anti-, a- & symmetrisch < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Do 03.04.2014 | | Autor: | MietzeK |
| Aufgabe | | Zeigen Sie an einem Beispiel, dass anti- und asymetrisch nicht die Negationen von symmetrisch sind. |
Hallo!
Die Aufgabenstellung bezieht sich auf binäre und homogene Relationen.
Symetrisch ist es ja, wenn aus (a,b) (b,a) folgt. asymetisch, wenn daraus nicht (b,a) folgt und antisymetrisch, wenn aus (a,b) kein (b,a) oder a=b.
Ich weiß leider nicht wirklich wie ich daran gehen soll. Habe einige Relationen ausprobiert, die das aber leider nicht zeigen.
Wäre sehr froh, wenn mir jemand helfen könnte :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Do 03.04.2014 | | Autor: | chrisno |
Die Profis haben gerade anderes zu tun. Daher sende ich meine Antwort.
> Zeigen Sie an einem Beispiel, dass anti- und asymetrisch
> nicht die Negationen von symetrisch sind.
Da muss ich erst den Begriff Negation verstehen. Eine Relation ist eine Teilmenge aus $M [mm] \times [/mm] M$,
also $R [mm] \subset [/mm] M [mm] \times [/mm] M$. Dann ist die Negation [mm] $\overline{R} [/mm] = (M [mm] \times [/mm] M) [mm] \backslash [/mm] R$ ?
>
> Hallo!
>
> Die Aufgabenstellung bezieht sich auf binäre und homogene
> Relationen.
> Symetrisch ist es ja, wenn aus (a,b) (b,a) folgt.
> asymetisch, wenn daraus nicht (b,a) folgt und
> antisymetrisch, wenn aus (a,b) kein (b,a) oder a=b.
>
>
> Ich weiß leider nicht wirklich wie ich daran gehen soll.
> Habe einige Relationen ausprobiert, die das aber leider
> nicht zeigen.
Ob es mit drei Elementen geht, übersehe ich nicht sofort. Also würde ich mit $M = {1; 2; 3; 4}$ anfangen, ohne Erfolgsgarantie. Erstelle eine nichttriviale minimale symmetrische Relation.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 Fr 04.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ChrisNo!
> > Zeigen Sie an einem Beispiel, dass anti- und asymetrisch
> > nicht die Negationen von symetrisch sind.
> Da muss ich erst den Begriff Negation verstehen. Eine
> Relation ist eine Teilmenge aus [mm]M \times M[/mm],
> also [mm]R \subset M \times M[/mm]. Dann ist die Negation
> [mm]\overline{R} = (M \times M) \backslash R[/mm] ?
Nein, hier geht es nicht um eine "Negation von R", sondern um die Negation der Aussage "R ist symmetrisch".
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Fr 04.04.2014 | | Autor: | MietzeK |
Danke, für die Mühe!
Ich denke, dass gezeigt werden kann, dass das nicht die Negation ist, wenn die Relation weder symetrisch noch a- oder antisymetisch ist. Meine Idee ist dann R=((a,a),(a,b)).
Aber sicher bin ich mir leider auch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Fr 04.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo MietzeK!
> Zeigen Sie an einem Beispiel, dass anti- und asymetrisch
> nicht die Negationen von symetrisch sind.
> Die Aufgabenstellung bezieht sich auf binäre und homogene
> Relationen.
> Symetrisch ist es ja, wenn aus (a,b) (b,a) folgt.
Eine binäre homogene Relation $R$ ist symmetrisch, wenn aus [mm] $(a,b)\in [/mm] R$ stets [mm] $(b,a)\in [/mm] R$ folgt.
> asymetisch, wenn daraus nicht (b,a) folgt und
Eine binäre homogene Relation $R$ ist asymmetrisch, wenn aus [mm] $(a,b)\in [/mm] R$ stets [mm] $(b,a)\notin [/mm] R$ folgt.
> antisymetrisch, wenn aus (a,b) kein (b,a) oder a=b.
Eine binäre homogene Relation $R$ ist antisymmetrisch, wenn aus [mm] $(a,b)\in [/mm] R$ und [mm] $(b,a)\in [/mm] R$ stets $a=b$ folgt.
> Ich weiß leider nicht wirklich wie ich daran gehen soll.
> Habe einige Relationen ausprobiert, die das aber leider
> nicht zeigen.
Hast du schon versucht, entsprechende Relationen auf kleinen endlichen Mengen zu basteln?
Finde z.B. eine weder symmetrische noch antisymmetrische Relation $R$ auf [mm] $M:=\{1,2,3\}$.
