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Hallo,
im Zusammenhang mit einer Aufgabe ist mir eine Umformung, die Teil der Lösung ist nicht ganz klar. Hier ist sie:
Mit Hilfe der Substitution z:= t-x ergibt sich:
arctan(x+y) = [mm] \integral_{0}^{x+y}{\frac{1}{1+t^2} dt}
[/mm]
Wie geht das? arctan ist ja als Potenzreihe definiert. Es scheint da einen Zusammenhang zwischen Reihen und der Integralrechnung zu geben... in meinen Büchern habe ich dazu leider nichts gefunden...
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Hallo!
Das hier ist ein fieser Trick:
[mm] \frac{d}{dt}arctan(t)=\frac{1}{1+t^2}
[/mm]
integrieren:
[mm] \int\frac{d}{dt}arctan(t)\,dt=\int\frac{1}{1+t^2}dt
[/mm]
[mm] arctan(t)=\int\frac{1}{1+t^2}dt
[/mm]
Das hier:
[mm] \frac{d}{dt}arctan(t)=\frac{1}{1+t^2}
[/mm]
solltest du aus
[mm] f'(x)=\frac{1}{(f^{-1}(x))'}=\frac{1}{\tan(x)'}=\frac{1}{\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)'}
[/mm]
herausbekommen.
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