arctan, unbestimmtes integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 So 30.04.2006 | | Autor: | Trivalik |
| Aufgabe | Untersuchen Sie das uneigentliche Integral
[mm] \integral_{1}^{ \infty}{ \bruch{1}{x \wurzel{x^{2}-1}} dx} [/mm] auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. seinen Wert. |
Zunächst, wie integriere ich das? Laut Mathematica kommt -arctan .. raus. ein [mm] x^2 [/mm] ist zwar drin jedoch unter der Wurzel, bzw meine frage wie substituiere ich das? Lösung ist [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
In meiner Stufe meinten man könnte das mit majorante vielleicht machen, jedoch hat das keiner damit hinbekommen.
Weis jemand nen rat?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Schlurcher |
Also ich hab das Ganze jetzt auch einmal in Mathematica eingeben und bei mir kommt für das Unbestimmte Integral
log( [mm] \bruch{x}{1+\wurzel{x^2 + 1}})
[/mm]
heraus.
Wenn man dieses Ergebnis kennt und weis, dass [mm] \integral_{}^{}{\bruch{f'(x)}{f(x)}dx} [/mm] = log|f(x)|
ist kann man zwar auf die Lösung kommen, aber es muss eine bessere Möglichkeit geben.
Grüße
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Das von dir angegebene Integral hat den Wert [mm]\ln{\left( 1 + \sqrt{2} \right)}[/mm]. Mit [mm]-1[/mm] statt [mm]+1[/mm] unter der Wurzel erhält man dagegen [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] als Integralwert. Was stimmt nun, das Integral oder der Integralwert?
Falls es [mm]+1[/mm] heißt, so substituiere entweder [mm]x = \sinh{t}[/mm] oder alternativ [mm]x = \frac{1}{2} \left( t - \frac{1}{t} \right)[/mm]. Die zweite Substitution bildet das [mm]t[/mm]-Intervall [mm]\left[ 1 + \sqrt{2} \, , \, \infty \right)[/mm] streng monoton wachsend auf das [mm]x[/mm]-Intervall [mm]\left[ 1 \, , \, \infty \right)[/mm] ab. Es ist nämlich
[mm]\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{t^2} \right) \ \mathrm{d}t[/mm]
was zeigt, daß die Funktion [mm]t \mapsto x[/mm] im angegebenen Bereich streng monoton wächst (positive Ableitung). Weiter hat man
[mm]1 + x^2 = 1 + \frac{1}{4} \left( t^2 + \frac{1}{t^2} - 2 \right) = \frac{1}{4} \left( t + \frac{1}{t} \right)^2[/mm]
also
[mm]\sqrt{1 + x^2} = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right)[/mm]
Und wenn man alles einsetzt, bekommt man
[mm]\int_1^{\infty}~\frac{\mathrm{d}x}{x \sqrt{x^2 + 1}} = \ldots = \int_{1 + \sqrt{2}}^{\infty}~\frac{\mathrm{d}t}{t^2 - 1} = \ldots = \ln{\left( 1 + \sqrt{2} \right)}[/mm]
Falls es dagegen [mm]-1[/mm] unter der Wurzel heißt, dann substituiere [mm]x = \cosh{t}[/mm] oder alternativ [mm]x = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right)[/mm]. Die Rechnung gestaltet sich entsprechend. Die zweite Substitution bildet das [mm]t[/mm]-Intervall [mm]\left[ 1 \, , \, \infty \right)[/mm] streng monoton wachsend auf das [mm]x[/mm]-Intervall [mm]\left[ 1 \, , \, \infty \right)[/mm] ab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Trivalik |
Schande auf mein Haupt, stimmt es muss eine -1 sein, hatte ja hingeschrieben das [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] rauskommen musste.
Ok ich werde mal mein glück versuchen, danke für die rege Beteidigung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Di 02.05.2006 | | Autor: | Trivalik |
mh, irgendwie komm ich net drauf,
da ich sonst nicht so ein high level mathe hatte,
bzw wie kommt man auf die beiden formeln mit cosh und die andere?
Bestimmt Erfahrung.
Ich verzweifel hier, das geht net bei mir auf.
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Hallo Trivalik!
Das ist aber nicht gerade einfach, wenn Du die Aufgabenstellung plötzlich veränderst (Vorzeichen in der Wurzel).
Für das Integral [mm] $\integral{\bruch{1}{x*\wurzel{x^2\red{-}1}} \ dx}$ [/mm] führt die folgende Substitution zum Ziel:
$x \ := \ [mm] \bruch{1}{\sin(u)}$ $\gdw$ [/mm] $u \ = \ [mm] \arcsin\left(\bruch{1}{x}\right)$ [/mm]
Auf so etwas kommt man dann halt durch etwas Erfahrung bzw. Knobeln und kann es nicht sofort erklären.
Gruß vom
Roadrunner
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