(affiner) Unterraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wir haben mal wieder nen Aufgabenzettel den ich zeimlch schwierig finde. Eine der Aufgaben ist wiedermal komisch gestellt. Sei A ein affiner Unterraum von [mm] \IR^n [/mm] mit [mm] \dim_R A < n [/mm] und [mm] p \in \IR^n \setminus A [/mm].
Die Menge der Elemente der Verbindungsgeraden
[mm] = \{x| x=p+t(q-p), t \in \IR, q \in A\} [/mm]
von p zu den Vektoren von q von A vereinigt mit den Punkten des zu A parallelen aff. Unterraums gleicher Dim. durch p heisse W.
a) Ist W stets Unterraum?
b) Ist W stets affiner Unterraum ( Lineare Mannigfaltigkeit)?
Also unsere Tutorn hat uns schon den Tip gegeben das W wohl kein Unterraum sein dürfte weil sonst die zweite Farge etwas doof wäre. Ich schätzte mal das es nicht abgeschlossen ist und habe jetzt dass Problem, das ich nicht so genau weiss wie ich die 2 Elemente x,y dabei bennen soll die bezügl. der Addiwtion abgeschlossen seinsollen.
x wie oben und y dann mit einem s anstelle des T uns sind auch die p und q aus A und A' ( der zu A parallele affiner UR) verschieden??
bin nen bisschen ratlos :(
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Hallo ??? !
Das Erste und wichtigste ist, dass die Notation stimmt. Es ist ein affiner Unterraum $A$ vorgegeben mit [mm] $\dim [/mm] A < n$. Dann weiß man doch, dass man $A$ so darstellen kann: es gibt einen (echten) Untervektorraum $U$ von [mm] $\IR^n$ [/mm] und ein Vektor $a [mm] \in [/mm] A$ mit:
$A = a + U = [mm] \{ a + u : u \in U \}$.
[/mm]
Das ist gewissermaßen die Definition eines affinen Unterraumes. Und dann ist da noch der Punkt $p [mm] \in \IR^n$ [/mm] mit $p [mm] \notin [/mm] A$ gegeben.
Wie sieht die Menge $W$ dann aus?
$ W = [mm] \{ x \in \IR^n : x = p + t(p - q) \mbox{ mit } q \in A, t \in \IR \} \cup [/mm] (p + U)$
Zur ersten Aufgabe reicht ein Gegenbeispiel... versuch Dir das Ganze mal vorzustellen!
Zum Beispiel: $n = 3$, also wir sind im [mm] $\IR^3$ [/mm] mit Standardbasis [mm] $e_1, e_2, e_3$. [/mm] Definiere $U := [mm] \{ \lambda e_1 : \lambda \in \IR \}$ [/mm] die [mm] $e_1$-Achse. [/mm] Als $A$ nimmst dann [mm] $e_2 [/mm] + U$ (das ist die [mm] $e_1$-Achse [/mm] in Richtung der [mm] $e_2$-Achse [/mm] verschoben) und als $p$ nimmst Du [mm] $e_3$.
[/mm]
Kannst Du zeigen, dass mit diesen Wahlen und den Definitionen oben gilt: $0 [mm] \notin [/mm] W$?
Für die zweite Aufgabe betrachtest Du nicht $W$ persönlich, sondern nimmst ein Element aus $W$ her (z.B. $p$) und betrachtest die Menge $X := W - p = [mm] \{ x = w - p: w \in W \}$.
[/mm]
Wenn Du zeigen kannst, dass $X$ ein Unterraum ist, dann bist Du fertig. Und da mußt mit den Definitionen oben hantieren... dass $0 [mm] \in [/mm] X$ gilt ist noch ganz leicht und dann gehts los. 
Viel Erfolg!
Lars
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> Hallo ??? !
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> Das Erste und wichtigste ist, dass die Notation stimmt. Es
> ist ein affiner Unterraum [mm]A[/mm] vorgegeben mit [mm]\dim A < n[/mm]. Dann
> weiß man doch, dass man [mm]A[/mm] so darstellen kann: es gibt einen
> (echten) Untervektorraum [mm]U[/mm] von [mm]\IR^n[/mm] und ein Vektor [mm]a \in A[/mm]
> mit:
>
> [mm]A = a + U = \{ a + u : u \in U \}[/mm].
