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Äußeres Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:06 Mi 03.11.2021
Autor: emmathe

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo, ich besuche die Vorlesung Analysis 3 und wir haben schon äußere Maße eingeführt. Es gibt da ein paar Sachen im Skript, die ich nicht wirklich verstehe und hoffe, dass mir jemand hier helfen kann :-)

Ein äußeres Maß haben wir wie folgt definiert:


[Äußeres Maß]

Gegeben seien

* eine nicht-leere Menge $X [mm] \neq \emptyset$ [/mm]
* eine Funktion [mm] $\mu:P(X) \rightarrow [/mm] [0, [mm] \infty]$ [/mm]

a. Die Funktion [mm] $\mu$ [/mm] heißt dann Maß auf $X$, falls:

1.) [mm] $\mu(\emptyset) [/mm] = 0$
2.) [mm] $\mu(A) \le \sum\limits_{i \in \mathbb{N}} \mu(A_{k})\quad [/mm] A [mm] \subseteq \bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} A_{i} \subseteq [/mm] X$

b. Für ein $A [mm] \subseteq [/mm] X$ heißt die Funktion [mm] $\mu\;\lfloor [/mm] A: P(X) [mm] \rightarrow [/mm] [0, [mm] \infty], [/mm] B [mm] \mapsto \mu(B \cap [/mm] A)$ die Restriktion von [mm] $\mu$ [/mm] auf $A$.

c. Eine Menge $A [mm] \subseteq [/mm] X$ heißt [mm] $\mu$ [/mm] - messbar, falls [mm] $\mu(S) [/mm] = [mm] \mu(S \cap [/mm] A) + [mm] \mu(S \cap A^{c})\quad \forall [/mm] S [mm] \subseteq [/mm] X$


Dann hatten wir noch die Bemerkung:

1. Üblicherweise wird [mm] $\mu$ [/mm] in obiger Definition ein äußeres Maß genannt, und die Einschränkung von [mm] $\mu$ [/mm] auf die meßbaren Teilmengen ein Maß genannt.

2. Wegen der Subadditivität, genügt es für die Messbarkeit [mm] $\mu(S) \ge \mu(S \cap [/mm] A) + [mm] \mu(S \cap A^{c})\quad \forall [/mm] S [mm] \subseteq [/mm] X, [mm] \mu(S) [/mm] < [mm] \infty$ [/mm]

3. $A [mm] \subseteq [/mm] X$ ist genau dann [mm] $\mu$ [/mm] - meßbar, wenn $X - A$ meßbar bezüglich [mm] $\mu$ [/mm] ist.
Weiter sind die [mm] $\mu$ [/mm] - messbaren Mengen für alle $S [mm] \subseteq [/mm] X$ auch [mm] $(\mu \lfloor [/mm] S) - meßbar.

4. Ist [mm] $\mu(A) [/mm] = 0$, so ist $A$ meßbar bezüglich [mm] $\mu$. [/mm] Weiter heißt eine [mm] $\mu$ [/mm] - messbare Menge $A [mm] \subseteq [/mm] X$ lokale [mm] $\mu$ [/mm] - Nullmenge, falls

[mm] $\forall\; [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A$ meßbar bezgl [mm] $\mu: \mu(B) [/mm] = 0$ oder [mm] $\mu(B) [/mm] = [mm] \infty$. [/mm]



______________________

Dazu habe ich ein paar Fragen:

1. Frage: Der Wertebereich von [mm] $\mu$ [/mm] ist das Intervall $[0, [mm] \infty]$. [/mm] Aber dieses Intervall gibt es doch nicht, weil [mm] $\infty$ [/mm] keine reelle Zahl ist. Was ist der Sinn dabei, [mm] $\infty$ [/mm] zu betrachten? Ich verstehe die Notation und Intention nicht.

2. Frage: In der Bemerkung steht, dass obige Abbildung auch äußeres Maß genannt wird und die Einschränkung von [mm] $\mu$ [/mm] auf die meßbaren Teilmengen ein Maß. Warum schreibt man also in der Definition nicht gleich "äußeres Maß", anstatt nur "Maß"? Hat das einen bestimmten Grund?

