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äußeres Produkt, assoziativ: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:51 Mo 21.03.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Für äußere Formen vom entsprechenden Grad gilt:

[mm] $(\omega^k\wedge\eta^l)\wedge \mu^m=\omega^k\wedge(\eta^l\wedge \mu^m)$ [/mm]


Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit dem Beweis der Assoziativität des äußeren Produktes, wobei ich bei einem Schritt hänge und mir diesen nicht so recht erklären kann.

Das äußere Produkt ist wie folgt definiert:

[mm] $(\omega^k\wedge \eta^l)(v_1,\dotso, v_{k+l})=\frac{1}{k!l!}\sum_{\sigma\in S_{k+l}}sgn(\sigma)\omega^k(v_{\sigma(1)},\dotso,v_{\sigma(k)})\eta^l(v_{\sigma(k+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l)})$ [/mm]

zum Beweis der Aussage:

[mm] $(\omega^k\wedge\eta^l)\wedge\mu^m(v_1,\dotso,v_{k+l+m})$ [/mm]

[mm] $=\frac{1}{(k+l)!m!}\sum_{\sigma\in S_{k+l+m}} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso,v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l+m)})$ [/mm]

Wir zerlegen die Permutationsgruppe [mm] $S_{k+l+m}$ [/mm] nach den Restklassen der Untergruppe [mm] $S_{k+l}\subset S_{k+l+m}$ [/mm] bestehend aus allen Permutationen, welche auf die letzen $m$ Indizes [mm] \{k+l+1,\dotso,k+l+m\} [/mm] als Identität wirken. Jede Restklasse $R$ besteht somit aus allen Permutationen [mm] $\sigma\in S_{k+l+m}$ [/mm] mit fixierten Werten [mm] $\sigma(k+l+1),\dotso, \sigma(k+l+m)$. [/mm] Wählen wir irgendeine PErmutation [mm] $\sigma_0\in [/mm] R$ aus, so können die weiteren Elemente [mm] $\sigma\in [/mm] R$ durch die Gruppe [mm] $S_{k+l}$ [/mm] parameterisiert werden:

[mm] $\sigma=\sigma_0\circ\pi$ [/mm] mit [mm] $\pi\in S_{k+l}$ [/mm]

Damit gilt

[mm] $\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l+m)})$ [/mm]

[mm] $=\sum_{\pi\in S_{k+l}} sgn(\sigma_0)sgn(\pi)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0\circ\pi(1)},\dotso, v_{\sigma_0\circ\pi(k+l)})\mu^m(v_{\sigma_0(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l+m)})$ [/mm]

[mm] $=sgn(\sigma_0)(k+l)!(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0(1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l)})\mu^m(v_{\sigma_0(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l+m)}) [/mm]


Bis hier hin ist mir denke ich alles klar. Doch nun kommt ein Schritt, den ich bisher leider nicht verstehe:

Benutzen wir nun die Definition des äußeren Produktes [mm] $\omega^k\wedge\eta^l$, [/mm] so ergibt sich hieraus die Formel

[mm] $\frac{k!l!}{(k+l)!}\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m)})$ [/mm]

Was genau verstehe ich hieran nicht?

Zu erst einmal ist mir unklar, wie der Vorfaktor [mm] $\frac{k!l!}{(k+l)!}$ [/mm] zustande kommt.

Laut Buch benutzen wir die Definition von [mm] $\omega^k\wedge\eta^l$ [/mm]

Dies sollte aber doch folgendes ergeben:

[mm] $(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0(1)},\dotso, v_{\sigma_0(k+l)})$ [/mm]

[mm] $=\frac{1}{k!l!}\sum_{\sigma_0\in R} sgn(\sigma_0)\omega^k(v_{\sigma_0(1)},\dotso, v_{\sigma(k)})\eta^l(v_{\sigma_0(k+1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l)})$ [/mm]

Mit dem bereits vorhandenem Faktor $(k+l)!$ also insgesamt der Vorfaktor

[mm] $\frac{(k+l)!}{k!l!}$. [/mm] Also genau der Kehrwert.

Als nächstes wird in diesem Schritt das [mm] $\sigma_0$ [/mm] wieder durch [mm] $\sigma$ [/mm] ersetzt.
Ich denke hier verwendet man stillschweigend die Parameterisierung

[mm] $\sigma=\sigma_0\circ\pi$ [/mm]

Man fügt also [mm] $sgn(\pi)$ [/mm] sowie [mm] $v_{\sigma_0\circ\pi}$ [/mm] ein und erhält damit jeweils [mm] $\sigma$. [/mm]
Sehe ich das richtig?
Andernfalls kann ich mir nicht erklären warum in diesem Schritt auch [mm] $sgn(\sigma_0)$ [/mm] verschwindet.

