anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme durch Trennung der Variablen,
das heißt, geben Sie die L¨osung der Differentialgleichung an, die die
aufgef¨uhrte Anfangsbedingung erfüllt.
(i) y'+y*sin(x)=0 [mm] y(\pi)=\bruch{1}{e}
[/mm]
(ii) (x-1)(x+1)y'=y |
Guten Abend leute,
ich komme bei i) nicht weiter und bitte um Hilfe.
Angefangen habe ich mit der Beziehung [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] =y'
[mm] \bruch{dy}{dx}+y*sin(x)=0 y(\pi)=\bruch{1}{e}
[/mm]
TdV: [mm] \integral \bruch{dy}{dx}= [/mm] -\ integral y*sin(x)
ln(y)= cos(x)+ [mm] ln(c_{1})
[/mm]
[mm] ln(y)-ln(c_{1})= [/mm] cos(x)
[mm] ln(\bruch{y}{c_{x}}=cos(x)
[/mm]
[mm] \bruch{y}{c_{x}}=e^cos(x)
[/mm]
Tja und nun kommt vermutlich der hacken :
y= e^cos(x)* [mm] c_{x}
[/mm]
y'= u'+v+u*v'= -sin(x)e^cos(x) [mm] *c_{1}+ [/mm] e^cos(x) + c(x)'
und wenn ich diese 2 funktionen in die gleichung einsetze kommt das irgendwie nciht hin. ich müsste nämlich noch das c(x)' integrieren und dann die Lösung finden.
Danke für eure Hilfe
MfG
|
|
| |
|
Hallo
> Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme durch Trennung
> der Variablen,
> das heißt, geben Sie die L¨osung der
> Differentialgleichung an, die die
> aufgef¨uhrte Anfangsbedingung erfüllt.
> (i) y'+y*sin(x)=0 [mm]y(\pi)=\bruch{1}{e}[/mm]
> (ii) (x-1)(x+1)y'=y
>
> Guten Abend leute,
>
> ich komme bei i) nicht weiter und bitte um Hilfe.
>
> Angefangen habe ich mit der Beziehung [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] =y'
> [mm]\bruch{dy}{dx}+y*sin(x)=0 y(\pi)=\bruch{1}{e}[/mm]
>
> TdV: [mm]\integral \bruch{dy}{dx}=[/mm] -\ integral y*sin(x)
>
> ln(y)= cos(x)+ [mm]ln(c_{1})[/mm]
Wie kommst du auf [mm] ln(c_1)?. [/mm] Naja, ist auch egal, du kannst dafür einfach eine Konstante [mm] c\in \IR [/mm] schreiben
Dann gilt:
ln(y)=cos(x)+c
<=> [mm] y=e^{cos(x)}*d (d:=e^c [/mm] und ist eine neue Konstante)
Jetzt hast du doch deine Lösung schon.
Jetzt noch AW einsetzen, um d zu errechnen und dann noch das Definitionsgebiet angeben und fertig bist du.
>
> [mm]ln(y)-ln(c_{1})=[/mm] cos(x)
>
> [mm]ln(\bruch{y}{c_{x}}=cos(x)[/mm]
>
> [mm]\bruch{y}{c_{x}}=e^cos(x)[/mm]
>
> Tja und nun kommt vermutlich der hacken :
>
> y= e^cos(x)* [mm]c_{x}[/mm]
> y'= u'+v+u*v'= -sin(x)e^cos(x) [mm]*c_{1}+[/mm] e^cos(x) + c(x)'
>
> und wenn ich diese 2 funktionen in die gleichung einsetze
> kommt das irgendwie nciht hin. ich müsste nämlich noch
> das c(x)' integrieren und dann die Lösung finden.
>
Das, was du hier gemacht hast, heißt Variation der Konstanten. Jedoch ist dies nur notwendig, wenn die DGL nicht homogen ist(also nicht gleich 0)
> Danke für eure Hilfe
>
> MfG
Gruß
TheBozz-mismo
|
|
|
|
