r,m) in Relation ist und (m,n), dann auch (r,n)
mRn => m-n = k *p
rRm => r-m= k' * p
r-n = m-n + r-m
r-n = k *p + k' * p
r-n = (k+ k')*p
rRn und ist somit Transitiv.
Hier verstehe ich nicht, wo plötzlich das "r" her kommt und wieso das Transitivität beweist?
Bzgl. Äquivalenzklasse.
In der Aufgabenstellung ist verlangt, die Äquivlanzklasse des angegebenen Elements x zu beschreiben. x ist definiert als 1.
Mir ist auch mit deiner Aufstellung noch nicht gans Schlüssig wie ich hier vorgehen soll.
Sind die foglenden Definitionen von dir eigentlich allgemeingültig und bei jeder Relation anwendbar?
- zu jedem x [mm] \in [/mm] M gehört (x,x) zu R. (Wieso?)
- wenn (m,n) in R ist, so auch (n,m) (Wieso?)
- wenn (r,m) in R ist und (m,n), dann auch (r,n) (Wieso?)
Nochmals vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Di 05.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> geg.:
> M:=Z; [mm]R:={(m,n)\inZxZ | \existsk\in Z;m-n=k*p},[/mm] wobei p [mm]\in[/mm]
> N fest gewählt sei, und x:=1
>
> 1. Wir haben M:= eine beliebige Menge aus den ganzen
> Zahlen
Nein, M ist die Menge aller ganzen Zahlen da steht doch [mm] M=\IZ [/mm] und nicht [mm] M\subset \IZ
[/mm]
> 2. Aus M werden auf beliebige Weise Tupel gebildet und als
> R deklariert
"beliebig" ist nicht gut, die Tupel müssen wirklich eine Relation bilden
> 3. Sobald (m,n) [mm]\in[/mm] R, steht m zu n in Relation (ansonsten
> nicht)
>
> "m" ist Teiler von "n"
> Relation R = "ist teiler von"
das ist eine mögliche Relation, aber die hat doch nichts mit der gegebenen zu tun, warum führst du die hier auf? das führt nur zu Verwirrung!
> Bsp:
> M:= N (Natürliche Zahlen)
>
> [mm](1,x)\inR,[/mm] da x/1; x [mm]\in[/mm] N
> [mm](5,15)\inR,[/mm] da 15/5=3 und 3 [mm]\in[/mm] N
> [mm](15,5)\not\inR,[/mm] da 5/15=0,333... [mm]\not\in[/mm] N
> [mm](7,3)\not\inR...[/mm] "
> [mm](2,11)\not\inR...[/mm] "
>
> zur geg. Aufgabe:
> Relation dann, wenn
>
> m-n=k*p
> m= k* p +n
>
> m-n=k*p | *(-1)
> -m+n =-k * (-p) | +m
> n= k*p + m
>
> Beispiel:
> p=5
>
> (3,k*5+3)
> k=0
> [mm](3,3)\inR[/mm]
>
> (33,k*5+3)
> k=-1
> [mm](33,-2)\inR[/mm]
>
> Was ich hier nicht verstehe: Da 33 kein Teiler von (-2) ist
> (es kommt keine Ganze Zahl heraus), dürfte es doch auch
> laut der De "ist ein teiler von"-Definition nicht in R
> sein. Wieso ist Sie es dann doch? Das selbe gilt für das
> nächste:
hier kommt deine Verwechsung von verschiedenen R der gegebenen und der Teiler von Relation, die verschieden sind!
33-(-2)=35 ist doch durch 5 Teilbar.
die gegebene Relation hat nur in Ausnahmefällen was mit Teiler von zu tun!
wir hatten doch nun eigentlich genug Beispiele!, ieh die alten posts!