Zu guter Letzt kommt mir dann das Ergebnis ein bisschen komisch vor. Denn im Grunde haben wir ja jetzt durch ein paar Umformungen gezeigt, dass

[mm] $\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l+m)})$ [/mm]

[mm] $=\frac{k!l!}{(k+l)!}\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m)})$ [/mm]

gilt, also diesen Vorfaktor allgemein "hergezaubert".



Über eine Erklärung dieses Schritts würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
äußeres Produkt, assoziativ: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:56 Mo 21.03.2016
Autor: tobit09

Hallo impliziteFunktion!


Ich versuche mal weiterzuhelfen, ohne irgendeine Ahnung von äußeren Formen oder Produkten zu haben... Also entsprechend alles mit Vorsicht betrachten!


> Für äußere Formen vom entsprechenden Grad gilt:
>  
> [mm](\omega^k\wedge\eta^l)\wedge \mu^m=\omega^k\wedge(\eta^l\wedge \mu^m)[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich beschäftige mich gerade mit dem Beweis der
> Assoziativität des äußeren Produktes, wobei ich bei
> einem Schritt hänge und mir diesen nicht so recht
> erklären kann.
>  
> Das äußere Produkt ist wie folgt definiert:
>  
> [mm](\omega^k\wedge \eta^l)(v_1,\dotso, v_{k+l})=\frac{1}{k!l!}\sum_{\sigma\in S_{k+l}}sgn(\sigma)\omega^k(v_{\sigma(1)},\dotso,v_{\sigma(k)})\eta^l(v_{\sigma(k+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l)})[/mm]
>  
> zum Beweis der Aussage:
>  
> [mm](\omega^k\wedge\eta^l)\wedge\mu^m(v_1,\dotso,v_{k+l+m})[/mm]
>  
> [mm]=\frac{1}{(k+l)!m!}\sum_{\sigma\in S_{k+l+m}} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso,v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l+m)})[/mm]
>  
> Wir zerlegen die Permutationsgruppe [mm]S_{k+l+m}[/mm] nach den
> Restklassen der Untergruppe [mm]S_{k+l}\subset S_{k+l+m}[/mm]
> bestehend aus allen Permutationen, welche auf die letzen [mm]m[/mm]
> Indizes [mm]\{k+l+1,\dotso,k+l+m\}[/mm] als Identität wirken. Jede
> Restklasse [mm]R[/mm] besteht somit aus allen Permutationen
> [mm]\sigma\in S_{k+l+m}[/mm] mit fixierten Werten
> [mm]\sigma(k+l+1),\dotso, \sigma(k+l+m)[/mm]. Wählen wir irgendeine
> PErmutation [mm]\sigma_0\in R[/mm] aus, so können die weiteren
> Elemente [mm]\sigma\in R[/mm] durch die Gruppe [mm]S_{k+l}[/mm]
> parameterisiert werden:
>  
> [mm]\sigma=\sigma_0\circ\pi[/mm] mit [mm]\pi\in S_{k+l}[/mm]
>  
> Damit gilt
>  
> [mm]\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l+m)})[/mm]
>  
> [mm]=\sum_{\pi\in S_{k+l}} sgn(\sigma_0)sgn(\pi)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0\circ\pi(1)},\dotso, v_{\sigma_0\circ\pi(k+l)})\mu^m(v_{\sigma_0(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l+m)})[/mm]
>  
> [mm]$=sgn(\sigma_0)(k+l)!(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0(1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l)})\mu^m(v_{\sigma_0(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l+m)})[/mm]

Die hier ausgerechnete Gleichheit möchte ich (*) nennen.


> Bis hier hin ist mir denke ich alles klar. Doch nun kommt
> ein Schritt, den ich bisher leider nicht verstehe:
>  
> Benutzen wir nun die Definition des äußeren Produktes
> [mm]\omega^k\wedge\eta^l[/mm], so ergibt sich hieraus die Formel
>  
> [mm]\frac{k!l!}{(k+l)!}\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m)})[/mm]

Ja welche Formel oder besser gesagt Aussage ergibt sich denn? Angegeben hast du nur einen Term.

Vermutlich wird aber eine Gleichheitsaussage behauptet, die sich aus (*) durch Multiplikation auf beiden Seiten mit [mm] $\frac{k!l!}{(k+l)!}$ [/mm] ergibt.

Vermutlich wird nirgendwo behauptet, dass der von dir letztgenannte Term mit irgendeinem vorherigen Term übereinstimmt!


> Was genau verstehe ich hieran nicht?
>  
> Zu erst einmal ist mir unklar, wie der Vorfaktor
> [mm]\frac{k!l!}{(k+l)!}[/mm] zustande kommt.

Vermutlich geschickt gewählt für die Zwecke des Beweises, so dass man sich für die weiteren Rechnungsschritte nicht mit lästigen Vorfaktoren herumschlagen muss.


