arithm. und geom. Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] (a_{k})^\infty_{k=1} [/mm] bzw. [mm] (g_{k})^\infty_{k=1} [/mm] eine arithmetische bzw. geometrische Folge. Berechnen Sie für alle n [mm] \in \IN [/mm] die Differenzen [mm] \Delta^n a_{k} [/mm] und [mm] \Delta^n g_{k}
[/mm]
Für welche geometrischen Folgen gilt [mm] \Delta^n g_{k} [/mm] = [mm] g_{k}? [/mm] |
Hallo,
Leider weiß ich überhaupt nicht wie ich diese Aufgabe angehen soll...
Soll ich bspw. einfach zwei allg. geometrische Folgen nehmen und deren DIfferenz berechnen?
Bspw: [mm] aq^{n-1} [/mm] - [mm] bp^{m-1} [/mm] = ???
Aber dieser Term lässt sich nicht vereinfachen.
Wäre das vorgehen, bei der arithmetischen Folge dann analog?
Vielen Dank schonmal 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:49 Do 12.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi LittleStudi,
ich muß gestehen, ich kenne die Definition von [mm] \Delta^n [/mm] als Differenz nicht. Die müsstest du mir hinschreiben (steht hoffentlich bei euch im Skript.)
Meine Vermutung: für eine beliebige Folge [mm] (a_k)_k [/mm] ist die Differenz vom k-ten und k+n-ten Folgenglied gemeint:
[mm] \Delta^n a_k:=a_k-a_{k+n}
[/mm]
Wenn nun [mm] (g_k)_k [/mm] eine beliebige geometrische Folge ist, mit [mm] g_k:=g*q^k, [/mm] mußt du einfach nur in die Definition einsetzen und ein bisschen umformen (zB was ausklammern).
Dass du es mit zwei verschieden Folgen machen sollst, kann ich mir nicht vorstellen.
Für eine beliebige arithmetische Folge [mm] a_k:=a+k*d [/mm] dann analog.
LG walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:36 Do 12.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Für eine Folge [mm] (b_n) [/mm] ist [mm] (\Delta b_n) [/mm] def. durch
[mm] \Delta b_n= b_{n+1}-b_n.
[/mm]
Dann ist [mm] \Delta^2 b_n= \Delta b_{n+1}- \Delta b_n= b_{n+2}-b_{n+1}-( b_{n+1}-b_n)= b_{n+2}-2b_{n+1}+b_n
[/mm]
Etc....
FRED
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Ich habe Probleme mit dieser Definition.
Ich glaube zwar zu verstehen, wie sie für [mm] \Delta^n a_{k} [/mm] aussehen soll, jedoch habe ich keine Ahnung wie ich diese Differenz berechnen soll.
Bei der geometrischen Folge wird das wohl irgendwie analog funktionieren, da ich jedoch die arithmetische nicht so recht verstehe, weiß ich auch hier nicht genau wie ich zu einem vernünftigen Ergebnis komme :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Mi 15.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe Probleme mit dieser Definition.
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> Ich glaube zwar zu verstehen, wie sie für [mm]\Delta^n a_{k}[/mm]
> aussehen soll, jedoch habe ich keine Ahnung wie ich diese
> Differenz berechnen soll.
>
> Bei der geometrischen Folge wird das wohl irgendwie analog
> funktionieren, da ich jedoch die arithmetische nicht so
> recht verstehe, weiß ich auch hier nicht genau wie ich zu
> einem vernünftigen Ergebnis komme :(
Wir hatten:
Für eine Folge $ [mm] (b_n) [/mm] $ ist $ [mm] (\Delta b_n) [/mm] $ def. durch
$ [mm] \Delta b_n= b_{n+1}-b_n. [/mm] $
Dann ist $ [mm] \Delta^2 b_n= \Delta b_{n+1}- \Delta b_n= b_{n+2}-b_{n+1}-( b_{n+1}-b_n)= b_{n+2}-2b_{n+1}+b_n [/mm] $
Berechne mal [mm] \Delta^3 b_n. [/mm] Vielleicht siehst Du dann etwas. Denke an den binomischen Satz und Binomialkoeffizienten.
