affiner Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 Mo 08.11.2010 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | | Sei V:= [mm] Abb(M,\IR) [/mm] wobei M eine nichtleere Menge ist. Seien gegeben [mm] m\inM [/mm] und [mm] \lambda\in\IR. [/mm] Zeigen Sie, dass die Menge A:= { f [mm] \in [/mm] V : f(m) = [mm] \lambda [/mm] } ein affiner Unterraum von V ist. |
Wenn ich zeigen soll, dass etwas ein Unterraum ist muss ich doch zeigen, dass es bezüglich der Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.
Also dass
a) v,w [mm] \in [/mm] A und [mm] v+w\in [/mm] A
b) [mm] v\in [/mm] A und k [mm] \in [/mm] A dann gibtl k*v [mm] \in [/mm] A
Stimmt das?? Und wenn es so ist, weiß ich leider gar nicht wie ich da anfangen soll!!!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
|
|
| |
|
> Sei V:= [mm]Abb(M,\IR)[/mm] wobei M eine nichtleere Menge ist. Seien
> gegeben [mm]m\inM[/mm] und [mm]\lambda\in\IR.[/mm] Zeigen Sie, dass die
> Menge A:= [mm] \{ f \in V : f(m) = \lambda \} [/mm] ein affiner
> Unterraum von V ist.
>
> Wenn ich zeigen soll, dass etwas ein Unterraum ist
Hallo,
es geht hier nicht darum zu zeigen, daß A ein Untervektorraum von V ist.
Das würde für die weitaus meisten [mm] \lambda [/mm] auch nicht gut gelingen.
Vielleicht machst Du Dir erstmal kla, warum das so ist.
Zeigen sollst Du, daß A ein affiner Unterraum von V ist.
Das bedeutet: es gbit ein [mm] f\in [/mm] V mit A=f+U, wobei U ein Untervektorraum von V ist.
(Mal übertragen in den Anschauungsraum: die Geraden durch den Nullpunkt sind Untervektorräume des [mm] \IR^3, [/mm] die Geraden, die nicht duch die Null gehen, sind affine Unterräume.)
> muss ich
> doch zeigen, dass es bezüglich der Addition und
> Multiplikation abgeschlossen ist.
>
> Also dass
> a) v,w [mm]\in[/mm] A und [mm]v+w\in[/mm] A
> b) [mm]v\in[/mm] A und k [mm]\in[/mm] A dann gibtl k*v [mm]\in[/mm] A
>
> Stimmt das??
Nein. Schau Dir auch die Untervektorraumkriterien nochmal an.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Mo 08.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Was????
Das versteh ich gar nicht..
Also wenn ich eine Menge gegeben habe z.b. alle ganzen Zahlen.
Was ist dann ein Unterraum und was ein Untervektorraum???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Mo 08.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Was ein Vektorraum über einem Körper K ist, ist Dir klar ?
Ist V ein K-Vektorraum, so bildet eine Teilmenge [mm] U\subseteq [/mm] V genau dann einen Untervektorraum, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. 0 [mm] \in [/mm] U
2. für alle x,y [mm] \in [/mm] U gilt x + y [mm] \in [/mm] U
(U ist abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition)
3. für alle x [mm] \in [/mm] U und a [mm] \in [/mm] K gilt $a * x [mm] \in [/mm] U$
(U ist abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation)
Wie Angela Dir schon gesagt hat: ein affiner Unterraum von V hat die Form
A=x+U = { x+u: u [mm] \in [/mm] U },
wobei x [mm] \in [/mm] V und U ein Untervektorraum von V ist.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mo 08.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Heißt das ich muss zunächst einen Untervektorraum finden???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Mo 08.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Heißt das ich muss zunächst einen Untervektorraum
> finden???
Ja.