> Laut Buch benutzen wir die Definition von
> [mm]\omega^k\wedge\eta^l[/mm]
>  
> Dies sollte aber doch folgendes ergeben:
>  
> [mm](\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0(1)},\dotso, v_{\sigma_0(k+l)})[/mm]
>  
> [mm]=\frac{1}{k!l!}\sum_{\sigma_0\in R} sgn(\sigma_0)\omega^k(v_{\sigma_0(1)},\dotso, v_{\sigma(k)})\eta^l(v_{\sigma_0(k+1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l)})[/mm]

Nein. Das sagt die von dir angegebene Definition sicherlich nicht aus.

Sondern (EDIT: Fehler korrigiert):

       [mm] $(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0(1)},\dotso, v_{\sigma_0(k+l)})$ [/mm]
     [mm] $=\frac{1}{k!l!}\sum_{\pi\in S_{k+l}}\operatorname{sgn}(\pi)\omega^k(v_{\sigma_0(\pi(1))},\ldots,v_{\sigma_0(\pi(k))})\eta^l(v_{\sigma_0(\pi(k+1))},\ldots,v_{\sigma_0(\pi(k+l))})$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
äußeres Produkt, assoziativ: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:05 Di 22.03.2016
Autor: impliziteFunktion


> Vermutlich wird nirgendwo behauptet, dass der von dir letztgenannte Term mit irgendeinem vorherigen Term übereinstimmt!

Du hast recht. Die Gleichheit wird tatsächlich nicht behauptet.

> Vermutlich geschickt gewählt für die Zwecke des Beweises, so dass man sich für die weiteren Rechnungsschritte nicht mit lästigen Vorfaktoren herumschlagen muss.

Dazu hätte ich eine "Beweis technische" Frage.

Ich möchte die Assoziativität zeigen und in dem Beweis wird, der Einfachheits wegen ein Vorfaktor dazu multipliziert.
Warum kann man das ohne Probleme machen?
Wieso verändere ich durch das hinzunehmen eines zusätzlichen Faktors nicht die ursprüngliche Aussage, also

[mm] $(\omega^k\wedge\eta^l)\wedge\mu^m=\omega^k\wedge(\eta^l\wedge\mu^m)$ [/mm]

Einfach weil man dann den Beweis im Grunde genommen für die äquivalente Aussage mit dem Vorfaktor zeigt? Also

[mm] $\frac{k!l!}{(k+l)!}(\omega^k\wedge\eta^l)\wedge\mu^m=\frac{k!l!}{(k+l)!}\omega^k\wedge(\eta^l\wedge\mu^m)$ [/mm]

?

> Nein. Das sagt die von dir angegebene Definition sicherlich nicht aus.

> Sondern:

       $ [mm] (\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0(1)},\dotso, v_{\sigma_0(k+l)}) [/mm] $
     $ [mm] =\frac{1}{k!l!}\sum_{\pi\in S_{k+l}}\operatorname{sgn}(\pi)\omega^k(v_{\pi(\sigma_0(1))},\ldots,v_{\pi(\sigma_0(k))})\eta^l(v_{\pi(\sigma_0(k+1))},\ldots,v_{\pi(\sigma_0(k+l))}) [/mm] $.


Ist es hier wichtig, dass es [mm] $\pi$ [/mm] ist, oder hätte man genau so gut:

[mm] $\frac{1}{k!l!}\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(\sigma_0(1)},\dotso,v_{\sigma(\sigma_0(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(\sigma_0(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(\sigma_0(k+l+m)})$ [/mm]

benutzen können.
Die Wahl der Parameterisierung spielt also keine Rolle? Jedenfalls wenn man von der Nützlichkeit für den Beweis absieht.


Der Rest des Beweises sieht wie folgt aus:

$ [mm] \frac{k!l!}{(k+l)!}\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m)}) [/mm] $

[mm] $=\sum_{\sigma\in R}\omega^k(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k)})\eta^l(v_{\sigma(k+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m)})$. [/mm]

Um nun die Summe über alle Elemente der Gruppe [mm] $S_{k+l+m}$ [/mm] zu bilden, summiert man über alle Restklassen $R$ und bekommt, nach Vereinfachung des skalaren Vorfaktors, die Gleichung

[mm] $(k!l!m!)(\omega^k\wedge\eta^l)\wedge \mu^m(v_1,\dotso, v_{k+l+m})$ [/mm]

[mm] $=\sum_{\sigma\in S_{k+l+m}} sgn(\sigma)\omega^k(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k)})\eta^l(v_{\sigma(k+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m})$ [/mm]

welche die Assoziativität der äußeren Multiplikation von Formen beweist.