3. Frage: In der Definition wurde auch die "Restriktion" eingeführt. Ist das das gleiche wie die Einschränkung von [mm] $\mu$ [/mm] auf einer Teilmenge $A [mm] \subseteq [/mm] X$? Eigentlich nicht, weil die Abbildungsvorschrift recht speziell ist.
Restriktion bedeutet aber auch so viel wie "Beschränkung". Wieso heißt die Abbildung denn so?

4. Frage: Man redet in der Bemerkung schon von messbaren Mengen, obwohl der Begriff der [mm] $\sigma$ [/mm] - Algebra erst etwas später eingeführt wird. Aber so weit ich weiß, ist eine messbare Menge eine Element der [mm] $\sigma$ [/mm] - Algebra, oder nicht? Aber wenn die [mm] $\sigma$ [/mm] - Algebra später eingeführt wird, muss er mit messbar was anderes meinen. Meint der Prof damit einfach nur [mm] $\mu$ [/mm] - messbar?

5. Frage:  In der Bemerkung steht, dass obige Abbildung auch äußeres Maß genannt wird und die Einschränkung von [mm] $\mu$ [/mm] auf die meßbaren Teilmengen ein Maß. Meint man hier mit "Einschränkung" die ganz normale Einschränkung einer Abbildung von [mm] $\mu$ [/mm] auf die messbaren Teilmengen oder die Restriktion von [mm] $\mu$ [/mm] auf eine messbare Teilmenge? Bin in der Hinsicht etwas verwirrt.


6. Frage:  Ich habe die Definition eines äußeren Maßes auch woanders nachgeschlagen und da steht die Eigenschaft nicht direkt da, sondern wir haben zwei weitere Eigenschaften. Nämlich:

2'.) $A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \Rightarrow \mu(A) \le \mu(B)\quad \forall [/mm] A, B [mm] \in [/mm] P(X)$
3.) [mm] $\mu \left (\bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} A_{i} \right [/mm] ) [mm] \le \sum\limits_{i \in \mathbb{N}} \mu(A_{i})\quad \forall (A_{i})_{i \in \mathbb{N}} \in P(X)^{\mathbb{N}}$ [/mm]

Ist die Eigenschaft 2.) eine Zusammenfassung von den Eigenschaften 2'.) und 3.)?


So, das waren alle Fragen. Ist etwas viel, aber ich hoffe, ich habe das so strukturiert geschrieben, dass der Text einigermaßen leserlich ist und man versteht, wo meine Probleme sind.

Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand mir die Fragen beantworten kann.
Ich bedanke mich im Voraus.

Liebe Grüße, Emma

        
Bezug
Äußeres Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:55 Do 04.11.2021
Autor: tobit09

Hallo Emma und herzlich [willkommenmr]!


> 1. Frage: Der Wertebereich von [mm]\mu[/mm] ist das Intervall [mm][0, \infty][/mm].
> Aber dieses Intervall gibt es doch nicht, weil [mm]\infty[/mm] keine
> reelle Zahl ist. Was ist der Sinn dabei, [mm]\infty[/mm] zu
> betrachten? Ich verstehe die Notation und Intention nicht.

Notation:

Wir fixieren irgendein beliebiges Objekt $x$ mit [mm] $x\notin[0,\infty)$, [/mm] und bezeichnen das fixierte Objekt mit [mm] $\infty$. [/mm]
Dann sei [mm] $[0,\infty]:=[0,\infty)\cup\{\infty\}$. [/mm]

Dann erklären wir
[mm] $\infty+x:=\infty$ [/mm] für alle [mm] $x\in[0,\infty)$ [/mm]
[mm] $x+\infty:=\infty$ [/mm] für alle [mm] $x\in[0,\infty)$ [/mm]
[mm] $\infty+\infty:=\infty$. [/mm]

Auf diese Weise erhalten wir eine Verknüpfung $+$ auf [mm] $[0,\infty]$, [/mm] die die übliche Verknüpfung $+$ auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] fortsetzt.
Man kann nachrechnen, dass diese Verknüpfung auf [mm] $[0,\infty]$ [/mm] assoziativ und kommutativ ist.

