Äquivalenzumformung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:04 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Klerk91 |
Die Aufgabe mag dem ein oder anderen furchtbar trivial vorkommen, aber ich wollte einfach mal fragen, was alle Äquivalenzumformungen sind?
Potenzieren und Radizieren schoneinmal nicht.
Grundrechenarten sind klar.
Aber wie stehts mit Integrieren, differenzieren und logarithmieren?
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Hallo,
logarithmieren ist eine Äquivalenzumformung.
Ich meine, dass die Anwendung einer bijektiven Funktion immer auch eine Äquivalenzumformung ist.
$\ [mm] \lg(x) [/mm] = [mm] \lg(y) \gdw [/mm] x = y $
Es ist $\ [mm] f:\IR^+ \to \IR\ [/mm] , \ \ x [mm] \to \lg(x) [/mm] $ bijektiv mit der Umkehrfunktion $\ [mm] f^{-1}:\IR \to \IR^+\ [/mm] , \ \ x [mm] \to e^x [/mm] $.
Differenzieren ist hingegen keine Äquivalenzumformung.
Bsp: $\ g: [mm] \IR \to \IR [/mm] \ , \ \ x [mm] \to [/mm] a $ für ein festes $\ a [mm] \in \IR [/mm] $.
Dann ist die Ableitung $\ g'(x) = 0 $ für alle $\ x [mm] \in \IR [/mm] $. Der Rückschluss gilt hingegen nicht.
Gruß
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Sa 13.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Die Aufgabe mag dem ein oder anderen furchtbar trivial
> vorkommen, aber ich wollte einfach mal fragen, was alle
> Äquivalenzumformungen sind?
Ich gehe mal davon aus, dass du Äquivalenzumformungen von Gleichungen reeller Zahlen meinst. Dann erscheint mir dieses Problem alles andere als trivial: Ich vermute, dass es gar nicht möglich ist, ALLE Äquivalenzumformungen zu erfassen. (Dazu müsste man sicherlich erst einmal präzisieren, was für Gleichungen zugelassen sein sollen.) Vermutlich interessieren dich aber ohnehin eher "gängige" Äquivalenzumformungen.
> Potenzieren und Radizieren schoneinmal nicht.
Kommt darauf an: Potenzieren mit einer ungeraden natürlichen Zahl ist sehr wohl eine Äquivalenzumformung. Unter der Voraussetzung, dass beide Seiten der Gleichung nicht negativ sind, ist auch Potenzieren mit einer geraden natürlichen Zahl ungleich 0 eine Äquivalenzumformung.
Beispiel: Für [mm] $x\ge0$ [/mm] kannst du die Gleichung [mm] $\wurzel [/mm] x=3$ (die für $x<0$ überhaupt keinen Sinn ergäbe) äquivalent umformen zu [mm] $(\wurzel x)^2=3^2$, [/mm] was nichts anderes als $x=9$ besagt.
Radizieren kannst du natürlich nur, wenn beide Seiten nicht negativ sind. Unter dieser Voraussetzung ist das Radizieren sehr wohl eine Äquivalenzumformung.
Beispiel: [mm] $x^2=25$ [/mm] ist äquivalent zu [mm] $\wurzel{x^2}=\wurzel{25}$, [/mm] also zu $|x|=5$, was wiederum äquivalent zu $x=5$ oder $x=-5$ ist. Beachte: [mm] $\wurzel{x^2}$ [/mm] ist i.A. nicht $x$, sondern $|x|$.
> Grundrechenarten sind klar.
Bei Multiplikation und Division immer aufpassen: Nur mit Termen ungleich 0 ergeben sich Äquivalenzumformungen.
> Aber wie stehts mit Integrieren, differenzieren und
> logarithmieren?
Beim Logarithmieren solltest du übrigens immer aufpassen: Es ist nur unter der Voraussetzung, dass beide Seiten positiv sind, möglich. In diesem Fall liegt, wie ChopSuey ausgeführt hat, eine Äquivalenzumformung vor.
Wenn du vom Differenzieren und Integrieren schreibst, meinst du nun offenbar nicht mehr Gleichheiten von Zahlen, sondern Gleichheiten von Funktionen. Wie ChopSuey erklärt hat, gilt für differenzierbare Funktionen [mm] $f,g:\IR\to\IR$ [/mm] i.A. NICHT [mm] $f=g\gdw [/mm] f'=g'$.
Beim Integrieren, weiß ich nicht genau, was du meinst:
1. Möglichkeit: Seien [mm] $f,g:[a,b]\to\IR$ [/mm] Riemann-integrierbar. Dann gilt i.A. NICHT [mm] $f=g\gdw\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{g(x) dx}$. [/mm] Es gibt viele verschiedene Riemann-integrierbare Funktionen mit gleichem Integral.
2. Möglichkeit: Seien [mm] $f,g:I\to\IR$, [/mm] wobei I ein Intervall reeller Zahlen sei, Funktionen mit Stammfunktionen F und G. Dann gilt i.A. NICHT [mm] $f=g\gdw [/mm] F=G$. Die Stammfunktionen sind nämlich nur bis auf eine Konstante eindeutig.
Viele Grüße
Tobias
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