Bezug
                        
Bezug
äußeres Produkt, assoziativ: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Di 22.03.2016
Autor: tobit09


> Ich möchte die Assoziativität zeigen und in dem Beweis
> wird, der Einfachheits wegen ein Vorfaktor dazu
> multipliziert.
> Warum kann man das ohne Probleme machen?
>  Wieso verändere ich durch das hinzunehmen eines
> zusätzlichen Faktors nicht die ursprüngliche Aussage,
> also
>  
> [mm](\omega^k\wedge\eta^l)\wedge\mu^m=\omega^k\wedge(\eta^l\wedge\mu^m)[/mm]

Ja, das ist zu zeigen. Auf dem Weg dahin ist es sicherlich nicht verboten, beliebige Terme mit beliebigen Vorfaktoren hilfsweise zu betrachten.


> Einfach weil man dann den Beweis im Grunde genommen für
> die äquivalente Aussage mit dem Vorfaktor zeigt? Also
>  
> [mm]\frac{k!l!}{(k+l)!}(\omega^k\wedge\eta^l)\wedge\mu^m=\frac{k!l!}{(k+l)!}\omega^k\wedge(\eta^l\wedge\mu^m)[/mm]
>  
> ?

Wenn es gelänge, diese Aussage zu zeigen, würde daraus durch Multiplikation mit [mm] $\frac{(k+l)!}{k!l!}$ [/mm] auf beiden Seiten die gewünschte Aussage folgen.

Tatsächlich wird, wie ich dem Beweis entnehme, im Grunde

       [mm] $(k!l!m!)*[(\omega^k\wedge\eta^l)\wedge\mu^m]=(k!l!m!)*[\omega^k\wedge(\eta^l\wedge\mu^m)]$ [/mm]

gezeigt, woraus durch Multiplikation mit [mm] $\frac{1}{k!l!m!}$ [/mm] die eigentlich zu zeigende Aussage folgt.


> > Nein. Das sagt die von dir angegebene Definition sicherlich
> nicht aus.
>
> > Sondern:
>
> [mm](\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0(1)},\dotso, v_{\sigma_0(k+l)})[/mm]
> [mm]=\frac{1}{k!l!}\sum_{\pi\in S_{k+l}}\operatorname{sgn}(\pi)\omega^k(v_{\pi(\sigma_0(1))},\ldots,v_{\pi(\sigma_0(k))})\eta^l(v_{\pi(\sigma_0(k+1))},\ldots,v_{\pi(\sigma_0(k+l))}) [/mm].

[sorry], hier habe ich [mm] $\sigma_0$ [/mm] und [mm] $\pi$ [/mm] verdreht. Es muss heißen:

       [mm](\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0(1)},\dotso, v_{\sigma_0(k+l)})[/mm]
      [mm]=\frac{1}{k!l!}\sum_{\pi\in S_{k+l}}\operatorname{sgn}(\pi)\omega^k(v_{\sigma_0(\pi(1))},\ldots,v_{\sigma_0(\pi(k))})\eta^l(v_{\sigma_0(\pi(k+1))},\ldots,v_{\sigma_0(\pi(k+l))}) [/mm]


> Ist es hier wichtig, dass es [mm]\pi[/mm] ist, oder hätte man genau
> so gut:
>  
> [mm]\frac{1}{k!l!}\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(\sigma_0(1)},\dotso,v_{\sigma(\sigma_0(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(\sigma_0(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(\sigma_0(k+l+m)})[/mm]
>  
> benutzen können.
>  Die Wahl der Parameterisierung spielt also keine Rolle?
> Jedenfalls wenn man von der Nützlichkeit für den Beweis
> absieht.

So ist es. Ob die "Summationsvariable" [mm] $\pi$ [/mm] oder [mm] $\sigma$ [/mm] genannt wird, macht vom logischen Standpunkt her keinen Unterschied. Die gute Wahl von Variablennamen ist eher eine Frage der übersichtlichen und suggestiven Darstellung als ein logisches Problem. Eines sollte man jedoch in jedem Fall vermeiden: Im gleichen Kontext die gleiche Variable in verschiedenen Bedeutungen zu verwenden. [mm] $\sigma_0$ [/mm] anstelle von [mm] $\pi$ [/mm] wäre also hier ungeeignet.


Auf den unklaren Beweisschritt gehe ich in einer separaten Antwort ein.

Bezug
        
Bezug
äußeres Produkt, assoziativ: Beweis im Zusammenhang
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:29 Di 22.03.2016
Autor: tobit09

Der Übersicht halber kopiere ich in dieser Mitteilung den Beweis zusammen, füge (in roter Schrift) eine Korrektur ein und nummeriere die Gleichheiten durch:



Gleichheit 1:

[mm] $(\omega^k\wedge\eta^l)\wedge\mu^m(v_1,\dotso,v_{k+l+m})$ [/mm]

[mm] $=\frac{1}{(k+l)!m!}\sum_{\sigma\in S_{k+l+m}} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso,v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l+m)})$ [/mm]



