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| Aufgabe | Das äußere Produkt [mm] \wedge^{4} \IR^{4} [/mm] des [mm] \IR-Vektorraums \IR^{4} [/mm] werde mit [mm] \IR [/mm] durch [mm] c(e_1 \wedge [/mm] ... [mm] \wedge e_4) \mapsto [/mm] c (c [mm] \in \IR) [/mm] identifiziert.
a) Zeige, dass durch [mm] \beta(w_1 [/mm] , [mm] w_2) [/mm] = [mm] w_1 \wedge w_2 (w_1, w_2 \in \IR^{4} \wedge \IR^{4} [/mm] = [mm] \wedge^{2} \IR^4) [/mm] eine symmetrische Bilinearform [mm] \beta [/mm] auf W= [mm] \wedge^{2} \IR^4 [/mm] definiert wird.
b) Zeige, dass [mm] \beta(w,w)=0 [/mm] für alle w [mm] \in [/mm] W von der Form w= a [mm] \wedge [/mm] b mit a,b [mm] \in \IR^4 [/mm] gilt.
c) Bestimme die Matrix von [mm] \beta [/mm] bzgl. der Standardbasis aus den [mm] e_i \wedge e_j [/mm] (i < j) von W. |
Hallo!
Dass dadurch eine Bilinearform definiert wird, ist eigentlich klar (nachrechnen der Eigenschaften, z.B. [mm] (w_1 [/mm] +z, [mm] w_2)= (w_1 [/mm] +z) [mm] \wedge w_2 [/mm] = [mm] w_1 \wedge w_2 [/mm] + z [mm] \wedge w_2 [/mm] = [mm] (w_1, w_2) [/mm] + (z, [mm] w_2) [/mm] und [mm] \beta( \lambda w_1, w_2) [/mm] = [mm] \lambda w_1 \wedge w_2 [/mm] = [mm] w_1 \wedge \lambda w_2 [/mm] = [mm] \lambda (w_1 \wedge w_2) [/mm] = [mm] \lambda (w_1 [/mm] , [mm] w_2) [/mm] ). Ist das so ok von der Schreibweise?
Mir ist allerdings nicht klar, weshalb diese symmetrisch sein sollte, es ist doch [mm] \beta (w_1 [/mm] , [mm] w_2) [/mm] ungleich [mm] \beta (w_2, w_1), [/mm] denn [mm] w_1 \wedge w_2 [/mm] ist doch gleich - [mm] w_2 \wedge w_1... [/mm]
Wo steckt da mein Denkfehler?
b) [mm] \beta(w,w)= [/mm] a [mm] \wedge [/mm] b [mm] \wedge [/mm] a [mm] \wedge [/mm] b = - ((a [mm] \wedge [/mm] a) [mm] \wedge [/mm] (b [mm] \wedge [/mm] b)) = 0+0=0
c) Hier fehlen mir noch Ideen.
Über eure Hilfe wäre ich echt froh!
Gruß Trikolon
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> Mir ist allerdings nicht klar, weshalb diese symmetrisch
> sein sollte, es ist doch [mm]\beta (w_1[/mm] , [mm]w_2)[/mm] ungleich [mm]\beta (w_2, w_1),[/mm]
> denn [mm]w_1 \wedge w_2[/mm] ist doch gleich - [mm]w_2 \wedge w_1...[/mm]
> Wo steckt da mein Denkfehler?
Hallo Trikolon,
verwechselst du da möglicherweise das äußere (Dach-)
Produkt im [mm] \IR^4 [/mm] mit dem äußeren (Kreuz-) Produkt im [mm] \IR^3 [/mm] ?
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Trikolon |
Hmm, ich denke mal, dass das äußere Dachprodukt (Grassmann-Produkt) gemeint ist. Aber ich dachte eben, dass da das Vorzeichen wechselt, wenn man [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] vertauscht. Oder ist dies nur der Fall, wenn man [mm] \wedge^k [/mm] V (V Vektorraum) hat? Denn wir hatten mal eine Aufgabe im [mm] \wedge^3 [/mm] V (V Vektorraum), da musste man beim Vertauschen das Vorzeichen ändern.