FRED
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Also wenn ich das richtig verstanden habe müsste [mm] \Delta^3 b_{n} [/mm] dann das sein:
[mm] \Delta^3 b_{n} [/mm] = [mm] \Delta (\Delta^2 b_{n}) [/mm] = [mm] \Delta^2 b_{1} [/mm] - [mm] \Delta^2 b_{n} [/mm] = [mm] (\Delta b_{n+2} [/mm] - [mm] \Delta b_{n+1} [/mm] ) - [mm] (\Delta b_{n+1} [/mm] - [mm] \Delta b_{n} [/mm] ) = [mm] (b_{n+3}-b_{n+2}-b_{n+2}-b_{n+1}) [/mm] - [mm] (b_{n+2} [/mm] - [mm] 2b_{n+1} [/mm] + [mm] b_{n}) [/mm] = [mm] b_{n+3} [/mm] - [mm] 3b_{n+2} [/mm] + [mm] 3b_{n+1} [/mm] - [mm] b_{n}
[/mm]
Ah, ich sehe was du meinst, bzgl. der Binomialkoeffizienten... die nächste Zeile wäre dann 1 4 6 4 1, etc... aber wenn ich nicht weiß wo n endet, wie kann ich es dann genau berechnen? Vor allem wie schreibe ich das sauber auf. Ich darf sicherlich nicht die ersten beiden Schritte (etwa [mm] \Delta b_{n}...\Delta^3 b_{n}) [/mm] angeben und darauf auf [mm] \Delta^n b_{n} [/mm] folgern, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Mi 15.02.2012 | | Autor: | fred97 |
zeige mit Induktion über k:
[mm] $\Delta^k b_n=\summe_{j=0}^{k}\vektor{n \\ j}(-1)^j*b_{n+k-j}$
[/mm]
Edit:
gemeint ist natürlich: $ [mm] \Delta^k b_n=\summe_{j=0}^{k}\vektor{k \\ j}(-1)^j\cdot{}b_{n+k-j} [/mm] $
FRED
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Ich habe ein kleines Problem, sogar schon beim Induktionsstart (k=1)
Also für k=1 gilt:
[mm] \Delta^1 b_{n} [/mm] = [mm] b_{n+1} [/mm] - [mm] b_{n} [/mm] das ist ja bereits oben in der Definition so gegeben.
So nun die Summe:
[mm] \summe_{j=0}^{1}\vektor{n \\ j}(-1)^j\cdot{}b_{n+1-j} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ 0}(-1)^0\cdot{}b_{n+1-0} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1}(-1)^1\cdot{}b_{n+1-1} [/mm]
= [mm] b_{n+1} [/mm] - n * [mm] b_{n}
[/mm]
Mein Problem ist das [mm] \vektor{n \\ 1} [/mm] = n ist, dieses n kommt in der Definition nicht vor... wo ist mein Fehler?
Zum Induktionsschritt hätte ich auch noch eine Frage:
Die linke Seite wäre [mm] \Delta^{k+1} b_{n}, [/mm] aber was ist das ausgeschrieben? Ich muss ja von dieser Seite zu dem Ergebnis der rechten kommen :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Mi 15.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe ein kleines Problem, sogar schon beim
> Induktionsstart (k=1)
>
> Also für k=1 gilt:
>
> [mm]\Delta^1 b_{n}[/mm] = [mm]b_{n+1}[/mm] - [mm]b_{n}[/mm] das ist ja bereits oben in
> der Definition so gegeben.
>
> So nun die Summe:
>
> [mm]\summe_{j=0}^{1}\vektor{n \\ j}(-1)^j\cdot{}b_{n+1-j}[/mm] =
> [mm]\vektor{n \\ 0}(-1)^0\cdot{}b_{n+1-0}[/mm] + [mm]\vektor{n \\ 1}(-1)^1\cdot{}b_{n+1-1}[/mm]
> = [mm]b_{n+1}[/mm] - n * [mm]b_{n}[/mm]
>
> Mein Problem ist das [mm]\vektor{n \\ 1}[/mm] = n ist, dieses n
> kommt in der Definition nicht vor... wo ist mein Fehler?
>
> Zum Induktionsschritt hätte ich auch noch eine Frage:
>
> Die linke Seite wäre [mm]\Delta^{k+1} b_{n},[/mm] aber was ist das
> ausgeschrieben? Ich muss ja von dieser Seite zu dem
> Ergebnis der rechten kommen :(
Pardon, ich hatte mich oben verschrieben. Richtig lautet es:
$ [mm] \Delta^k b_n=\summe_{j=0}^{k}\vektor{k \\ j}(-1)^j\cdot{}b_{n+k-j} [/mm] $
FRED
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Prima :)
Okay dann ist der Induktionsstart klar :)
Jedoch habe ich beim Induktionsschritt immernoch Probleme, ich bin nun soweit:
Schritt von K -> k+1
erstmal habe ich auf der linken Seite:
[mm] \Delta^{k+1} b_{n} [/mm] = [mm] \vektor{k+1 \\ 0} b_{n + (n+1)} [/mm] + ... + [mm] \vektor{k+1 \\ k+1} b_{n+1)} [/mm]
und auf der rechten Seite:
[mm] \summe_{j=0}^{k+1}\vektor{k+1 \\ j}(-1)^j\cdot{}b_{n+k+1-j}
[/mm]
wie bekomme ich die rechte, bzw. linke Seite nun so, dass man sieht dass dies das selbe ist?
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Ich habe mir nochmals die Aufgabe durchgelesen - muss ich das überhaupt beweisen? Im Grunde steht da ja lediglich berechne?!
Somit müsste es doch genügen, wenn cih den Binomialkoeffizenten berechne, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 17.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 17.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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