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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt:
Hi,
ich sitze grad an den Vorbereitungen für meine Mathe-Klausur im Grundstudium und bin an den Ungleichungen, im speziellen an Ungleichungen mit Bruchtermen. Jetzt gibt es da ja verschiedene Typen, z.B. noch die "Grundform" wie z.B. [mm] \bruch{x+1}{x-2}>2. [/mm] Wie diese zu Lösen sind ist mir klar.
Nun gibt es ja aber auch andere Typen, und ich bin gerade dabei mir eine Formelsammlung mit Lösungswegen zusammenzuschreiben.
Gibt es einen "Standard-Lösungsweg" / Schema, nach dem man alle Ungleichungstypen mit Bruchtermen lösen kann (quasi eine Vorlage, in die man dann nur noch die Terme einsetzen muss)?
Ich habe schon selbst geschrieben:
1. Den Hauptnenner finden + dessen Nullstellen [mm] x_1, x_2 [/mm] bestimmen
2. Definitionsbereich bestimmen: D= [mm] \IR/\left\{ x_1, x_2 \right\}
[/mm]
3. Fallunterscheidung:
1. Fall: Hauptnenner > 0
2. Fall: Hauptnenner < 0
--> jeweils die Ungleichung mit Hauptnenner multiplizieren
+ nach x auflösen --> ergibt x > Wert "w" bzw. x < w
Nun meine eigentliche Frage:
Wenn man den Hauptnenner mit den Nullstellen [mm]x_1, x_2 [/mm] hat und dieser ausmultipliziert ein Polynom 2. Grades in der Form [mm] p(x)=ax^2+bx+c [/mm] ergibt, kann man dann verallgemeinernd sagen:
- Wenn der Hauptnenner > 0 und a positiv ist,
ist die Teillösungsmenge [mm] L_1: [/mm] (- ∞,w) bzw. (w, + ∞)
--> je nach Bedingung der Ungleichung
- Wenn der Hauptnenner < 0 und a positiv ist,
ist die Teillösungsmenge [mm] L_2 [/mm] :[mm]\left( x_1,x_2\right)[/mm]
Wobei die Lösungsgesamtheit der Ungleichung dann [mm] L_1 \cup\ L_2 [/mm] wäre.
Kann man das so schreiben?
Vielen Dank für eure Hilfe schonmal,
Nullchecker.
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Hi!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt:
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> Hi,
> ich sitze grad an den Vorbereitungen für meine
> Mathe-Klausur im Grundstudium und bin an den Ungleichungen,
> im speziellen an Ungleichungen mit Bruchtermen. Jetzt gibt
> es da ja verschiedene Typen, z.B. noch die "Grundform" wie
> z.B. [mm]\bruch{x+1}{x-2}>2.[/mm] Wie diese zu Lösen sind ist mir
> klar.
> Nun gibt es ja aber auch andere Typen, und ich bin gerade
> dabei mir eine Formelsammlung mit Lösungswegen
> zusammenzuschreiben.
> Gibt es einen "Standard-Lösungsweg" / Schema, nach dem man
> alle Ungleichungstypen mit Bruchtermen lösen kann (quasi
> eine Vorlage, in die man dann nur noch die Terme einsetzen
> muss)?
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> Ich habe schon selbst geschrieben:
> 1. Den Hauptnenner finden + dessen Nullstellen [mm]x_1, x_2[/mm]
> bestimmen
> 2. Definitionsbereich bestimmen: D= [mm]\IR/\left\{ x_1, x_2 \right\}[/mm]
>
> 3. Fallunterscheidung:
> 1. Fall: Hauptnenner > 0
> 2. Fall: Hauptnenner < 0
> --> jeweils die Ungleichung mit Hauptnenner
> multiplizieren
> + nach x auflösen --> ergibt x > Wert "w" bzw. x < w
>
> Nun meine eigentliche Frage:
> Wenn man den Hauptnenner mit den Nullstellen [mm]x_1, x_2[/mm] hat
> und dieser ausmultipliziert ein Polynom 2. Grades in der
> Form [mm]p(x)=ax^2+bx+c[/mm] ergibt, kann man dann verallgemeinernd
> sagen:
>
> - Wenn der Hauptnenner > 0 und a positiv ist,
> ist die Teillösungsmenge [mm]L_1:[/mm] (- ∞,w) bzw. (w, + ∞)
> --> je nach Bedingung der Ungleichung
>
> - Wenn der Hauptnenner < 0 und a positiv ist,
> ist die Teillösungsmenge [mm]L_2[/mm] :[mm]\left( x_1,x_2\right)[/mm]
>
> Wobei die Lösungsgesamtheit der Ungleichung dann [mm]L_1 \cup\ L_2[/mm]
> wäre.
>
> Kann man das so schreiben?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe schonmal,
> Nullchecker.
>
Man kann sich nicht für jede Art von Bruchungleichung einen Allgorithmus schreiben.
Unterschiedliche Bruchungleichungen werden individuell auf verschiedene Art gelöst.
Du solltest allgemein verstehen wie man an solche Aufgaben herangeht.
Wenn du viele solcher Aufgaben übst, entwickelst du ein Gefühl dafür, wie man an den jeweiligen Aufgabentyp herangeht.
Ich wandle deine Frage mal in eine Umfrage um. Wenn dir das nicht recht ist, sag bescheid.
