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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Woaze |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und [mm] V\subset K^{n} [/mm] ein affiner Unterraum. Zeigen Sie, dass es eine m x n Matrix im Körper K sowie einen Vektor b [mm] \in K^{m} [/mm] gibt, so das V die Lösungsmenge des Gleichungssystems
A [mm] \circ [/mm] x = b
ist. |
Was ich nicht verstehe ist, dass der Vektor b aus [mm] K^{m} [/mm] ist und nicht aus [mm] K^{n}. [/mm] Aber eigentlich verstehe ich sowieso die ganze Aufgabe nicht.
Also b kann dann doch nicht den Aufpunkt des Unterraums darstellen, denn der müsste doch die gleiche dim haben wie [mm] K^{n}. [/mm] Weil b [mm] \in K^{n} [/mm] gilt wenn b der aufpunkt ist.
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei K ein Körper und [mm]V\subset K^{n}[/mm] ein affiner Unterraum.
> Zeigen Sie, dass es eine m x n Matrix im Körper K sowie
> einen Vektor b [mm]\in K^{m}[/mm] gibt, so das V die Lösungsmenge
> des Gleichungssystems
> A [mm]\circ[/mm] x = b
> ist.
> Was ich nicht verstehe ist, dass der Vektor b aus [mm]K^{m}[/mm]
> ist und nicht aus [mm]K^{n}.[/mm]
Hallo,
solche Probleme gehe ich immer an, indem ich mir ein Beispiel mache.
Schauen wir mal eine 3x2-Matrix A an, z.B.
[mm] A:=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4\\4&5 }.
[/mm]
Womit können wir die multipliziernen? Mit einem Spaltenvektor mit zwei Eintragen:
[mm] Ax=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4\\4&5 }\vektor{x_1 \\ x_2}.
[/mm]
Was ist das Ergebnis dieser Multiplikation? Ein Spaltenvektor mit 3 Einträgen.
Paßt alles, oder?
> Also b kann dann doch nicht den Aufpunkt des Unterraums
> darstellen, denn der müsste doch die gleiche dim haben wie
> [mm][mm] K^{n}.
[/mm]
Ja.
Aber es steht ja auch nirgendwo, daß b der Aufpunkt ist.
Sondern Du sollst zeigen, Du eine Matrix A und einen Vektor b findest, so daß [mm] V:=\vektor{a_1 \\a_2}+U [/mm] mit U Untervektorraum von [mm] K^n [/mm] genau die Lösungsmenge von Ax=b ist,
dh, daß dann jedes Element aus V die Gleichung löst und jedes Element, welches die Gleichung löst, in V liegt.
Das ganze hat etwas mit inhomogenen linearen Gleichungssysteme zu tun, vielleicht kannst Du darauf zurückgreifen, natürlich nur, wenn es dran war.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Do 24.04.2008 | | Autor: | Woaze |
Das Problem bei der aufgabe, ist die Richtung. Ich kann zeigen, dass die Lösungsmenge von Ax = b immer ein affiner Unterraum ist, aber ich kann nicht zeigen, dass jeder affine Unterraum eine solche Darstellung besitzt.
Wie soll das gehen?
Ich kann sagen dass V = x0 + U ist. U ist ein Untervektorraum und x aus [mm] K^{n}
[/mm]
Dann sollte vielleicht U = V - x0 auch noch gelten dürfen ???
Dann ist ja U ein Vektorraum und ich kann eine Abbildung finden die U auf den Nullvektor abbildet, also auch ein Au = 0. und u = v - x0. A(v - x0) = 0 ==> Av - Ax0 = 0 ; Ax0 := b ==> Av = b. Es gilt v [mm] \in [/mm] V
Aber was ist mit all den x [mm] \in K^{n} [/mm] die dann die Gleichung nicht lösen, weil ich soll ja in die Gleichung alle x einsetzen.
Darf ich dann die Abbildung einfach so definieren, dass alle anderen x keine lösung ergeben indem man sagt F bildet U auf 0 ab und den rest auf irgendetwas?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Do 24.04.2008 | | Autor: | taura |
Hallo Woaze,
> Ich kann sagen dass V = x0 + U ist. U ist ein
> Untervektorraum und x aus [mm]K^{n}[/mm]
> Dann sollte vielleicht U = V - x0 auch noch gelten dürfen
> ???
> Dann ist ja U ein Vektorraum und ich kann eine Abbildung
> finden die U auf den Nullvektor abbildet, also auch ein Au
> = 0. und u = v - x0. A(v - x0) = 0 ==> Av - Ax0 = 0 ; Ax0
> := b ==> Av = b. Es gilt v [mm]\in[/mm] V
Das sieht doch schon super aus!
> Aber was ist mit all den x [mm]\in K^{n}[/mm] die dann die Gleichung
> nicht lösen, weil ich soll ja in die Gleichung alle x
> einsetzen.
>
> Darf ich dann die Abbildung einfach so definieren, dass
> alle anderen x keine lösung ergeben indem man sagt F bildet
> U auf 0 ab und den rest auf irgendetwas?
Genau genommen, suchst du ja eine Abbildung, die V auf ein b abbildet. Also suchst du A und b so, dass V das Urbild von b unter A ist. Alle andewren Vektoren lösen die Gleichung nicht, sie werden auf andere Werte abgebildet, und das ist auch gut so, denn sonst wäre V ja nicht dein Lösungsraum und somit deine Aufgabe nicht gelöst 
Viele Grüße,
taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Do 24.04.2008 | | Autor: | Woaze |
Danke der schnellen Antwort. Die Lösung ist sozusagen wärend der Fragestellung gekommen Ich geb das jetzt mal so ab und schau was der korektor noch zu melden hat. Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Woaze |
Jetzt muss ich leider noch mal was fragen zu meiner Antwort. Kann mir jemand bestätigen, ob dieser beweis richtig ist, weil mir jemand gesagt hat, dass da ein Fehler drin ist. Kann ich so eine Abbildung wie ich sie definiert habe, einfach annehmen oder muss ich da expliziet eine angeben.
Kann man da eine Matrix finden, die des erfüllt und die man hinschreiben kann. Müsste eigentlich gehen, weil ja der Vektorraum endlich ist.
Wäre dankbar, wenn mir nochmal jemand helfen könnte.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> ich kann eine Abbildung finden die U auf den Nullvektor abbildet
Das sollte schon etwas genauer sein.
Woraus müssen die Zeilen von A bestehen, damit man in der jeweiligen Koordinaten 0 erhält ?
> ==> Av = b
Ok, damit gilt nun : [mm] v\in V\Rightarrow [/mm] Av=b , also v ist in der Lösungsmenge.
Also ist [mm] V\subseteq [/mm] Lösungsmenge.
Für die Gleichheit "=" musst du noch zeigen, dass für [mm] v\in [/mm] Lösungsmenge von Av=b , [mm] v\in [/mm] V gilt.
> Aber was ist mit all den x $ [mm] \in K^{n} [/mm] $ die dann die Gleichung nicht lösen
Die gehören wegen ( [mm] v\in V\Rightarrow [/mm] Av=b ) nicht zu V.
> Darf ich dann die Abbildung einfach so definieren, dass alle anderen x keine lösung ergeben
besser: "keine Lösung der Gleichung sind"
Ciao.
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