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> Das ist gewissermaßen die Definition eines affinen
> Unterraumes. Und dann ist da noch der Punkt [mm]p \in \IR^n[/mm] mit
> [mm]p \notin A[/mm] gegeben.
>
> Wie sieht die Menge [mm]W[/mm] dann aus?
>
> [mm]W = \{ x \in \IR^n : x = p + t(p - q) \mbox{ mit } q \in A, t \in \IR \} \cup (p + U)[/mm]
>
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> Zur ersten Aufgabe reicht ein Gegenbeispiel... versuch Dir
> das Ganze mal vorzustellen!
>
> Zum Beispiel: [mm]n = 3[/mm], also wir sind im [mm]\IR^3[/mm] mit
> Standardbasis [mm]e_1, e_2, e_3[/mm]. Definiere [mm]U := \{ \lambda e_1 : \lambda \in \IR \}[/mm]
> die [mm]e_1[/mm]-Achse. Als [mm]A[/mm] nimmst dann [mm]e_2 + U[/mm] (das ist die
> [mm]e_1[/mm]-Achse in Richtung der [mm]e_2[/mm]-Achse verschoben) und als [mm]p[/mm]
> nimmst Du [mm]e_3[/mm].
>
> Kannst Du zeigen, dass mit diesen Wahlen und den
> Definitionen oben gilt: [mm]0 \notin W[/mm]?
Naja also ich würde sagen das [mm] 0\in W [/mm] genau dann gilt, wenn für die 3 Elemente der Standart Basis gilt [mm] e_1=e_2=e_3=0 [/mm]
Daraus folgt das auch A=0 sein muss und p ebenfalls. Allerdings gilt [mm]p \notin A[/mm] und somit ist entweder A oder p ungleich 0 , oder? Und damit wäre [mm]0 \notin W[/mm].
Zum zweiten teil der Aufgabe:
1) [mm] 0\in X [/mm]
[mm] 0=x=w- p= p+ t(p-q) - p = t(p-q)[/mm]
=> x=0 , genau dann wenn p=q also [mm] 0\in X[/mm]
2) aus [mm] x,y \in X[/mm] folgt [mm] x+y \in X [/mm]
[mm] x= t(p_1-q_1) , y=t(p_2-q_2) [/mm]
[mm] x+y= (t(p_1-q_1))+(t(p_2-q_2))= tp_1-tq_2 + tp_2-tq_2 [/mm]
[mm] = tp_1+tp_2 - tq_1-tq_2 = t( ( p_1+p_2)-(q_1+q_2)) \in X [/mm]
3) [mm] l \in R^n [/mm] und [mm] x \in X [/mm] => [mm] lx \in X [/mm]
[mm] l*(t(p-q))= l(tp-tq)= ltp-ltq = t(lp-lq) \in X [/mm]
Daraus würde folgen das X Unterraum und anch der Definition des Affinen Unterraums : Eine Teilmenge W von [mm] R^n [/mm] heisst affiner Unterraum, wenn zu ihr einen Unterraum X und ein [mm] p \in R^n [/mm] gibt mit: [mm] W= p+ X = { a+ x | x [mm] \in [/mm] X }
und W war ja so definiert, gell?
Also ist das damit bewiesen?
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Gruß ??? !
Sorry für die Wartezeit, ich war (bin) krank und deshalb mit Antworten nicht so fix.
> Naja also ich würde sagen das [mm]0\in W[/mm] genau dann gilt, wenn
> für die 3 Elemente der Standart Basis gilt [mm]e_1=e_2=e_3=0[/mm]
Nein, wieso denn das? Ich könnte Dir ein anderes Beispiel für andere Wahlen von Vektoren geben, die auch von 0 verschieden sind und für die 0 in der Menge liegt.
