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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Blefix |
| Aufgabe | Es sei R ein Integritätsbereich. Wir definieren einen Ring
Qout (R) [mm] :=\{\bruch{f}{g} | f,g \in R, g \not= 0\}/\sim
[/mm]
als Menge aller formalen Ausdrücke der Form [mm] \bruch{f}{g} [/mm] mit folgender Äquvalenzrelation:
[mm] \bruch{f}{g} \sim \bruch{f'}{g'} [/mm] gdw. fg' = f'g. Beweisen Sie, dass obige Relation eine Äquvalenzrelation ist.
Zeigen SIe weiter, dass Qout(R) ein Körper ist. |
Guten Abend
Grübel über dieser Aufgabe.
Klar ist natürlich, um eine Äquvalenzrelation zu beweisen muss ich
1) Reflexivität: a [mm] \sim [/mm] a
2) Symmetrie: a [mm] \sim [/mm] b => b [mm] \sim [/mm] a
3) Transitivität: a [mm] \sim [/mm] b und b [mm] \sim [/mm] c => a [mm] \sim [/mm] c
zeigen.
So weit, so gut.
Für 1) müsste ich also zeigen für ein a= [mm] \bruch{f}{g} [/mm] gilt:
[mm] \bruch{f}{g} \sim \bruch{f}{g}
[/mm]
Für 2) müsste ich zeigen a= [mm] \bruch{f}{g}, [/mm] b= [mm] \bruch{f'}{g'}:
[/mm]
[mm] \bruch{f}{g} \sim \bruch{f'}{g'} [/mm] => [mm] \bruch{f'}{g'} \sim \bruch{f}{g}
[/mm]
Für 3) müsste ich zeigen [mm] a=\bruch{f}{g}, b=\bruch{f'}{g'}, c=\bruch{f''}{g''}:
[/mm]
[mm] \bruch{f}{g} \sim \bruch{f'}{g'} [/mm] und [mm] \bruch{f'}{g'} \sim \bruch{f''}{g''} [/mm] => [mm] \bruch{f}{g} \sim \bruch{f''}{g''}
[/mm]
für [mm] \bruch{f}{g} [/mm] gelten die obigen Gesetze. Wenn ich die anwende müsste es wahrscheinlich nur ausschreiben sein. Ich kann damit nur nicht so viel anfangen, da ich mir nicht so sicher bin, was beispielsweise fg'=f'g bedeutet, wie dieser Strich definiert ist.
Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen und nen Tipp geben.
Danke Blefix
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Hallo und guten Morgen,
> Es sei R ein Integritätsbereich. Wir definieren einen Ring
> Qout (R) [mm]:=\{\bruch{f}{g} | f,g \in R, g \not= 0\}/\sim[/mm]
>
> als Menge aller formalen Ausdrücke der Form [mm]\bruch{f}{g}[/mm]
> mit folgender Äquvalenzrelation:
> [mm]\bruch{f}{g} \sim \bruch{f'}{g'}[/mm] gdw. fg' = f'g. Beweisen
> Sie, dass obige Relation eine Äquvalenzrelation ist.
> Zeigen SIe weiter, dass Qout(R) ein Körper ist.
> Guten Abend
>
> Grübel über dieser Aufgabe.
>
> Klar ist natürlich, um eine Äquvalenzrelation zu beweisen
> muss ich
>
> 1) Reflexivität: a [mm]\sim[/mm] a
> 2) Symmetrie: a [mm]\sim[/mm] b => b [mm]\sim[/mm] a
> 3) Transitivität: a [mm]\sim[/mm] b und b [mm]\sim[/mm] c => a [mm]\sim[/mm] c
>
> zeigen.
>
> So weit, so gut.
>
> Für 1) müsste ich also zeigen für ein a= [mm]\bruch{f}{g}[/mm]
> gilt:
> [mm]\bruch{f}{g} \sim \bruch{f}{g}[/mm]
>
Genau, und jetzt verwende die definition von [mm] \sim, [/mm] die Dir liefert:
[mm] \bruch{f}{g} \sim \bruch{f}{g}
[/mm]
genau dann, wenn
fg=fg,
was ja in der Tat so ist, womit also die Reflexivität gezeigt ist.
fg ist dabei das Produkt von f und g mittels der Multiplikation des Ringes,
und hier hast Du obige Definition halt auf f=f', g=g' angewandt.
> Für 2) müsste ich zeigen a= [mm]\bruch{f}{g},[/mm] b=
> [mm]\bruch{f'}{g'}:[/mm]
> [mm]\bruch{f}{g} \sim \bruch{f'}{g'}[/mm] => [mm]\bruch{f'}{g'} \sim \bruch{f}{g}[/mm]
>
d.h. per def. von [mm] \sim, [/mm] dass also
fg' = gf' genau dann, wenn f'g=gf' - d.h. letzteres ''genau dann'' musst Du zeigen, wenn Du Symmetrie nachweisen
möchtest.
Schau mal, ob es jetzt klappt.
Viel Erfolg wünscht
Mathias
> Für 3) müsste ich zeigen [mm]a=\bruch{f}{g}, b=\bruch{f'}{g'}, c=\bruch{f''}{g''}:[/mm]
>
> [mm]\bruch{f}{g} \sim \bruch{f'}{g'}[/mm] und [mm]\bruch{f'}{g'} \sim \bruch{f''}{g''}[/mm]
> => [mm]\bruch{f}{g} \sim \bruch{f''}{g''}[/mm]
>
> für [mm]\bruch{f}{g}[/mm] gelten die obigen Gesetze. Wenn ich die
> anwende müsste es wahrscheinlich nur ausschreiben sein. Ich
> kann damit nur nicht so viel anfangen, da ich mir nicht so
> sicher bin, was beispielsweise fg'=f'g bedeutet, wie
> dieser Strich definiert ist.
>
> Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen und
> nen Tipp geben.
>
> Danke Blefix
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Blefix |
Guten Morgen,
danke für deiner ausführliche Antwort. Ich werd mich gleich ran setzen und dann wird das schon klappen.
Schönen Tag noch Blefix
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