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| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix [mm] A_{n}= [/mm] { [mm] a_{ij} [/mm] } _{ [mm] 1\le [/mm] i,j [mm] \le [/mm] n} mit
[mm] a_{ij} =\begin{cases} 1, & \mbox{für } i = j+1 \mbox { und } i = j - 1\mbox \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] det(A_{n}) =\begin{cases}0, & \mbox{für ungerades }n \\ (-1)^{n/2}, & \mbox{für gerades } n\end{cases} [/mm] |
Hallo alle zusammen,
also hier komm ich bin grad echt am Scheitern. Das einzige was ich verstehe ist wie die Matrix aussieht. Und ich weiß das ich die Matrix durch umformen nach Gauß in eine obere Dreiecksmatrix bringen muss damit ich die Determinate einfach aus der Hauptdiagonalen ablesen kann. Wie ich das jedoch bewerkstelligen soll, weiß ich bis jetzt noch nicht.
Gruß SnafuBernd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:03 Mi 20.01.2010 | | Autor: | gfm |
Nach dem Entwicklungssatz gilt (nach der j-ten Spalte)
Det [mm] A^{(n)} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}Det A^{(n)}_{ij}
[/mm]
In der ersten Spalte steht immer nur in der 2. Zeile eine 1 (außer für die verschwindende [mm] A^{(1)}). [/mm] Die Entwicklung nach der 1. Spalte ergibt dann
Det [mm] A^{(n)} [/mm] = -Det [mm] A^{(n)}_{21}
[/mm]
Bei der adjunkten Matrix [mm] A^{(n)}_{21} [/mm] hat man in der 1. Spalte bei Zeile eins und zwei eine 1 sonst nur Nullen. Deswegen entwickelt man wieder nach der 1. Spalte, denn die (21)-Adjunkte der (21)-Adjunkten enthält nur Nullen in der ersten Zeile.
Die (11)-ner Adjunkte der (21)-Adjunkten ist jetzt aber [mm] A^{(n-2)}. [/mm]
Damit haben wir die Rekursion
Det [mm] A^{(n)} [/mm] = -Det [mm] A^{(n-2)}
[/mm]
Mit dem Induktionsanfang
[mm] Det(A^{(1)})=0
[/mm]
[mm] Det(A^{(2)})=-1
[/mm]
ist dann alles gesagt.
LG
gfm
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Ok ich verstehe die Idee, jedoch verstehen ich nicht wie ich dann bei dem Induktionsschritt weiter gehen soll. Ich muss ja anscheinend zwei Induktionen machen, für gerade und ungerade. Ist dann mein Schritt immer n+2? Naja, und dann stehe ich bei dem Ind.Schritt auf der Formel [mm] detA_{n+2} [/mm] mit der Ind.Vorrausetzung :
detA = 0 bzw [mm] detA=(-1)^{\bruch{n}{2} } [/mm]
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Hallo!
> Ok ich verstehe die Idee, jedoch verstehen ich nicht wie
> ich dann bei dem Induktionsschritt weiter gehen soll. Ich
> muss ja anscheinend zwei Induktionen machen, für gerade
> und ungerade. Ist dann mein Schritt immer n+2? Naja, und
> dann stehe ich bei dem Ind.Schritt auf der Formel
> [mm]detA_{n+2}[/mm] mit der Ind.Vorrausetzung :
> detA = 0 bzw [mm]detA=(-1)^{\bruch{n}{2} }[/mm]
Naja, du machst einfach eine Induktion, bei welcher du n als bekannt voraussetzt und dann die Aussage für (n+2) bestätigst.
Also: Du weißt nun per Induktionsvoraussetzung, dass
[mm] det(A^{(n)}) [/mm] = 0 falls n ungerade.
[mm] det(A^{(n)}) [/mm] = [mm] (-1)^{\frac{n}{2}} [/mm] falls n gerade.
Nun willst du etwas über [mm] det(A^{(n+2)}) [/mm] aussagen, und du weißt, dass [mm] det(A^{(n+2)}) [/mm] = [mm] -det(A^{(n)}) [/mm] ist.
Fallunterscheidung: n gerade (Dann ist auch (n+2) gerade):
[mm] det(A^{(n+2)}) [/mm] = [mm] -det(A^{(n)}) [/mm] = [mm] -(-1)^{\frac{n}{2}} [/mm] = [mm] (-1)^{\frac{n}{2}+1} [/mm] = [mm] (-1)^{\frac{n+2}{2}}.
[/mm]
n ungerade (Dann ist auch (n+2) ungerade):
[mm] det(A^{(n+2)}) [/mm] = [mm] -det(A^{(n)}) [/mm] = -0 = 0.
Damit hast du alles gezeigt.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 So 24.01.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Vielen Dank. Jetzt habe ich auch wirklich verstanden, was der Post vorher zu bedeuten hatte. Danke nochmal an beide!!
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