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| Aufgabe | untersuchen Sie die graphen der folgenden funktionen auf vertikale bzw. horizontale asymptoten:
a) f(x)=ln [mm] |4-x^{2}| [/mm] ; [mm] x\in [/mm] R \ {2;-2}
b) [mm] f(x)=ln(1+e^{x})-x [/mm] ; x [mm] \in [/mm] R |
wie berechnet man den so etwas? was muss man machen, um die horizontale asymptote und was, um die vertikale zu erhalten?
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> untersuchen Sie die graphen der folgenden funktionen auf
> vertikale bzw. horizontale asymptoten:
> a) f(x)=ln [mm]|4-x^{2}|[/mm] ; [mm]x\in[/mm] R \ {2;-2}
> b) [mm]f(x)=ln(1+e^{x})-x[/mm] ; x [mm]\in[/mm] R
> wie berechnet man den so etwas?
Wie? - Mit einer pramgatischen Mischung von Intuition und Berechnung 
Vertikale Asymptoten hat ein Graph bei "heiklen" Stellen, bei denen die Funktion ins Unendliche abtürmt: primär "Polstellen".
Horizontale Asymptoten hat ein Graph allenfalls für [mm]x\rightarrow -\infty[/mm] und/oder [mm]x\rightarrow +\infty[/mm].
> was muss man machen, um
> die horizontale asymptote und was, um die vertikale zu
> erhalten?
Also bei a) würde ich mir erst einmal überlegen, wo der Graph von [mm]\ln(x)[/mm] eine Asymptote besitzt (Antwort: für [mm]x\rightarrow 0+[/mm] und zwar eine vertikale Asymptote). Somit hat [mm]f(x)[/mm] jedenfalls für [mm]|x^2-4|\rightarrow 0+[/mm] eine vertikale Asymptote. Oder, anders formuliert, für [mm]x\rightarrow -2[/mm] und für [mm]x\rightarrow +2[/mm] hat [mm]f(x)[/mm] eine vertikale Asymptote ([mm]a_1: x=-2[/mm] und [mm]a_2:x=+2[/mm]).
Eine horizontale Asymptote kann man nicht erwarten, denn für [mm]x\rightarrow \pm \infty[/mm] geht [mm]|4-x^2|\rightarrow +\infty[/mm] und damit auch [mm]f(x)\rightarrow +\infty[/mm].
Bei b) ist es so, dass der erste Summand allenfalls eine vertikale Asymptote besitzen könnte (der vergleichsweise harmlose zweite Summand [mm]-x[/mm] würde dabei einfach "mitgezogen"). Aber dieser Fall ist nicht möglich, weil das Argument [mm]1+e^x[/mm] des [mm]\ln[/mm] stets [mm]\geq 1[/mm] ist. Somit gibt es keine vertikalen Asymptoten.
Bleiben die beiden Fälle [mm]x\rightarrow - \infty[/mm] und [mm]x\rightarrow +\infty[/mm]. Was meinst Du, wie verhält sich die Funktion bei diesen beiden Grenzübergängen?
Bem: Die Funktion b) hätte man auch zuerst einmal folgendermassen vereinfachen können: [mm]f(x)=\ln(1+e^x)-x = \ln(1+e^x)-\ln(e^x) = \ln(e^{-x}+1)[/mm]. Das Verhalten der Funktion in dieser letzteren Form ist, was Asymptoten betrifft, leichter zu beurteilen.
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