Aber bei Wiki steht das auch unter den Eigenschaften: http://de.wikipedia.org/wiki/Gra%C3%9Fmann-Algebra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Mi 03.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Aber bei Wiki steht das auch unter den Eigenschaften:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Gra%C3%9Fmann-Algebra
Lies dir die Eigenschaften mal genau durch! Du hast $v, w [mm] \in \bigwedge^2 \IR^4$, [/mm] womit $v [mm] \wedge [/mm] w = [mm] (-1)^{2 \cdot 2} [/mm] w [mm] \wedge [/mm] v = w [mm] \wedge [/mm] v$ ist.
(Allerdings wirst du diese Eigenschaft hier wohl selber zeigen muessen.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Trikolon |
Ok, danke schonmal! Ich denke aber schon, dass ich das benutzen darf, wir hatten ja bereits eine Aufgabe, allerdings mit [mm] \bigwedge^3. [/mm] Ich hatte das allerdings falsch verstanden und dachte man müsste quasi bei jeder Vertauschung das Vorzeichen ändern.
Dann wäre ich jetzt noch über Anregungen zu Teil c) zum Aufstellen der Matrix dankbar!
Gruß
Trikolon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Mi 03.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok, danke schonmal! Ich denke aber schon, dass ich das
> benutzen darf, wir hatten ja bereits eine Aufgabe,
> allerdings mit [mm]\bigwedge^3.[/mm] Ich hatte das allerdings falsch
> verstanden und dachte man müsste quasi bei jeder
> Vertauschung das Vorzeichen ändern.
In [mm] $\bigwedge^k [/mm] V$ musst du bei jeder Vertauschung von genau zwei Vektoren in Ausdruecken der Form [mm] $v_1 \wedge \dots \wedge v_k$ [/mm] das Vorzeichen aendern. Du tauscht hier allerdings etwas mehr, und in etwas allgemeineren Ausdruecken.
> Dann wäre ich jetzt noch über Anregungen zu Teil c) zum
> Aufstellen der Matrix dankbar!
Nun, wenn [mm] $b_1, \dots, b_\ell$ [/mm] eine Basis von $W$ ist, dann musst du [mm] $\beta(b_i, b_j)$ [/mm] berechnen: das ist der $(i, j)$-Eintrag von der Matrix. (Beachte, dass die Matrix symmetrisch ist, das erspart dir ein paar Berechnungen.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Trikolon |
Ich versuche mich dann morgen direkt mal m.H. deines Hinweises an Teil c). Kannst du deine Aussage
Du tauscht hier allerdings etwas
> mehr, und in etwas allgemeineren Ausdruecken.
bitte etw. erläutern, verstehe nicht ganz was du damit meinst...
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Do 04.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Du tauscht hier allerdings etwas
> > mehr, und in etwas allgemeineren Ausdruecken.
>
> bitte etw. erläutern, verstehe nicht ganz was du damit
> meinst...
Nun, wenn du $v, w [mm] \in \bigwedge^2 \IR^4$ [/mm] hast, dann ist $v = [mm] \sum_i v_{i1} \wedge v_{i2}$, [/mm] $w = [mm] \sum_j w_{j1} \wedge w_{j2}$ [/mm] mit [mm] $v_{i1}, v_{i2}, w_{j1}, w_{j2} \in \IR^4$ [/mm] fuer alle $i, j$.
Wenn du nun [mm] $\biggl( \sum_i v_{i1} \wedge v_{i2} \biggr) \wedge \biggl( \sum_j w_{j1} \wedge w_{j2} \biggr)$ [/mm] mit [mm] $\biggl( \sum_j w_{j1} \wedge w_{j2} \biggr) \wedge \biggl( \sum_i v_{i1} \wedge v_{i2} \biggr)$ [/mm] vergleichst, siehst du, dass da etwas mehr gemacht wurde als eine einfache Vertauschung von $v [mm] \wedge [/mm] w$ nach $w [mm] \wedge [/mm] v$ (mit $v, w [mm] \in [/mm] W$).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Do 04.07.2013 | | Autor: | rollroll |
Ok, danke. Ist das dann immer so dass, wenn [mm] \bigwedge^k [/mm] mit k gerade ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Do 04.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Ok, danke. Ist das dann immer so dass, wenn [mm]\bigwedge^k[/mm] mit
> k gerade ist?
ja. Siehe die Eigenschaft auf der Wikipedia-Seite.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 05.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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