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hallo,
sorry konnte das diskussionsthema net anders schreiben.
also mein problem is, dass ich net weiß wie ich bei der formalen und gedanklichen lösung folgender aufgabe vorgehn soll.
aufgabe:
eine n-seitige pyramide mit [mm] n\ge3, [/mm] n seitenflächen und eine grundfläche.
nun soll ein tier auf diesen kanten entlang krabbeln. es beginnt und endet immer im mittelpunkt der selben grundkante. pro weg wird ein punkt höchsten einmal durchlaufen.
nun soll ich beweisen, dass es (n):= 1+1/2 n(n-1) verschiedene wege gibt.
ein weg gilt als gleich, wenn er dieselben punkte enthält.
jetzt mal ne frage, was wird als punkt angesehn, der mittelpunkt einer seitenkante, oder ein eckpunkt.
aber egal mit welcher möglichkeit ichs mir überlegen, mit n=3 und als punkt die eckkante komm ich nur auf 3 möglichkeitn.
und mit den mittelpukten komm ich auf mindesten 5.
aber laut zu beweisender gleichung müsst ich auf 4 kommen.
wie muss man sich des dann überlegen und wie des an aufschreiben (formal)
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Nehmen wir den Fall [mm]n=4[/mm]. Wenn man aus der Vogelperspektive auf die Pyramide schaut, ergibt sich das folgende Bild.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Pyramidenspitze wird mit 0 markiert, die andern Ecken der Reihe nach mit 1,2,3,4. Aus jedem erlaubten Weg kann man durch Umkehren der Laufrichtung einen weiteren erlaubten Weg bekommen. Da solche Wege aber nach Aufgabenstellung identifiziert werden sollen, genügt es, Wege zu betrachten, die mit der Ecke 1 starten.
Da gibt es zunächst den Weg "unten herum":
1 2 3 4
Alle andern Wege laufen irgendwann einmal über 0. Man kann von jeder der Ecken 1,2,3 aus auf die 0 gehen. Sobald man dort ist, kann man zu jeder Ecke, die noch nicht an der Reihe war, gehen und den Lauf "unten herum" vollenden. Das gibt die folgenden Wege:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zusammen sind das [mm]1 + 2 + 3 = \frac{1}{2} \cdot ( 4 - 1 ) \cdot 4 = 6[/mm] Wege. Und mit dem Weg "unten herum" ist es noch einer mehr:
[mm]1 + \left( 1 + 2 + 3 \right) = 1 + \frac{1}{2} \cdot ( 4 - 1 ) \cdot 4 = 7[/mm] mögliche Wege.
Vielleicht spielst du selbst jetzt noch den Fall [mm]n=5[/mm] durch, indem du nach der obigen Systematik alle Wege angibst. Dann sollte die Verallgemeinerung auf ein beliebiges [mm]n[/mm] nicht mehr schwer fallen.
Da das Ganze auf den Binomialkoeffizienten [mm]{n \choose 2} = \frac{1}{2} n (n-1)[/mm] hinausläuft, kannst du natürlich auch nach einem Beweis suchen, der auf die Auswahl von 2 Elementen aus insgesamt [mm]n[/mm] ohne Berücksichtigung der Reihenfolge abhebt. (Streiche bei den Wegen in der Tabelle alle Ecken außer der 0 mit ihren beiden Nachbarn, und dann laß auch noch die 0 weg. Vielleicht wird es dir dann klar.)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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