> (13, k *5+3)
> k=4
> [mm](13,23)\inR[/mm]
>
> 1. Zu jedem x [mm]\in[/mm] M gehört (x,x) zur Relation (xRx)
>
> m=k*p+n
> n=k*p+m
> z.B.: p=7, m=2
> 2-2=k*7
> 0=0*7
>
> (m,m) oder (n,n)
> m=k*p+m => m-m k*p
> n=k*p+n => n-n = k*p
>
> mRm gilt, da m-m=0*p, somit ist R reflexiv.
> nRn gilt, da n-n=0*p, somit ist R reflexiv.
>
> 2. Wenn (m,n) in Relation ist, so auch (n,m)
>
> Wenn (n,m) in Reltation (nRm), muss gelten n-m = k * p,
> wobei k [mm]\in[/mm] Z.
> Da k [mm]\in[/mm] Z mit m-n=k*p folgt,
> m-n = (-k) * p | : (-1)
> -m+n = k *p
> n-m=k*p
> (n,m) in Relation => somit symmetrisch
>
> 3. Wenn (r,m) in Relation ist und (m,n), dann auch (r,n)
>
> mRn => m-n = k *p
> rRm => r-m= k' * p
> r-n = m-n + r-m
> r-n = k *p + k' * p
> r-n = (k+ k')*p
>
> rRn und ist somit Transitiv.
>
> Hier verstehe ich nicht, wo plötzlich das "r" her kommt
> und wieso das Transitivität beweist?
> Was willst du denn mit transitiv zeigen, schreib mal auf was Transitiv genau meint.
später weiter, ich muß weg
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ich befürchte, dass ich dich mit meinen Beispielen mehr verwirrt als dir geholfen habe. Aber: Man erkennt an deiner Reaktion deine Schwierigkeiten und kann dann hoffentlich besser klären.
- Eine Relation kann etwas mit Teilbarkeit zu tun haben, muss es aber gar nicht. z.B. gehören zur Relation "ist kleiner als" die Paare (41,47), und da ist gar nichts mit Teilbarkeit.
- Die drei Eigenschaften
- zu jedem x [mm]\in[/mm] M gehört (x,x) zu R.
- wenn (m,n) in R ist, so auch (n,m)
- wenn (r,m) in R ist und (m,n), dann auch (r,n)
beschreiben eine besondere Sorte von Relationen, nämlich die Äquivalenzrelationen. Und danach war ja in der Aufgabe gefragt.
Ich schreibe dir nun nochmal sauber auf, was hier zu tun ist, aber etwas umgestellt und damit einfacher:
Gegeben: ein festes p [mm] \in \IN [/mm] (oder [mm] \IZ).
[/mm]
(m,n) gehört zu R genau dann, wenn m-n =k*p für ein k [mm] \in \IZ [/mm] ist. Das ist nun gleichbedeutend mit: m=n+p*k, und das verwende ich jetzt.
- zu jedem x [mm]\in[/mm] M gehört (x,x) zu R, denn
für x wähle ich k=0, dann ist x=x+0*p
- wenn (m,n) in R ist, so auch (n,m) , denn
wenn (m,n) in R ist, so gibt es ein k [mm] \in \IZ [/mm] mit m=n+p*k, also
m-p*k=n, also n=m+p*(-k), und -k [mm] \in \IZ. [/mm] Also ist auch das Paar (n,m) in R
Hinweis: ich habe die Gleichung nicht mit -1 multipliziert, sondern k durch ein k'=-k ersetzt. müsste k aus [mm] \IN [/mm] sein und nicht aus [mm] \IZ, [/mm] wäre k' nicht ajus [mm] \IN [/mm] und das Ganze würde nicht funktionieren.
- wenn (r,m) in R ist und (m,n), dann auch (r,n), denn
wenn (r,m) in R ist und (m,n), dann ist [mm] r=m+p*k_1 [/mm] und [mm] m=n+p*k_2, [/mm] also ist [mm] r=\underbrace{n+p*k_2}_{m}+p*k_1 =n+p*(k_2+k_1)=n+p*k, [/mm] und weil [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] aus [mm] \IZ [/mm] sind, ist es auch k. Also ist auch (r,n) in R.
|
|
|
|