[/mm]
Dass $R$ nicht symmetrisch sein soll bedeutet, dass ein Paar [mm] $(a,b)\in [/mm] R$ mit [mm] $(b,a)\notin [/mm] R$ existieren soll.
Dass $R$ nicht antisymmetrisch sein soll bedeutet, dass ein Paar [mm] $(a,b)\in [/mm] R$ mit [mm] $(b,a)\in [/mm] R$ und [mm] $a\not=b$ [/mm] existieren soll.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Fr 04.04.2014 | | Autor: | MietzeK |
Hallo Tobias!
Ich habe es mal mit etwas einfacheren ausprobiert:
Irreflexiv ist nicht die Negation von reflexiv.
-> d.h.ES gibt Relationen die weder reflexiv noch irreflexiv sind. z.B.: R=((a,a);(a,b))
es ist nicht reflexiv weil (b,b) fehlt und es ist nicht irreflexiv, weil (a,a)drin liegt.
Also müsste ich versuchen etwas zu finden, was vielleicht nicht a-, anti- und symetrisch ist?
R=((a,b), .... wenn ihr hier nicht (b,a) schreibe, dann ist es ja sofort antisymetrisch...schreibe ich es ist es symetrisch...
Grade habe ich eine Idee!
Wäre ein Beispiel nicht R=((a,a),(b,b))? Dies müsste doch keine der 3 Eigenschaften erfüllen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:33 Sa 05.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe es mal mit etwas einfacheren ausprobiert:
> Irreflexiv ist nicht die Negation von reflexiv.
> -> d.h.ES gibt Relationen die weder reflexiv noch
> irreflexiv sind. z.B.: R=((a,a);(a,b))
Du meinst anscheinend [mm] $R=\{(a,a),(a,b)\}$ [/mm] als Relation auf einer Menge [mm] $\{a,b\}$ [/mm] mit [mm] $a\not=b$.
[/mm]
> es ist nicht reflexiv weil (b,b) fehlt und es ist nicht
> irreflexiv, weil (a,a)drin liegt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also müsste ich versuchen etwas zu finden, was vielleicht
> nicht a-, anti- und symetrisch ist?
Ja, das würde genügen.
> R=((a,b), .... wenn ihr hier nicht (b,a) schreibe, dann
> ist es ja sofort antisymetrisch...schreibe ich es ist es
> symetrisch...
Solange $R$ weiterhin eine Relation auf [mm] $\{a,b\}$ [/mm] sein soll, stimmen diese Überlegungen.
> Grade habe ich eine Idee!
> Wäre ein Beispiel nicht R=((a,a),(b,b))? Dies müsste
> doch keine der 3 Eigenschaften erfüllen.
Diese Relation auf [mm] $\{a,b\}$ [/mm] ist zwar nicht asymmetrisch, aber sowohl antisymmetrisch als auch symmetrisch.
Damit es eine Relation auf einer Menge $M$ gibt, die weder asymmetrisch noch symmetrisch ist, muss $M$ aus mindestens drei Elementen bestehen.
Nimm also z.B. [mm] $M=\{a,b,c\}$ [/mm] (mit a,b,c voneinander verschieden).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Sa 05.04.2014 | | Autor: | MietzeK |
> Wäre ein Beispiel nicht R=((a,a),(b,b))? Dies müsste
> doch keine der 3 Eigenschaften erfüllen.
Diese Relation auf $ [mm] \{a,b\} [/mm] $ ist zwar nicht asymmetrisch, aber sowohl antisymmetrisch als auch symmetrisch.
Ich verstehe nicht warum diese Realtion anti- und symmetrisch sein soll. Symmetrisch sit die Relation, wenn aus (a,b) [mm] \inR [/mm] folgt [mm] (b,a)\inR. [/mm] Das ist hier doch nicht gegeben oder verstehe ich das nicht? Ist es immer symmetrisch wenn (a,a)?
Warum ist diese antisymmetrisch? Laut DEfinition ist eine Relation antisymmetrisch, wenn aus [mm] (a,b)\inR [/mm] folgt [mm] (b,a)\not\inR [/mm] v a=b.
Ich glaube ich muss das erstmal verstehen, bevor ich es mit 3 Variablen versuche...
Ist es mit (a,b,c) überhaupt noch eine binäre Relation?
Danke für die große Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Sa 05.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
> > Wäre ein Beispiel nicht R=((a,a),(b,b))? Dies müsste
> > doch keine der 3 Eigenschaften erfüllen.
>
> Diese Relation auf [mm]\{a,b\}[/mm] ist zwar nicht asymmetrisch,
> aber sowohl antisymmetrisch als auch symmetrisch.