Tipp: Sei [mm] f_0 [/mm] die Abb. in V mit [mm] f_0(v)= \lambda [/mm] für alle v [mm] \in [/mm] V
Weiter sei U:= { f [mm] \in [/mm] V : f(m)=0 }
Zeige: U ist ein Untervektorraum von V und
A = [mm] f_0 [/mm] +U
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mo 08.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Erstmal vielen Dank für eure Hilfe aber leider versteh ich das alles garnicht
Bei einem Untervektorraum muss Addition und multipliaktion abgeschlossen sein?
Und bei Unterraum muss was gelten??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Mo 08.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich kann mich nur wiederholen:
https://matheraum.de/read?i=731659
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Mi 10.11.2010 | | Autor: | sissenge |
So ich habe lange über die Antwort nach gedaht, doch leider versteh ich immer noch nicht, was ich eigentlich machen soll!! Wie finde ich zb einen Untervektorraum???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Do 11.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
fred hat dir doch einen hingeschrieben, du musst nur noch zeigen, dass es einer ist.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 Do 11.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Das heißt ich muss jetzt zeigen, dass U:= { f [mm] \in [/mm] V : f(m) = 0 }
ein Untervektorraum ist....
Er muss abgeschlossen bezüglich der Addition und Skalarmultiplikation sein???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Das heißt ich muss jetzt zeigen, dass U:= { f [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V : f(m)
> = 0 }
>
> ein Untervektorraum ist....
Ja
>
> Er muss abgeschlossen bezüglich der Addition und
> Skalarmultiplikation sein???
Ja
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Do 11.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Ok... dann habe ich das jetzt verstanden, allerdings bin ich eine totale Null im Beweisen, es sein denn es ist vollständige Induktion. Deshlab weiß ich nicht mal wie ich hier anfangen soll....
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ok... dann habe ich das jetzt verstanden, allerdings bin
> ich eine totale Null im Beweisen, es sein denn es ist
> vollständige Induktion. Deshlab weiß ich nicht mal wie
> ich hier anfangen soll....
Na, das ist ja toll!
Deinem Profil entnehme ich, dass du im Hauptstudium bist ...
Da kamen bisher nur Beweise mit vollst. Induktion dran - ahso
Nun, mir scheint, dir ist nicht klar, wie die Elemente von [mm]V[/mm], also die Vektoren, mit denen wir es hier zu tun haben, aussehen.
Das sind Abbildungen von [mm]M\to\IR[/mm], wobei [mm]M\neq\emptyset[/mm] eine Menge ist.
Der Nullvektor in [mm]V[/mm] ist also die Nullfunktion [mm]n:M\to\IR, m\mapsto 0[/mm]
Nun sollst du zeigen, dass das oben beschriebene [mm]U[/mm] ein UVR von [mm]V[/mm] ist.
Ist [mm]\vec{0}=n\in U[/mm]?
Erfüllt also [mm]n[/mm] die Eigenschaft, die [mm]U[/mm] auszeichnet?
Dann nimm dir 2 Vektoren aus [mm]U[/mm] her, [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm]
Was ist dann [mm](f_1+f_2)(m)[/mm] für beliebiges [mm]m\in M[/mm] ?
Ebenso zu Punkt 3) Nimm [mm]\alpha\in\IR[/mm] her und einen Vektor [mm]f\in U[/mm]
Was ist [mm](\alpha\cdot{}f)(m)[/mm]? ([mm]m\in M[/mm])
Wie sieht [mm]U[/mm] also letzten Endes aus?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Do 11.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Was ich zeigen muss hab ich schon verstanden.... Aber ich weiß nicht WIE!!
Ach und zu meinem Studium: es kamen beweisen dran, nur gibt es keinen Mathematiker der erklären kann WIE man etwas beweisen kann!!!
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Was ich zeigen muss hab ich schon verstanden.... Aber ich
> weiß nicht WIE!!
>
> Ach und zu meinem Studium: es kamen beweisen dran, nur gibt
> es keinen Mathematiker der erklären kann WIE man etwas
> beweisen kann!!!