Wir zerlegen die Permutationsgruppe [mm] $S_{k+l+m}$ [/mm] nach den Restklassen der Untergruppe [mm] $S_{k+l}\subset S_{k+l+m}$ [/mm] bestehend aus allen Permutationen, welche auf die letzen $m$ Indizes [mm] \{k+l+1,\dotso,k+l+m\} [/mm] als Identität wirken. Jede Restklasse $R$ besteht somit aus allen Permutationen [mm] $\sigma\in S_{k+l+m}$ [/mm] mit fixierten Werten [mm] $\sigma(k+l+1),\dotso, \sigma(k+l+m)$. [/mm] Wählen wir irgendeine PErmutation [mm] $\sigma_0\in [/mm] R$ aus, so können die weiteren Elemente [mm] $\sigma\in [/mm] R$ durch die Gruppe [mm] $S_{k+l}$ [/mm] parameterisiert werden:

[mm] $\sigma=\sigma_0\circ\pi$ [/mm] mit [mm] $\pi\in S_{k+l}$ [/mm]

Damit gilt

Gleichheit 2:

[mm] $\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l+m)})$ [/mm]

[mm] $=\sum_{\pi\in S_{k+l}} sgn(\sigma_0)sgn(\pi)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0\circ\pi(1)},\dotso, v_{\sigma_0\circ\pi(k+l)})\mu^m(v_{\sigma_0(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l+m)})$ [/mm]

[mm] $=sgn(\sigma_0)(k+l)!(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0(1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l)})\mu^m(v_{\sigma_0(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l+m)}) [/mm]

Benutzen wir nun die Definition des äußeren Produktes [mm] $\omega^k\wedge\eta^l$, [/mm] so ergibt sich hieraus die Formel

Gleichheit 3:

$ [mm] \frac{k!l!}{(k+l)!}\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m)}) [/mm] $

[mm] $=\sum_{\sigma\in R}\red{\operatorname{sgn}(\sigma)}\omega^k(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k)})\eta^l(v_{\sigma(k+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m)})$. [/mm]

Um nun die Summe über alle Elemente der Gruppe [mm] $S_{k+l+m}$ [/mm] zu bilden, summiert man über alle Restklassen $R$ und bekommt, nach Vereinfachung des skalaren Vorfaktors, die Gleichung

Gleichheit 4:

[mm] $(k!l!m!)(\omega^k\wedge\eta^l)\wedge \mu^m(v_1,\dotso, v_{k+l+m})$ [/mm]

[mm] $=\sum_{\sigma\in S_{k+l+m}} sgn(\sigma)\omega^k(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k)})\eta^l(v_{\sigma(k+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m})$ [/mm]

welche die Assoziativität der äußeren Multiplikation von Formen beweist.

Bezug
                
Bezug
äußeres Produkt, assoziativ: Beweisstruktur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:46 Di 22.03.2016
Autor: tobit09


> Gleichheit 1:
>  
> [mm](\omega^k\wedge\eta^l)\wedge\mu^m(v_1,\dotso,v_{k+l+m})[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{(k+l)!m!}\sum_{\sigma\in S_{k+l+m}} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso,v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l+m)})[/mm]
>
>
>
> Wir zerlegen die Permutationsgruppe [mm]S_{k+l+m}[/mm] nach den
> Restklassen der Untergruppe [mm]S_{k+l}\subset S_{k+l+m}[/mm]
> bestehend aus allen Permutationen, welche auf die letzen [mm]m[/mm]
> Indizes [mm]\{k+l+1,\dotso,k+l+m\}[/mm] als Identität wirken. Jede
> Restklasse [mm]R[/mm] besteht somit aus allen Permutationen
> [mm]\sigma\in S_{k+l+m}[/mm] mit fixierten Werten
> [mm]\sigma(k+l+1),\dotso, \sigma(k+l+m)[/mm]. Wählen wir irgendeine
> PErmutation [mm]\sigma_0\in R[/mm] aus, so können die weiteren
> Elemente [mm]\sigma\in R[/mm] durch die Gruppe [mm]S_{k+l}[/mm]
> parameterisiert werden:
>
> [mm]\sigma=\sigma_0\circ\pi[/mm] mit [mm]\pi\in S_{k+l}[/mm]
>
> Damit gilt
>
> Gleichheit 2:
>  
> [mm]\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l+m)})[/mm]
>
> [mm]=\sum_{\pi\in S_{k+l}} sgn(\sigma_0)sgn(\pi)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0\circ\pi(1)},\dotso, v_{\sigma_0\circ\pi(k+l)})\mu^m(v_{\sigma_0(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l+m)})[/mm]
>
> [mm]$=sgn(\sigma_0)(k+l)!(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0(1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l)})\mu^m(v_{\sigma_0(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l+m)})[/mm]
>
> Benutzen wir nun die Definition des äußeren Produktes
> [mm]\omega^k\wedge\eta^l[/mm], so ergibt sich hieraus die Formel
>
> Gleichheit 3:
>  
> [mm]\frac{k!l!}{(k+l)!}\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m)})[/mm]
>
> [mm]=\sum_{\sigma\in R}\red{\operatorname{sgn}(\sigma)}\omega^k(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k)})\eta^l(v_{\sigma(k+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m)})[/mm].
>
> Um nun die Summe über alle Elemente der Gruppe [mm]S_{k+l+m}[/mm]
> zu bilden, summiert man über alle Restklassen [mm]R[/mm] und
> bekommt, nach Vereinfachung des skalaren Vorfaktors, die
> Gleichung
>
> Gleichheit 4:
>  
> [mm](k!l!m!)(\omega^k\wedge\eta^l)\wedge \mu^m(v_1,\dotso, v_{k+l+m})[/mm]
>
> [mm]=\sum_{\sigma\in S_{k+l+m}} sgn(\sigma)\omega^k(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k)})\eta^l(v_{\sigma(k+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m})[/mm]
>
> welche die Assoziativität der äußeren Multiplikation von
> Formen beweist.  