Weiter definieren wir eine Fortsetzung der üblichen Relation [mm] $\le$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty]$ [/mm] durch
[mm] $x\le \infty$ [/mm] für alle [mm] $x\in[0,\infty]$ [/mm]
Für alle [mm] $x\in[0,\infty)$ [/mm] gelte NICHT [mm] $\infty\le [/mm] x$.

Auf diese Weise erhalten wir eine lineare Ordnung auf [mm] $[0,\infty]$. [/mm]

Die Verknüpfung $+$ und die Relation [mm] $\le$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty]$ [/mm] sind im folgenden Sinne miteinander verträglich:
Für alle $x,y,z$ mit [mm] $y\le [/mm] z$ gilt auch [mm] $x+y\le [/mm] x+z$.

Schließlich definiert man [mm] $\sum_{k\in\IN}x_k\in[0,\infty]$ [/mm] für Folgen [mm] $(x_k)_{k\in\IN}$ [/mm] von Werten [mm] $x_k\in[0,\infty]$ [/mm] als den Grenzwert der Reihe [mm] $\sum_{k\in\IN}x_k$, [/mm] falls [mm] $x_k\in[0,\infty)$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] gilt und die Reihe konvergiert, und als [mm] $\infty$ [/mm] sonst.

Quintessenz: Man kann mit [mm] $[0,\infty]$ [/mm] in vielerlei Hinsicht so addieren und Größenvergleiche anstellen, wie in [mm] $[0,\infty)$. [/mm] (Allerdings folgt z.B. aus $x+y=x+z$ für [mm] $x,y,z\in[0,\infty]$ [/mm] nicht notwendigerweise $y=z$).



Intention:

Ein Ziel der Maßtheorie ist z.B. ein Flächeninhalts-Maß auf [mm] $\IR^2$ [/mm] zu konstruieren: Man möchte möglichst vielen Teilmengen von [mm] $\IR^2$ [/mm] in "sinnvoller" Weise einen Flächeninhalt zuordnen. Da finde ich es naheliegend, dass z.B. ganz [mm] $\IR^2$ [/mm] den Flächeninhalt [mm] $\infty$ [/mm] erhalten soll.


> 2. Frage: In der Bemerkung steht, dass obige Abbildung auch
> äußeres Maß genannt wird und die Einschränkung von [mm]\mu[/mm]
> auf die meßbaren Teilmengen ein Maß. Warum schreibt man
> also in der Definition nicht gleich "äußeres Maß",
> anstatt nur "Maß"? Hat das einen bestimmten Grund?

Offenbar eine Spezialität deines/r Dozenten/in, der/die eine vom Standard abweichende Benamung bevorzugt. Ich glaube, du wirst keine Nachteile davon haben, wenn du in der Definition das Wort "äußeres" ergänzt.


> 3. Frage: In der Definition wurde auch die "Restriktion"
> eingeführt. Ist das das gleiche wie die Einschränkung von
> [mm]\mu[/mm] auf einer Teilmenge [mm]A \subseteq X[/mm]? Eigentlich nicht,
> weil die Abbildungsvorschrift recht speziell ist.

Genau. [mm] $\mu$ [/mm] lässt sich ja i.A. auch gar nicht auf eine Teilmenge [mm] $A\subseteq [/mm] X$ einschränken, sondern höchstens auf eine Teilmenge [mm] $\mathcal{A}\subseteq [/mm] P(X)$ der Potenzmenge von $X$.

>  Restriktion bedeutet aber auch so viel wie
> "Beschränkung". Wieso heißt die Abbildung denn so?

