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| Aufgabe | | Wie viele zweistellige Zahlen gibt es in einem b-adischen System, bei denen die erste Ziffer größer ist als die zweite? Stellen Sie eine allgemeine Formel auf und beweisen Sie diese. |
Hallo!
Ich hab da ein bisschen rumprobiert und eine Gesetzmäßigkeit gefunden, weiß aber nicht wie ich die in eine allgemeine Formel stecken soll/ kann. Vielleicht hat ja jemand von Euch eine Idee oder einen Hilfreichen Tipp.
Basis 2: 1 Zahl
Basis 3: 3 Zahlen
Basis 4: 6 Zahlen
Basis 5: 10 Zahlen
Basis 6: 15 Zahlen
Basis 7: 21 Zahlen
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Also ist die Basis [mm] b\ge2 [/mm] +1 und das Ergebnis +der vorherigen Basis. Verständlich?
Und jetzt?? Wie mach ich das??
Schon mal Danke
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> Wie viele zweistellige Zahlen gibt es in einem b-adischen
> System, bei denen die erste Ziffer größer ist als die
> zweite? Stellen Sie eine allgemeine Formel auf und beweisen
> Sie diese.
> Hallo!
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> Ich hab da ein bisschen rumprobiert und eine
> Gesetzmäßigkeit gefunden, weiß aber nicht wie ich die in
> eine allgemeine Formel stecken soll/ kann. Vielleicht hat
> ja jemand von Euch eine Idee oder einen Hilfreichen Tipp.
>
> Basis 2: 1 Zahl
> Basis 3: 3 Zahlen
> Basis 4: 6 Zahlen
> Basis 5: 10 Zahlen
> Basis 6: 15 Zahlen
> Basis 7: 21 Zahlen
> . .
> . .
> Also ist die Basis [mm]b\ge2[/mm] +1 und das Ergebnis +der
> vorherigen Basis. Verständlich?
>
> Und jetzt?? Wie mach ich das??
>
> Schon mal Danke
Hallo,
vielleicht hast du schon einmal die Anekdote über
den Lehrer gehört, der seinen Primarschülern die
Aufgabe stellte, die Summe
1+2+3+ .... + 100
zu berechnen und dabei dachte, die ganze Klasse sei
damit für eine Stunde beschäftigt. Der Lehrer war
aber sehr erstaunt, dass einer der Schüler, der kleine
Carl, die richtige Lösung nach ganz kurzer Zeit auf
seiner Schreibtafel vorwies - ohne jede Ausrechnung:
Carl hatte die Aufgabe als Kopfrechnung erledigt ...
LG
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Hallo ohmeinkreuz,
vielleicht ist Dir aufgefallen, dass es sich um die Dreieckszahlen handelt:
1=1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
15=1+2+3+4+5
21=1+2+3+4+5+6
...
Die allgemeine Formel kennst Du wahrscheinlich.
Du musst nur noch zeigen, warum man sie eigentlich anwenden kann.
Grüße
reverend
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Hi! Danke für die Hinweise.
Ja, die Formel für die Dreieckszahlen oder auch Gaußsche Summenformel kenn ich:
[mm] \summe_{i=1}^{n}=\bruch{n\*(n+1)}{2}
[/mm]
Aber in Bezug auf meine Aufgabe kommt das doch nicht richtig hin. Denn beim b-adischen System Basis 2 muss 1 rauskommen und bei Basis 5 z.Bsp. muss 10 rauskommen. Wenn ich aber die Zahlen in n einsetze kommt bei 2 3 raus und bei 5 15. Das stimmt dann zwar für die Dreieckszahlen aber doch nicht bei der allgemeinen Formel zum herausfinden wieviele zweistellige Ziffern es gibt in der die erste größer der zweiten ist.
Oder hängt ich grad irgendwo fest?
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> [mm]\summe_{i=1}^{n}=\bruch{n\*(n+1)}{2}[/mm]
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> Aber in Bezug auf meine Aufgabe kommt das doch nicht
> richtig hin. Denn beim b-adischen System Basis 2 muss 1
> rauskommen und bei Basis 5 z.Bsp. muss 10 rauskommen. Wenn
> ich aber die Zahlen in n einsetze kommt bei 2 3 raus und
> bei 5 15.
Du musst in der Summe einfach einen Summanden
weniger berücksichtigen, weil z.B. die gesuchte Anzahl
[mm] a_5 [/mm] sich als $\ [mm] a_5=1+2+3+4$ [/mm] (und nicht $\ [mm] a_5=1+2+3+4+5$)
[/mm]
berechnet.
LG
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Versteh ich nicht.
Wenn ich [mm] a_5 [/mm] habe, und 5 in n einsetzte bekomme ich 15 raus, will aber 10...
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> Versteh ich nicht.
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> Wenn ich [mm]a_5[/mm] habe, und 5 in n einsetzte bekomme ich 15
> raus, will aber 10...
Das heisst doch: wenn du [mm] a_5 [/mm] willst, musst du in
die Formel $\ n=4$ einsetzen. Oder allgemein:
im n-adischen System ist die Anzahl dieser Zahlen
gleich
$\ [mm] a_n=\summe_{i=1}^{n-1}i\ [/mm] =\ [mm] \bruch{(n-1)*((n-1)+1)}{2}$
[/mm]
oder, wenn du willst:
$\ [mm] a_n=\left(\summe_{i=1}^{n}i\right)\ -\,n\ [/mm] =\ [mm] \bruch{n*(n+1)}{2}\,-\,n$
[/mm]
natürlich kann man die Ergebnisse vereinfachen
LG
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