Die grobe Struktur des Beweises:

- Gleichheit 1 wird bewiesen.
- Gleichheit 2 wird bewiesen (für jede Linksnebenklasse R der Untergruppe [mm] $S_{k+l}\subseteq S_{k+l+m}$ [/mm] und jeden Repräsentanten [mm] $\sigma_0\in [/mm] R$).
- Gleichheit 3 wird mithilfe von Gleichheit 2 bewiesen (für jede Linksnebenklasse R von [mm] $S_{k+l}\subseteq S_{k+l+m}$). [/mm]
- Gleichheit 4 wird mithilfe von Gleichheit 1 und Gleichheit 3 bewiesen.
- Aus Gleichheit 4 wird [mm] $(\omega^k\wedge\eta^l)\wedge\mu^m=\omega^k\wedge(\eta^l\wedge\mu^m)$ [/mm] gefolgert.

Diese fünf Schritte lassen sich unabhängig voneinander nachvollziehen.

Unklar ist offenbar der (aus meiner Sicht auch unübersichtlichste und einer Nebenrechnung bedürfende) Beweis der Gleichung 3. (Darauf gehe ich morgen ein.)

Sind weitere Schritte unklar?

Bezug
                        
Bezug
äußeres Produkt, assoziativ: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:10 Di 22.03.2016
Autor: impliziteFunktion

Vielen Dank für deine Mühe.

> Sind weitere Schritte unklar?

Das einzige was mir sonst noch unklar ist, ist wieso im letzen Schritt die Summe nicht mehr über alle [mm] $\sigma\in [/mm] R$, sondern [mm] $\sigma\in S_{k+l+m}$ [/mm] gebildet wird.

Die Menge $R$ ist ja eine gewisse Einschränkung auf die Elemente von [mm] $S_{k+l+m}$. [/mm] Eben das die letzten m Indizes Fixpunkte sind.
Bisher erschließt sich mir nicht, wieso diese Einschränkung später wegfällt,

Aber erst sollte ich das Zustandekommen der Gleichheit 3 verstehen.

Bezug
                                
Bezug
äußeres Produkt, assoziativ: Gleichheit 3
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Mi 23.03.2016
Autor: tobit09

Zu Gleicheit 3: Der Übersicht halber kopiere ich nocheinmal den entsprechenden Abschnitt des Beweises:



Damit gilt

Gleichheit 2:

$ [mm] \sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l+m)}) [/mm] $

$ [mm] =\sum_{\pi\in S_{k+l}} sgn(\sigma_0)sgn(\pi)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0\circ\pi(1)},\dotso, v_{\sigma_0\circ\pi(k+l)})\mu^m(v_{\sigma_0(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l+m)}) [/mm] $

[mm] $=sgn(\sigma_0)(k+l)!(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0(1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l)})\mu^m(v_{\sigma_0(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l+m)}) [/mm] $

Benutzen wir nun die Definition des äußeren Produktes $ [mm] \omega^k\wedge\eta^l [/mm] $, so ergibt sich hieraus die Formel

Gleichheit 3:

$ [mm] \frac{k!l!}{(k+l)!}\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m)}) [/mm] $

$ [mm] =\sum_{\sigma\in R}\red{\operatorname{sgn}(\sigma)}\omega^k(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k)})\eta^l(v_{\sigma(k+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m)}) [/mm] $.