>
> Ich verstehe nicht warum diese Realtion anti- und
> symmetrisch sein soll. Symmetrisch sit die Relation, wenn
> aus (a,b) [mm]\in R[/mm] folgt [mm](b,a)\in R.[/mm] Das ist hier doch nicht
> gegeben oder verstehe ich das nicht?
Doch, es ist gegeben.
Vorweg: Du verwendest ungünstigerweise $a$ und $b$ in zweierlei inkompatiblen Bedeutungen:
1. Als Namen der beiden Elemente der Menge, auf der die Relation definiert ist.
2. Als Variablen, über die in der Definition von "symmetrisch" quantifiziert wird.
Beheben wir dieses Problem, indem wir in der Definition von "symmetrisch" andere Variablennamen verwenden:
R ist symmetrisch, wenn für alle [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ auch [mm] $(y,x)\in [/mm] R$ gilt.
Prüfen wir dies für deine Relation $R$ nach:
Welche [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ gibt es überhaupt?
i) $(x,y)=(a,a)$
ii) $(x,y)=(b,b)$
Zu i): Gilt für $(x,y)=(a,a)$ auch [mm] $(y,x)\in [/mm] R$?
Ja, denn es gilt [mm] $(y,x)=(a,a)\in [/mm] R$.
Zu ii): Gilt für $(x,y)=(b,b)$ auch [mm] $(y,x)\in [/mm] R$?
Ja, denn es gilt [mm] $(y,x)=(b,b)\in [/mm] R$.
Also haben für ALLE [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ gesehen, dass auch [mm] $(y,x)\in [/mm] R$ gilt.
Somit ist $R$ symmetrisch.
> Ist es immer
> symmetrisch wenn (a,a)?
Nein, nicht jede Relation $R$ mit [mm] $(a,a)\in [/mm] R$ ist symmetrisch.
> Warum ist diese antisymmetrisch? Laut DEfinition ist eine
> Relation antisymmetrisch, wenn aus [mm](a,b)\in R[/mm] folgt
> [mm](b,a)\not\in R[/mm] v a=b.
Wieder mit Variablen-Umbennenung neu formuliert:
$R$ ist antisymmetrisch, wenn für alle [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ gilt: [mm] $(y,x)\notin R\vee [/mm] x=y$.
Welche [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ gibt es überhaupt?
i) $(x,y)=(a,a)$
ii) $(x,y)=(b,b)$
Zu i): Gilt für $(x,y)=(a,a)$ die Bedingung [mm] $(y,x)\notin R\vee [/mm] x=y$?
Ja, denn es gilt $x=a=y$.
Zu ii): Gilt für $(x,y)=(b,b)$ Bedingung [mm] $(y,x)\notin R\vee [/mm] x=y$?
Ja, denn es gilt $x=b=y$.
Also haben für ALLE [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ gesehen, dass [mm] $(y,x)\notin R\vee [/mm] x=y$ gilt.
Somit ist $R$ antisymmetrisch.
> Ist es mit (a,b,c) überhaupt noch eine binäre Relation?
Eine Relation $R$ auf $M$ (etwa [mm] $M=\{a,b,c\}$) [/mm] ist binär, falls [mm] $R\subseteq M\times [/mm] M$ gilt, also falls $R$ nur aus Paaren von Elementen von $M$ besteht.
Wie viele Elemente $M$ enthält, spielt dafür keine Rolle.
Denke etwa an die binäre Relation $R$ auf der Menge [mm] $M=\IN$ [/mm] der natürlichen Zahlen definiert durch
[mm] $(n,m)\in R:\iff [/mm] n<m$
für alle [mm] $n,m\in\IN$, [/mm] die du in einem anderen Thread hattest.
Hier ist $M$ sogar unendlich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Sa 05.04.2014 | | Autor: | MietzeK |
Danke für die lange Antwort und dass du es mir nicht vorsagst!
Ich glaube ich hab jetzt die Lösung!
A=(x,y,z)
R={(x,y),(y,x),(x,z)}
Diese Relation müsste nicht symmetrisch, nicht anti- und nicht asymmetrisch nach den Defintionen. Somit ist gzeigt, das symmetrisch keine Negation von anti- und asymmetrisch ist.
(Ich freue mich grade total und hoffe, dass es richtig ist :))
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Sa 05.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Ich glaube ich hab jetzt die Lösung!
> A=(x,y,z)
> R={(x,y),(y,x),(x,z)}
> Diese Relation müsste nicht symmetrisch, nicht anti- und
> nicht asymmetrisch nach den Defintionen. Somit ist gzeigt,
> das symmetrisch keine Negation von anti- und asymmetrisch
> ist.
> (Ich freue mich grade total und hoffe, dass es richtig ist
> :))
Da hast du auch allen Grund zu!
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