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Forum "Determinanten" - ahnlich zu Dreiecksmatrix?
ahnlich zu Dreiecksmatrix? < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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ahnlich zu Dreiecksmatrix?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 So 09.10.2011
Autor: perl

Aufgabe
A:= [mm] \pmat{ 1 & \alpha^{2} - \alpha \\ 0 & 1 } [/mm]

Für welche [mm] \alpha \in \IR [/mm] ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix?

was man sofort sieht, ist dass für [mm] \alpha [/mm] = 1 oder [mm] \alpha=0 [/mm] bereits eine Diagonalmatrix vorliegt.

Für [mm] \alpha \not= [/mm] 1;0

1. Berechnen der EW t: das charakteristische Polynom hat die Lösung t=1, also ist 1 EW. Zudem ist 1 doppelte Nst.
--> algebraische Vielfachheit =2

2. ER zu EW bestimmen: für t=1 ergibt die Charakteristische Gleichung folgendes LGS:
[mm] (\alpha^{2}-\alpha)x_2=0 [/mm]

Was heißt das jetzt? wie mach ich weiter?

        
Bezug
ahnlich zu Dreiecksmatrix?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 So 09.10.2011
Autor: felixf

Moin!

> A:= [mm]\pmat{ 1 & \alpha^{2} - \alpha \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> Für welche [mm]\alpha \in \IR[/mm] ist A ähnlich zu einer
> Diagonalmatrix?
>  was man sofort sieht, ist dass für [mm]\alpha[/mm] = 1 oder
> [mm]\alpha=0[/mm] bereits eine Diagonalmatrix vorliegt.
>  
> Für [mm]\alpha \not=[/mm] 1;0
>  
> 1. Berechnen der EW t: das charakteristische Polynom hat
> die Lösung t=1, also ist 1 EW. Zudem ist 1 doppelte Nst.
>  --> algebraische Vielfachheit =2

>  
> 2. ER zu EW bestimmen: für t=1 ergibt die
> Charakteristische Gleichung folgendes LGS:
>  [mm](\alpha^{2}-\alpha)x_2=0[/mm]
>  
> Was heißt das jetzt? wie mach ich weiter?

Da [mm] $\alpha \neq [/mm] 0, 1$ ist doch [mm] $\alpha^2 [/mm] - [mm] \alpha \neq [/mm] 0$. Was bedeutet das fuer [mm] $x_2$? [/mm]

LG Felix



Bezug
                
Bezug
ahnlich zu Dreiecksmatrix?: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:11 So 09.10.2011
Autor: perl


> Moin!
>  
> > A:= [mm]\pmat{ 1 & \alpha^{2} - \alpha \\ 0 & 1 }[/mm]
>  >  
> > Für welche [mm]\alpha \in \IR[/mm] ist A ähnlich zu einer
> > Diagonalmatrix?
>  >  was man sofort sieht, ist dass für [mm]\alpha[/mm] = 1 oder
> > [mm]\alpha=0[/mm] bereits eine Diagonalmatrix vorliegt.
>  >  
> > Für [mm]\alpha \not=[/mm] 1;0
>  >  
> > 1. Berechnen der EW t: das charakteristische Polynom hat
> > die Lösung t=1, also ist 1 EW. Zudem ist 1 doppelte Nst.
>  >  --> algebraische Vielfachheit =2

>  >  
> > 2. ER zu EW bestimmen: für t=1 ergibt die
> > Charakteristische Gleichung folgendes LGS:
>  >  [mm](\alpha^{2}-\alpha)x_2=0[/mm]
>  >  
> > Was heißt das jetzt? wie mach ich weiter?
>
> Da [mm]\alpha \neq 0, 1[/mm] ist doch [mm]\alpha^2 - \alpha \neq 0[/mm]. Was
> bedeutet das fuer [mm]x_2[/mm]?
>  

Das bedeutet, dass [mm] x_2=0 [/mm] sein muss.

da x1*0=0 gilt, ist [mm] x_1 [/mm] beliebig.

heißt das, dass  (1 [mm] 0)^{T} [/mm] ein Eigenvektor ist und der ER somit span((1 [mm] 0)^{T} [/mm] ???

Formel: [mm] Rang(A-\lambda [/mm] E)=^{!} n-k

Für n-k gilt: t ist doppelte Nullstelle, also k=2 und n= 2 ist klar.
also ist n-k=0

Für Rang(A-t E) gilt: Rang(A-t E)=0 da für [mm] x_2=0 [/mm] gelten muss.

Wie schaut dann die Transformationsmatrix aus? da 1 doppelte:

[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }????? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
ahnlich zu Dreiecksmatrix?: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Di 11.10.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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