Hier nun meine Nebenrechnung zu Gleichheit 3:



$ [mm] \frac{k!l!}{(k+l)!}\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m)}) [/mm] $

(gemäß Gleichheit 2)
[mm] $=\frac{k!l!}{(k+l)!}sgn(\sigma_0)(k+l)!(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0(1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l)})\mu^m(v_{\sigma_0(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l+m)})$ [/mm]

(kürzen)
[mm] $=k!l!sgn(\sigma_0)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma_0(1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l)})\mu^m(v_{\sigma_0(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l+m)})$ [/mm]

(gemäß Definition [mm] $\omega^k\wedge\eta^l$) [/mm]
[mm] $=k!l!sgn(\sigma_0)\left(\frac{1}{k!l!}\sum_{\pi\in S_{k+l}}sgn(\pi)\omega^k(v_{\sigma_0(\pi(1))},\ldots,v_{\sigma_0(\pi(k))})\eta^l(v_{\sigma_0(\pi(k+1))},\ldots,v_{\sigma_0(\pi(k+l))})\right)*\mu^m(v_{\sigma_0(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l+m)})$ [/mm]

(elementare Rechenregeln in Körpern)
[mm] $=\sum_{\pi\in S_{k+l}}sgn(\sigma_0)sgn(\pi)\omega^k(v_{\sigma_0(\pi(1))},\ldots,v_{\sigma_0(\pi(k))})\eta^l(v_{\sigma_0(\pi(k+1))},\ldots,v_{\sigma_0(\pi(k+l))})\mu^m(v_{\sigma_0(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l+m)})$ [/mm]

(Rechenregel für sgn [mm] ($sgn\colon S_{k+l+m}\to\{1,-1\}$ [/mm] ist ein Gruppenhomomorphismus))
[mm] $=\sum_{\pi\in S_{k+l}}sgn(\sigma_0\circ\pi)\omega^k(v_{\sigma_0(\pi(1))},\ldots,v_{\sigma_0(\pi(k))})\eta^l(v_{\sigma_0(\pi(k+1))},\ldots,v_{\sigma_0(\pi(k+l))})\mu^m(v_{\sigma_0(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma_0(k+l+m)})$ [/mm]

(Definition [mm] $S_{k+l}$ [/mm] und [mm] $\pi\in S_{k+l}$) [/mm]
[mm] $=\sum_{\pi\in S_{k+l}}sgn(\sigma_0\circ\pi)\omega^k(v_{\sigma_0(\pi(1))},\ldots,v_{\sigma_0(\pi(k))})\eta^l(v_{\sigma_0(\pi(k+1))},\ldots,v_{\sigma_0(\pi(k+l))})\mu^m(v_{\sigma_0(\pi(k+l+1))},\dotso,v_{\sigma_0(\pi(k+l+m))})$ [/mm]

(Definition der Verkettung [mm] $\sigma_0\circ\pi$) [/mm]
[mm] $=\sum_{\pi\in S_{k+l}}sgn(\sigma_0\circ\pi)\omega^k(v_{\sigma_0\circ\pi(1)},\ldots,v_{\sigma_0\circ\pi(k)})\eta^l(v_{\sigma_0\circ\pi(k+1)},\ldots,v_{\sigma_0\circ\pi(k+l)})\mu^m(v_{\sigma_0\circ\pi(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma_0\circ\pi(k+l+m)})$ [/mm]

("durchläuft [mm] $\pi$ [/mm] einmal alle Elemente von [mm] $S_{k+l}$, [/mm] so durchläuft [mm] $\sigma_0\circ\pi$ [/mm] einmal alle Elemente [mm] $\sigma\in [/mm] R$")
[mm] $=\sum_{\sigma\in R}sgn(\sigma)\omega^k(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(k)})\eta^l(v_{\sigma(k+1)},\ldots,v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l+m)})$. [/mm]




Soweit meine Nebenrechnung für Gleicheit 3. Sind Schritte dabei, die ich ausführlicher erklären soll?

(Die entscheidenden Schritte waren die Anwendung von Gleichheit 2, die Anwendung der Definition von [mm] $\omega^k\wedge\eta^l$ [/mm] und die "Umparametrisierung" im letzten Schritt. Alle weiteren Schritte dienten lediglich der Vereinfachung bzw. der Vorbereitung der "Umparametrisierung".)

Bezug
                                        
Bezug
äußeres Produkt, assoziativ: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:35 Mi 23.03.2016
Autor: impliziteFunktion


> Sind Schritte dabei, die ich ausführlicher erklären soll?

Nein, ich denke, dass es nun klar ist wie dieser Schritt zustande kommt.
Ich werde mir die Nebenrechnung genau ansehen.

Wenn dabei doch Probleme auftauchen, werde ich noch mal nachfragen.

Vielen Dank.

Bezug
                                
Bezug
äußeres Produkt, assoziativ: Gleichheit 4
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Mi 23.03.2016
Autor: tobit09


> Das einzige was mir sonst noch unklar ist, ist wieso im
> letzen Schritt die Summe nicht mehr über alle [mm]\sigma\in R[/mm],
> sondern [mm]\sigma\in S_{k+l+m}[/mm] gebildet wird.
>  
> Die Menge [mm]R[/mm] ist ja eine gewisse Einschränkung auf die
> Elemente von [mm]S_{k+l+m}[/mm]. Eben das die letzten m Indizes
> Fixpunkte sind.