Ich habe dir doch oben die drei Sachen hingeschrieben.
So musst du anfangen, es sind jeweils nur 1 oder 2 Umformungen.
Wenn ich mehr schreibe, seht die Lösung da.
Nochmal zu 2):
Du nimmst 2 Vektoren aus [mm]U[/mm], sagen wir [mm]f_1,f_2[/mm] her.
Dh. für jedes [mm]m\in M[/mm] ist [mm]f_1(m)=0[/mm] und auch [mm]f_2(m)=0[/mm]
So ist ja [mm]U[/mm] gerade definiert.
Zeigen musst du, dass der Vektor [mm]f_1+f_2\in U[/mm] ist, dass also [mm](f_1+f_2)(m)=0[/mm] ist für bel. [mm]m\in M[/mm]
Wie ist denn die Addition von Funktionen definiert?
Was ist [mm](f_1+f_2)(m)=f_1(m)\ldots[/mm]
Ganz analog für 3)
1) ist doch mehr als offensichtlich
Sage genauer, was du nicht verstehst.
Wenn du nur solch ein Allgemeingeblubber à la "ich kann keine Beweise" absonderst, kann man dir auch nicht helfen.
Du solltes nun mal den ganzen thread in Ruhe und mit Muße studieren.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Do 11.11.2010 | | Autor: | sissenge |
wieso ist f1 (m) = 0 ?????
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> wieso ist f1 (m) = 0 ?????
Das steht im thread (oben in einer Antqwort von Fred), [mm]U[/mm] wurde so gewählt, dass es alle Funktionen enthält, die [mm]m[/mm] auf 0 abbilden.
Wenn also [mm]f_1\in U[/mm] ist, so gilt [mm]f_1(m)=0[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Do 11.11.2010 | | Autor: | sissenge |
also ich habe jetzt zb für die addition geschrieben:
(f1 + f2) (m) = f1 (m) + f2 (m) = 0 + 0 unf 0 [mm] \in [/mm] U
Stimmt das so???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> also ich habe jetzt zb für die addition geschrieben:
>
> (f1 + f2) (m) = f1 (m) + f2 (m) = 0 + 0 unf 0 [mm]\in[/mm] U
>
> Stimmt das so???
Nein.
Richtig: [mm] (f_1 [/mm] + [mm] f_2) [/mm] (m) = [mm] f_1(m) [/mm] + [mm] f_2 [/mm] (m) = 0 + 0=0 und damit ist [mm] f_1+f_2 \in [/mm] U
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Do 11.11.2010 | | Autor: | sissenge |
ok... gut dann hab ich das jetzt so einiger maßen verstanden danke!!
Allerdings das mit dem Nullvektor noch nicht so ganz.
Ist der Nullvektor nicht immer Element einer nicht leeren Menge??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> ok... gut dann hab ich das jetzt so einiger maßen
> verstanden danke!!
>
> Allerdings das mit dem Nullvektor noch nicht so ganz.
>
> Ist der Nullvektor nicht immer Element einer nicht leeren
> Menge??
Ja, trivialerweise
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Do 11.11.2010 | | Autor: | sissenge |
So jetzt habe ich also bewiesen, dass U ein Untervektorraum von V ist.Jetzt muss ich doch ncoh zeigen, dass f0 + U = A gilt oder??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> So jetzt habe ich also bewiesen, dass U ein Untervektorraum
> von V ist.Jetzt muss ich doch ncoh zeigen, dass f0 + U = A
> gilt oder??
Ja
FRED
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Do 11.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Und wie kann ich das machen also f0 ist doch laut Definition = 0 oder nicht??? und damit müsste A = U sein ????
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Sorry, aber wer lesen kann ist im Vorteil !
Oben habe ich geschrieben:
"Sei $ [mm] f_0 [/mm] $ die Abb. in V mit $ [mm] f_0(v)= \lambda [/mm] $ für alle v $ [mm] \in [/mm] $ V"
FRED
|
|
|
|
