arithmetik < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | hallo leute,
sitze wieder an meiner arithmetik übungen und weiß nicht mehr weiter. diesmal sind es ein paar fragen mehr als letztes mal ich hoffe ihr nimmt es mir nicht übel!!!
frage 1:
begründen sie: n=a[mm]\*[/mm]b mit a,b,n [mm]n\in\IN[/mm] 1<a,b<n [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \le [/mm] [mm] \wurzel{n} [/mm] oder b[mm] \le [/mm][mm] \wurzel{n} [/mm]
es ist mir klar dass die terme größer als 1 seien müssen aber sonst hab ich keine vorstellung wie ich es angehen soll
frage 2:
zeigen sie : [mm] (n^2+n) [/mm] /2 für alle [mm] n\in\IN [/mm]
ich wiess dass für die reihe [mm] 2+4+6+......+2n=n^2+n [/mm] auch für n+1 gilt. wenn ich die gleichung also [mm] 2n=n^2+n [/mm] nach n umstelle habe ich 2=n+n. kann ich dies als beweis annehmen?
zeigen sie: 4 teilt nicht [mm] (a^2+2)[/mm] [mm] a\in\IZ [/mm] hier weiß ich leider überhaupt nicht wie ich es beweisen kann. ich bin auf jede hilfe angewiesen.
frage 3:
prüfen sie, ob [mm] \bruch{(18^{44}-1)}{17} [/mm] ich habe versucht die dritte binomische formel anzuwenden aber irgendwann kommt 18^11-1 raus und ab da an komme ich nicht mehr weiter oder bin ich mit der binomischen formel total falsch?
prüfen sie ,ob [mm] \bruch{(8^{137}+1)}{9} [/mm] da ich nur versucht habe teilbarkeit immer mit der 3.binomischen formel zubeweisen kam ich leider bei dieser aufgabe nicht klar. hier bin ich auf jede hilfe angewiesen!
ich danke euch allen jetzt schon und sehe mich nach euren hilfestellungen! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
und noch was. ich habe jetzt in einem fenster mehrere fragen gepackt, wenn ich es nicht darf seid mir nicht böse sagt mir nur bescheid und ich lasse es sein!
|
|
| |
|
> frage 1:
> begründen sie: n=a[mm][mm] \*[/mm]b[/mm] mit a,b,n [mm][mm]n\in\IN[/mm][/mm] 1<a,b<n [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\le[/mm] [mm]\wurzel{n}[/mm] oder b[mm] [mm]\le [/mm]\wurzel{n}[/mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]es ist mir klar dass die terme größer als 1 seien müssen aber sonst hab ich keine vorstellung wie ich es angehen soll[/mm][/mm][/mm]
Ja mei! Was wäre denn, wenn n=a*b und [mm] a>\wurzel{2} [/mm] und [mm] b>\wurzel{2}?
[/mm]
> [mm][mm][mm]frage 2:[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]zeigen sie : [mm](n^2+n)[/mm] /2 für alle [mm][mm][mm] n\in\IN
[/mm]
Du meinst wohl, daß [mm] (n^2+n) [/mm] immer gerade ist.
Was ist mit [mm] (n^2+n), [/mm] wenn n gerade ist?
was bei ungeradem n?
> [mm][mm][mm][mm]zeigen sie: 4 teilt nicht [mm](a^2+2)[/mm]
Wenn [mm] a\equiv [/mm] 0modn ==> [mm] (a^2+2)\equiv [/mm] 2mod n
Wenn [mm] a\equiv [/mm] 1modn ==> [mm] (a^2+2)\equiv [/mm] 3mod n
Wenn [mm] a\equiv [/mm] 2modn ==> [mm] (a^2+2)\equiv [/mm] 2mod n
Wenn [mm] a\equiv [/mm] 9modn ==> [mm] (a^2+2)\equiv [/mm] 1mod n
> [mm][mm][mm][mm][mm]frage 3:[/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm] [/mm][/mm][/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm][mm][mm]prüfen sie, ob [mm]\bruch{(18^{44}-1)}{17}[/mm]
[mm] 18\equiv [/mm] 1mod 17
> [mm][mm][mm][mm][mm]prüfen sie ,ob [mm]\bruch{(8^{137}+1)}{9}[/mm]
8=(-1)mod 9
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:22 Mi 25.10.2006 | | Autor: | sakarsakir |
[mm] (n^2+n) [/mm] ist doch immer gerade ob n ungerade oder gerade ist (die vollständige induktion zeigt es). und eine gerade zahl ist stets immer durch 2 teilbar oder ist es falsch?
Was wäre denn, wenn n=a*b und $ [mm] a>\wurzel{2} [/mm] $ und $ [mm] b>\wurzel{2}? [/mm] $ hierzu muss ich fragen wurzel 2 ist doch ein kommazahl aber a,b,n sollen elemente der natürlichenzahlen seien. also käme es doch garnicht in frage oder?
Wenn $ [mm] a\equiv [/mm] $ 0modn ==> $ [mm] (a^2+2)\equiv [/mm] $ 2mod n
Wenn $ [mm] a\equiv [/mm] $ 1modn ==> $ [mm] (a^2+2)\equiv [/mm] $ 3mod n
Wenn $ [mm] a\equiv [/mm] $ 2modn ==> $ [mm] (a^2+2)\equiv [/mm] $ 2mod n
Wenn $ [mm] a\equiv [/mm] $ 9modn ==> $ [mm] (a^2+2)\equiv [/mm] $ 1mod n
ich verstehe garnicht was die aussagen bedeuten sollen könnten sie es bißchen erläutern?
danke für ihre bemühungen
yusuf (sakarsakir)
|
|
|
| |
|
> [mm](n^2+n)[/mm] ist doch immer gerade ob n ungerade oder gerade ist
> (die vollständige induktion zeigt es). und eine gerade zahl
> ist stets immer durch 2 teilbar oder ist es falsch?