Valerie
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Sa 09.02.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo nullchecker,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt:
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> Hi,
> ich sitze grad an den Vorbereitungen für meine
> Mathe-Klausur im Grundstudium und bin an den Ungleichungen,
> im speziellen an Ungleichungen mit Bruchtermen. Jetzt gibt
> es da ja verschiedene Typen, z.B. noch die "Grundform" wie
> z.B. [mm]\bruch{x+1}{x-2}>2.[/mm] Wie diese zu Lösen sind ist mir
> klar.
> Nun gibt es ja aber auch andere Typen, und ich bin gerade
> dabei mir eine Formelsammlung mit Lösungswegen
> zusammenzuschreiben.
> Gibt es einen "Standard-Lösungsweg" / Schema, nach dem man
> alle Ungleichungstypen mit Bruchtermen lösen kann (quasi
> eine Vorlage, in die man dann nur noch die Terme einsetzen
> muss)?
>
> Ich habe schon selbst geschrieben:
> 1. Den Hauptnenner finden + dessen Nullstellen [mm]x_1, x_2[/mm]
> bestimmen
> 2. Definitionsbereich bestimmen: D= [mm]\IR/\left\{ x_1, x_2 \right\}[/mm]
>
> 3. Fallunterscheidung:
> 1. Fall: Hauptnenner > 0
> 2. Fall: Hauptnenner < 0
> --> jeweils die Ungleichung mit Hauptnenner
> multiplizieren
> + nach x auflösen --> ergibt x > Wert "w" bzw. x < w
>
> Nun meine eigentliche Frage:
> Wenn man den Hauptnenner mit den Nullstellen [mm]x_1, x_2[/mm] hat
> und dieser ausmultipliziert ein Polynom 2. Grades in der
> Form [mm]p(x)=ax^2+bx+c[/mm] ergibt, kann man dann verallgemeinernd
> sagen:
>
> - Wenn der Hauptnenner > 0 und a positiv ist,
> ist die Teillösungsmenge [mm]L_1:[/mm] (- ∞,w) bzw. (w, + ∞)
> --> je nach Bedingung der Ungleichung
>
> - Wenn der Hauptnenner < 0 und a positiv ist,
> ist die Teillösungsmenge [mm]L_2[/mm] :[mm]\left( x_1,x_2\right)[/mm]
>
> Wobei die Lösungsgesamtheit der Ungleichung dann [mm]L_1 \cup\ L_2[/mm]
> wäre.
>
> Kann man das so schreiben?
Nein. Mir ist nicht ganz klar, was Du gemeint hast.
Ich interpretiere mal munter drauf los: Du untersuchst nur den Fall, daß der Hauptnenner zwei reelle Nullstellen hat. Richtig?
Seien u < v die Nullstellen und betrachten wir den Fall Hauptnenner > 0 und a > 0. Für x > w erhalten wir unterschiedliche Lösungsmengen je nach Lage von w:
w < u
u<w<v
v < w,
nämlich welche? Nur für v < w hat die Lösungsmenge die von Dir angegebene Form.
Es ist also recht kompliziert, ein allgemeines Verfahren anzugeben. Erfolgversprechender ist es, die Vereinfachung von Ungleichungen und die Vermeidung von Fallunterscheidungen einzuüben.
Gruß,
Wolfgang
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| Aufgabe | | [mm] x^2+x-6>0 [/mm] |
Ok gut, danke euch!
Dann versuch ich einfach durch verschiedene Übungen sicherer zu werden... Eine Frage hätte ich noch, und zwar ganz praktisch: Was bekommt ihr als Lösungsmenge der genannten Ungleichung raus?
Meine Lösung: L=(-∞,-3) [mm] \cup [/mm] (2,∞ ) stimmt nicht mit der "Vergleichslösung" vom Prof in meinem Ordner überein...
Danke,
Niklas.
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Und wie wäre die Lösungsmenge für die Ungleichung, wenn anstatt > ein [mm] \ge [/mm] stehen würde?
Danke...
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Hallo,
> Und wie wäre die Lösungsmenge für die Ungleichung, wenn
> anstatt > ein [mm]\ge[/mm] stehen würde?
> Danke...
Entsprechend
$L = [mm] (-\infty,-3] \cup [/mm] [2, [mm] \infty)$
[/mm]
Also $x [mm] \ge [/mm] 2$ oder $x [mm] \le [/mm] -3$.
Viele Grüße,
Stefan
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Ihr seid super, danke!
An sowas häng ich mich immer ewig auf (wenn die Lösung der Vorlesung was anderes ist als mein Ergebnis) und verunsichert mich...
Da bin ich jetzt ja beruhigt!
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Hallo,
> [mm]x^2+x-6>0[/mm]
> Ok gut, danke euch!
> Dann versuch ich einfach durch verschiedene Übungen
> sicherer zu werden... Eine Frage hätte ich noch, und zwar
> ganz praktisch: Was bekommt ihr als Lösungsmenge der
> genannten Ungleichung raus?
> Meine Lösung: L=(-∞,-3) [mm]\cup[/mm] (2,∞ ) stimmt nicht mit
> der "Vergleichslösung" vom Prof in meinem Ordner
> überein...
Deine Lösung ist richtig.
Du bestimmst die Nullstellen der quadr. Gleichung (x = -3, x = 2)
Du siehst, dass es eine nach oben geoeffnete Parabel ist. Also erfüllen alle Werte $x > 2$ und $x < -3$ die Ungleichung.
Viele Grüße,
Stefan
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