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| Aufgabe | | sei G gruppe mit der ordnung 77.geben sie die mögliche anzahl der sylowgruppen (für alle p) von G an. |
G hat die ordnung [mm] 7^{1} [/mm] * [mm] 11=11^{1} [/mm] * 7 ,also von der form [mm] p^{k} [/mm] * m
mit m [mm] \in \IN [/mm] .
sei [mm] s_{p} [/mm] die anzahl der p-sylowgruppen von G.
es gilt: [mm] s_{p} [/mm] = 1mod p=1+jp und [mm] s_{p} [/mm] teilt die gruppenordnung.
da die gruppenordnung die form [mm] p^{k} [/mm] * m hat ,muss [mm] s_{p} [/mm] auch noch m teilen können.
hier gibt es folglich nur noch [mm] s_{7} [/mm] und [mm] s_{11} [/mm] zu betrachten.
ich erhalte für p= 7 nur eine sylowgruppe
und für p=11 auch nur eine sylowgruppe.also ist die mögliche anzahl von sylowgruppen für alle p : 2.
ich dachte ,dass an meinem ansatz irgendwas falsch sein muss,weil in der frage nach "möglichen anzahl" gefragt ist,aber ich habe die tatsächliche anzahl berechnet.eine andere möglichkeit sehe ich hier nicht.kann mir jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Fr 16.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> sei G gruppe mit der ordnung 77.geben sie die mögliche
> anzahl der sylowgruppen (für alle p) von G an.
> G hat die ordnung [mm]7^{1}[/mm] * [mm]11=11^{1}[/mm] * 7 ,also von der form
> [mm]p^{k}[/mm] * m
> mit m [mm]\in \IN[/mm] .
>
> sei [mm]s_{p}[/mm] die anzahl der p-sylowgruppen von G.
> es gilt: [mm]s_{p}[/mm] = 1mod p=1+jp und [mm]s_{p}[/mm] teilt die
> gruppenordnung.
> da die gruppenordnung die form [mm]p^{k}[/mm] * m hat ,muss [mm]s_{p}[/mm]
> auch noch m teilen können.
> hier gibt es folglich nur noch [mm]s_{7}[/mm] und [mm]s_{11}[/mm] zu
> betrachten.
> ich erhalte für p= 7 nur eine sylowgruppe
> und für p=11 auch nur eine sylowgruppe.
Ja.
(Was auch keine Ueberraschung ist, da die Gruppe zyklisch ist.)
> also ist die
> mögliche anzahl von sylowgruppen für alle p : 2.
Gemeint ist glaube ich eher, dass du fuer jedes $p$ die Anzahl der $p$-Sylowgruppen (also 1) sagen sollst.
> ich dachte ,dass an meinem ansatz irgendwas falsch sein
> muss,weil in der frage nach "möglichen anzahl" gefragt
> ist,aber ich habe die tatsächliche anzahl berechnet.eine
> andere möglichkeit sehe ich hier nicht.kann mir jemand
> weiterhelfen?
Vielleicht ist da etwas bei der Fragestellung schiefgelaufen; eventuell gab's mal frueher eine Liste mit mehreren Gruppenordnungen, und irgendwann wurde die zusammengekuerzt auf einen Eintrag (ohne das derjenige der kuerzt drauf geachtet hat, was das fuer Gruppen sind).
LG Felix
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hallo felix,ich habe mich nun gewundert ,dass er diese aufgabe als klausuraufgabe stellt,wo man annehmen darf ,dass noch wer anders drüberschaut.oder es diente der verwirrung der teilnehmer,ich hab mich nämlich immer wieder,auch während der bearbeitung der anderen aufgaben gefragt,was das soll,denn für diese teilaufgabe gab es nämlich genausoviele punkte wie für so manch eine beweisaufgabe in der klausur.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:18 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> hallo felix,ich habe mich nun gewundert ,dass er diese
> aufgabe als klausuraufgabe stellt,wo man annehmen darf
> ,dass noch wer anders drüberschaut.
Soweit die Theorie. Manchmal bleibt sowas trotzdem unentdeckt... :)
> oder es diente der verwirrung der teilnehmer,
Auch moeglich.
Ich mag den Satz "Die Wege der Klausurensteller sind unergruendlich", er trifft es sehr oft auf den Punkt ;)
LG Felix
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