Es ist richtig.
>
> Was wäre denn, wenn n=a*b und [mm]a>\wurzel{2}[/mm] und
> [mm]b>\wurzel{2}?[/mm]
Aha. Du machst jetzt mal ein Beispiel mit n=2.
Also 2 =a*b und [mm] a>\wurzel{2} [/mm] und [mm] b>\wurzel{2}.
[/mm]
>hierzu muss ich fragen wurzel 2 ist doch ein
> kommazahl aber a,b,n sollen elemente der natürlichenzahlen
> seien. also käme es doch garnicht in frage oder?
Da steht a > [mm] \wurzel{2} [/mm] und b [mm] >\wurzel{2}
[/mm]
==> a*b > ...
>
> Wenn [mm]a\equiv[/mm] 0mod 4 ==> [mm](a^2+2)\equiv[/mm] 2mod 4
> Wenn [mm]a\equiv[/mm] 1mod 4 ==> [mm](a^2+2)\equiv[/mm] 3mod 4
> Wenn [mm]a\equiv[/mm] 2mod 4 ==> [mm](a^2+2)\equiv[/mm] 2mod 4
> Wenn [mm]a\equiv[/mm] 9mod 4 ==> [mm](a^2+2)\equiv[/mm] 1mod 4
> ich verstehe garnicht was die aussagen bedeuten sollen
> könnten sie es bißchen erläutern?
Oh, da war ein Fehler, statt n mußte da 4 stehen. Ich hab's berichtigt.
a [mm] \equiv [/mm] r mod 4
gibt an, daß bei der Division durch n der Rest r bleibt, daß sich a schreiben läßt als
a= t*4 + r für ein r [mm] \in \IN.
[/mm]
Wenn da steht [mm]a\equiv[/mm] 1mod 4 für a [mm] \in \IN [/mm] , bedeutet das
a [mm] \in \{1,5,9,13,17, ...\}
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:05 Mi 25.10.2006 | | Autor: | sakarsakir |
2=2*1 ,weil a und b müssen natürliche Zahlen sein. das heißt a=<$ [mm] \wurzel{2} [/mm] $ oder $ [mm] b=<\wurzel{2}. [/mm] $ aber die aussage stimmt nicht denn [mm] \wurzel{2} [/mm] ist kleiner als a=2. damit gibt es ein widerspruch oder irre ich mich? aber wenn es a=<$ [mm] \wurzel{2} [/mm] $ oder $ [mm] b=<\wurzel{2}. [/mm] $ heißen würde wäre doch die aussage korrekt oder denn b=1 ist doch kleiner als [mm] \wurzel{2}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
Die Frage war:
Seien $ [mm] a>\wurzel{2} [/mm] $ und $ [mm] b>\wurzel{2}. [/mm] $ und sei
2 =a*b
Wenn ich doch weiß, daß [mm] a>\wurzel{2}, [/mm] dann folgt
[mm] 2=a*b>\wurzel{2}*b. [/mm] Weil ebenso [mm] b>\wurzel{2} [/mm] folgt hieraus
[mm] 2=a*b>\wurzel{2}*b> \wurzel{2}\wurzel{2}=2
[/mm]
Insgesamt steht da 2>2. Das stiimt ja nicht. Das ist ein Widerspruch.
Also müssen, wenn 2=a*b ist, a und b beide kleiner sein als [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Mi 25.10.2006 | | Autor: | sakarsakir |
prüfen sie, ob $ [mm] \bruch{(18^{44}-1)}{17} [/mm] $
$ [mm] 18\equiv [/mm] $ 1mod 17
prüfen sie ,ob $ [mm] \bruch{(8^{137}+1)}{9} [/mm] $
8=(-1)mod 9
könnte man das auch anders lösen, d.h. ohne mod bezeichnung? wenn ja wie müsste ich dann vorgehen, da wir den kapitel mit den mod noch nicht besprochen haben. wie gesagt kam ich mit der binomischen formel nicht weiter. danke dir für deine aufmerksamkeit angela und sehe mich nach deiner hilfe!
|
|
|
| |
|
>
> prüfen sie ,ob [mm]{(8^{137}+1)}[/mm] teilbar ist durch 9.
>
> 8=(-1)mod 9
>
> könnte man das auch anders lösen, d.h. ohne mod
> bezeichnung?
Ja. Es ist 8=9+(-1)
Somit ist [mm] 8^{137}= (9+(-1))^{137} [/mm]
Nun kannst Du den binomischen Lehrsatz hierauf anwenden, welche Ihr gewiß besprochen habt :
[mm] (x+y)^n=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}x^{n-i}y^i
[/mm]
Das sind n+1 Summanden, und in den ersten n Summanden steckt x als Faktor, nur im letzten nicht, weil [mm] x^0=1. [/mm]
weiß man, daß [mm] (x+y)^n= k*x+y^n [/mm] ist für irgendein ganzes k, dessen genauer Wert in diesem Zusammenhang nicht interessiert.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