Verwechsle nicht R mit [mm] $S_{k+l}$: [/mm] Letztere Menge besteht aus den Elementen [mm] $\pi\in S_{k+l+m}$, [/mm] die die letzten m Indizes als Fixpunkte haben. R ist hingegen eine Linksnebenklasse von [mm] $S_{k+l}$ [/mm] in [mm] $S_{k+l+m}$, [/mm] hat also die Gestalt [mm] $R=\sigma_0S_{k+l}$ [/mm] für ein [mm] $\sigma_0\in S_{k+l+m}$. [/mm]



Deine eigentliche Frage ist die nach der Begründung von Gleichheit 4 mithilfe der Gleichheiten 1 und 3.
Auch hier kopiere ich die entscheidenden Beweisteile:



Gleichheit 1:

$ [mm] (\omega^k\wedge\eta^l)\wedge\mu^m(v_1,\dotso,v_{k+l+m}) [/mm] $

$ [mm] =\frac{1}{(k+l)!m!}\sum_{\sigma\in S_{k+l+m}} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso,v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l+m)}) [/mm] $


Gleichheit 3:

$ [mm] \frac{k!l!}{(k+l)!}\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m)}) [/mm] $

$ [mm] =\sum_{\sigma\in R}\red{\operatorname{sgn}(\sigma)}\omega^k(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k)})\eta^l(v_{\sigma(k+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m)}) [/mm] $.


Um nun die Summe über alle Elemente der Gruppe $ [mm] S_{k+l+m} [/mm] $ zu bilden, summiert man über alle Restklassen $ R $ und bekommt, nach Vereinfachung des skalaren Vorfaktors, die Gleichung

Gleichheit 4:

$ [mm] (k!l!m!)(\omega^k\wedge\eta^l)\wedge \mu^m(v_1,\dotso, v_{k+l+m}) [/mm] $

$ [mm] =\sum_{\sigma\in S_{k+l+m}} sgn(\sigma)\omega^k(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k)})\eta^l(v_{\sigma(k+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m}) [/mm] $




Vorbemerkung:

Bekanntlich (?) ist [mm] $S_{k+l+m}$ [/mm] die disjunkte Vereinigung der Linksnebenklassen $R$ von [mm] $S_{k+l}$ [/mm] in [mm] $S_{k+l+m}$. [/mm]
Sei die Menge aller dieser Linksnebenklassen R mit [mm] $\mathcal{R}$ [/mm] bezeichnet.

Nun wieder meine Nebenrechnung, diesmal für Gleichheit 4:



[mm] $(k!l!m!)(\omega^k\wedge\eta^l)\wedge \mu^m(v_1,\dotso, v_{k+l+m}) [/mm] $

(gemäß Gleichheit 1)
[mm] $=(k!l!m!)*\frac{1}{(k+l)!m!}\sum_{\sigma\in S_{k+l+m}} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso,v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l+m)}) [/mm] $

(vereinfachen)
[mm] $=\frac{k!l!}{(k+l)!}\sum_{\sigma\in S_{k+l+m}} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso,v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l+m)})$ [/mm]

(Vorbemerkung)
[mm] $=\frac{k!l!}{(k+l)!}\sum_{R\in\mathcal{R}}\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso,v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l+m)})$ [/mm]

(Ausmultiplizieren)
[mm] $=\sum_{R\in\mathcal{R}}\frac{k!l!}{(k+l)!}\sum_{\sigma\in R} sgn(\sigma)(\omega^k\wedge\eta^l)(v_{\sigma(1)},\dotso,v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso,v_{\sigma(k+l+m)})$ [/mm]

(Gleichheit 3)
[mm] $=\sum_{R\in\mathcal{R}}\sum_{\sigma\in R}\operatorname{sgn}(\sigma)\omega^k(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k)})\eta^l(v_{\sigma(k+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m)}) [/mm] $

(Vorbemerkung)
[mm] $=\sum_{\sigma\in S_{k+l+m}}\operatorname{sgn}(\sigma)\omega^k(v_{\sigma(1)},\dotso, v_{\sigma(k)})\eta^l(v_{\sigma(k+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l)})\mu^m(v_{\sigma(k+l+1)},\dotso, v_{\sigma(k+l+m)})$ [/mm]




Soweit meine Nebenrechnung.

(Die Idee dahinter prägnant, aber unpräzise notiert: [mm] $\sum_{\sigma\in S_{k+l+m}}=\sum_{R\in\mathcal{R}}\sum_{\sigma\in R}$. [/mm]
Der Autor des Beweises hat diese Idee mit folgenden Worten umschrieben: "Um nun die Summe über alle Elemente der Gruppe $ [mm] S_{k+l+m} [/mm] $ zu bilden, summiert man über alle Restklassen $ R $".)

Bezug
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