Am besten Du gibst die Menge direkt an:
$ A = [mm] e_2 [/mm] + U $ mit $U = [mm] \{ \lambda e_1 : \lambda \in \IR \}$ [/mm] also:
$ A = [mm] \{ \pmat{ \lambda \\ 1 \\ 0 } \in \IR^3 : \lambda \in \IR \}$
[/mm]
Für $p = [mm] e_3$ [/mm] gilt:
$W = [mm] \{ \pmat{ \mu \\ 0 \\ 1 } \in \IR^3 : \mu \in \IR \} \cup \{ x = e_3 + t (e_3 - q) : t \in \IR, q \in A \}$
[/mm]
Die erste Menge enthält den Nullvektor nicht, da in der dritten Komponente stets eine 1 steht. Schauen wir uns die zweite Menge an: sei $q = [mm] \pmat{ \lambda \\ 1 \\ 0 } \in [/mm] A$ beliebig [mm] ($\lambda \in \IR$) [/mm] und $t [mm] \in \IR$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $e_3 [/mm] + [mm] t(e_3 [/mm] - q) = [mm] \pmat{0\\0\\1} [/mm] + [mm] \pmat{ - t \lambda \\ -t \\ t } [/mm] = [mm] \pmat{ - t \lambda \\ -t \\ t + 1}$
[/mm]
Die zweite Komponente dieses Vektors ist 0 genau dann, wenn $t = 0$ gilt - dann aber ist die dritte Komponente von 0 verschieden und der Vektor kann nie 0 werden.
Alles klar? Geometrisch ist $W$ eine "schief" liegende Ebene, gebildet durch die beiden (parallelen) Geraden [mm] $e_2 [/mm] + U$ und [mm] $e_3 [/mm] + U$, also die [mm] $e_1$-Achse [/mm] einmal in [mm] $e_2$-Richtung [/mm] und einmal in [mm] $e_3$-Richtung [/mm] verschoben.
> Zum zweiten teil der Aufgabe:
> 1) [mm]0\in X[/mm]
> [mm]0=x=w- p= p+ t(p-q) - p = t(p-q)[/mm]
>
> => x=0 , genau dann wenn p=q also [mm]0\in X[/mm]
Aufpassen mit der Äquivalenz!!! Das ist nicht "genau dann wenn", sondern nur "wenn" - denn falls $t = 0$, dann können $p$ und $q$ beliebig sein.
Und $p = q$ ist NIE möglich, denn $q [mm] \in [/mm] A$ und $p [mm] \notin [/mm] A$ nach Definition. Das heißt, Deine einzige Möglichkeit ist es, $t = 0$ zu wählen um zu zeigen, dass $0 [mm] \in [/mm] X$ liegt!
> 2) aus [mm]x,y \in X[/mm] folgt [mm]x+y \in X[/mm]
>
> [mm]x= t(p_1-q_1) , y=t(p_2-q_2)[/mm]
>
> [mm]x+y= (t(p_1-q_1))+(t(p_2-q_2))= tp_1-tq_2 + tp_2-tq_2[/mm]
> [mm]= tp_1+tp_2 - tq_1-tq_2 = t( ( p_1+p_2)-(q_1+q_2)) \in X[/mm]
Auch das stimmt nicht ganz, denn $p$ ist FEST gewählt - da kann es kein [mm] $p_1$ [/mm] und [mm] $p_2$ [/mm] geben! Nur $q$ ist beliebig aus der Menge $A$.
Also der Ansatz lautet:
$x = t(p - [mm] q_1)$ [/mm] mit [mm] $q_1 [/mm] = a + v$ ($v [mm] \in [/mm] U$) und $y = t'(p - [mm] q_2)$ [/mm] mit [mm] $q_2 [/mm] = a + w$ ($w [mm] \in [/mm] U$).
$x + y = [mm] \ldots [/mm] $ (Versuche es mal! Dabei kannst Du ausnutzen, dass $U$ ein Untervektorraum ist...)
> 3) [mm]l \in R^n[/mm] und [mm]x \in X[/mm] => [mm]lx \in X[/mm]
>
> [mm]l*(t(p-q))= l(tp-tq)= ltp-ltq = t(lp-lq) \in X[/mm]
Fast... $p$ ist wie oben fest, aber es reicht ja, das $t$ durch ein $lt$ zu ersetzen, dann paßt es.
Also, viel Glück!
Lars
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