Hier mein (notwendigerweise unpräziser) Erklärungsversuch:
Anschaulich beschränken wir uns beim Vermessen der "Flächeninhalte" bezüglich [mm] $\mu\;\lfloor [/mm] A$ auf die "Flächeninhalte" bezüglich [mm] $\mu$, [/mm] die die Teilmengen von $X$ mit $A$ gemeinsam haben.
Hier wird also nicht der Definitionsbereich eingeschränkt, sondern "wo wieviel Flächeninhalt/Masse sein soll".


> 4. Frage: Man redet in der Bemerkung schon von messbaren
> Mengen, obwohl der Begriff der [mm]\sigma[/mm] - Algebra erst etwas
> später eingeführt wird. Aber so weit ich weiß, ist eine
> messbare Menge eine Element der [mm]\sigma[/mm] - Algebra, oder
> nicht? Aber wenn die [mm]\sigma[/mm] - Algebra später eingeführt
> wird, muss er mit messbar was anderes meinen. Meint der
> Prof damit einfach nur [mm]\mu[/mm] - messbar?

So ist es. Später wird man speziell die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] betrachten, die von den [mm] $\mu$-messbaren [/mm] Mengen eines äußeren Maßes gebildet wird.


> 5. Frage:  In der Bemerkung steht, dass obige Abbildung
> auch äußeres Maß genannt wird und die Einschränkung von
> [mm]\mu[/mm] auf die meßbaren Teilmengen ein Maß. Meint man hier
> mit "Einschränkung" die ganz normale Einschränkung einer
> Abbildung von [mm]\mu[/mm] auf die messbaren Teilmengen oder die
> Restriktion von [mm]\mu[/mm] auf eine messbare Teilmenge? Bin in der
> Hinsicht etwas verwirrt.

Ersteres. Sei [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] die Menge der [mm] $\mu$-messbaren [/mm] Teilmengen von $X$. Dann kann man die Abbildung

    [mm] $\mu|_{\mathcal{A}}\colon\mathcal{A}\to[0,\infty],\quad A\mapsto \mu(A)$ [/mm]

betrachten und zeigen, dass sie nach üblicher Definition ein Maß ist.


> 6. Frage:  Ich habe die Definition eines äußeren Maßes
> auch woanders nachgeschlagen und da steht die Eigenschaft
> nicht direkt da, sondern wir haben zwei weitere
> Eigenschaften. Nämlich:
>  
> 2'.) [mm]A \subseteq B \Rightarrow \mu(A) \le \mu(B)\quad \forall A, B \in P(X)[/mm]
>  
> 3.) [mm]\mu \left (\bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} A_{i} \right ) \le \sum\limits_{i \in \mathbb{N}} \mu(A_{i})\quad \forall (A_{i})_{i \in \mathbb{N}} \in P(X)^{\mathbb{N}}[/mm]
>  
> Ist die Eigenschaft 2.) eine Zusammenfassung von den
> Eigenschaften 2'.) und 3.)?

Ja, man kann zeigen (übrigens gute Übungsaufgabe!), dass die Gültigkeit von 1.) und 2.) äquivalent zur Gültigkeit von 1.),2.') und 3.) ist.


Haben dir die Erklärungsversuche geholfen?
Hast du Rückfragen?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Äußeres Maß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:31 Fr 05.11.2021
Autor: emmathe

Hallo! Vielen Dank für die super ausführliche Antwort! :)

Frage 2,3,4,5 sind mir jetzt klar. Deine Antwort auf Frage 1 muss ich mir später, da ich jetzt gleich ein paar Vorlesungen habe, genauer anschauen und ich muss mich wahrscheinlich wieder kurz mit Ordnungsrelationen beschäftigen (ist ein bisschen lange her).

Und zu Frage 6:

Danke für die Bestätigung, dann beweise ich die Äquivalenz der Aussagen am Wochenende. Ist einerseits eine gute Übungsaufgabe, wie du bereits geschrieben hast, und andererseits habe ich einen Überblick über die verschiedenen Definitionen eines äußeren Maßes (hoffentlich gibt es keine dritte äquivalente Definition).

Ich wünsche dir noch einen schönen Tag und sehr nett von dir, dass du mir hilfst!

Liebe Grüße, Emma

Bezug
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