aufgespannter Raum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Überprüfen Sie die Folgenden Aussagen auf Ihren Wahrheitsgrad. Führen sie gegebenenfalls den Beweis durch oder geben sie ein Gegenbeispiel an!
Sei K ein körper. Seien V,W endlichdimensionale Vektorräume über K. Bezeichne mit m die Dimension von V und mit n die Dimension von W.
1. Die Zeilen einer Matrix spannen den selben Raum auf, wie die Spalten.
2. Wenn es eine surjektive lineare Abbildung f: V [mm] \to [/mm] W gibt, dann gilt n < m.
3. Sei Sur(V,W) [mm] \subset Hom_K [/mm] (V,W) die Teilmengen der surjektiveb linearen Abbildungen. Ist das ein Unterraum?
4. Es gilt m=n genau dann wenn es eine surjetive lineare Abbildung F: V [mm] \to [/mm] w gibt mit Kern(f) = {0} |
Hallo zusammen,
soll sagen ob ob die aussagen stimmen, wenn ja beweisen, falls nein, Gegenbeispiel bringen. Bei den Teilaufgaben 2-4 komm ich auch überhaupt keinen grünen Zweig, und werd auch aus der Vorlesung nicht schlauer (die übrigens sehr zerfahren ist). Hoffe jemand kann mir diesbezüglich unter die Arme greifen!?
Zur ersten Teilaufgabe, glaube ich dass die Aussage stimmt, da ich kein gegenbeispiel finde, jedoch allgemein beweisen kann ichs auch nicht!
Ihr merkt ich stecke in einem ziemlich großen Dilemma!
Hoffe jemand von euch kann mir weiterhelfen!!
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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> 1. Die Zeilen einer Matrix spannen den selben Raum auf, wie
> die Spalten.
Was ist mit Matrizen, die nicht quadratisch sind?
> 2. Wenn es eine surjektive lineare Abbildung f: V [mm]\to[/mm] W
> gibt, dann gilt n < m.
EDITIERT:
Was ist, wenn V=W und f=id ?
Generell: bei Isomorphismen?
> 3. Sei Sur(V,W) [mm]\subset Hom_K[/mm] (V,W) die Teilmengen der
> surjektiveb linearen Abbildungen. Ist das ein Unterraum?
Welches ist das neutrale Element in [mm] Hom_K [/mm] (V,W)?
Ist es in Sur(V,W) enthalten?
>
> 4. Es gilt m=n genau dann wenn es eine surjetive lineare
> Abbildung F: V [mm]\to[/mm] w gibt mit Kern(f) = {0}
Was weiß man über f, wenn Kern(f) = {0}?
Gruß v. Angela
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zu 1.
angenommen ich nehme die 2x3 martix [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 }
[/mm]
wenn ich jetzt die zeielnvekoten betrachten will transponier ich ja das ding und dann bekomme ich ja nach zeielnstufenform eine nullzeile und doch somit auch wieder 2 lineare unabhängige vektoren aus dem [mm] \IR^2 [/mm] raus, oder nicht???
oder geh ich da falsch an die sache dran?
viele grüße, derm mathedepp_No.1
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> zu 1.
>
> angenommen ich nehme die 2x3 martix [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 }[/mm]
>
> wenn ich jetzt die zeielnvekoten betrachten will
> transponier ich ja das ding und dann bekomme ich ja nach
> zeielnstufenform eine nullzeile und doch somit auch wieder
> 2 lineare unabhängige vektoren aus dem [mm]\IR^2[/mm] raus, oder
> nicht???
> oder geh ich da falsch an die sache dran?
In den Zeilen haben wir Vektoren mit drei Komponenten, der von ihnen aufgespannte Raum ist ein Teilraum des [mm] \IR^3. [/mm] Die Spalten haben zwei Komponenten, spannen also einen Teilraum des [mm] \IR^2 [/mm] auf.
Möglicherweise sind die aufgespannten Räume mitunter isomorph, gleich jedoch können sie nicht sein.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
ich danke dir erstmal vielmals für deine rasche Stellungnahme, da ich aber aus der meinen Notizen aus der Vorlesung, leider nicht wirklich was draus gewinnen kann, kann ich natürlich auch mit deinen Tipps leider nicht viel anfangen, deshalb wollte ich dich fragen ob du so nett wärst mir das vielleicht zu erklären, bin mit meinem Latein wirklich am ende...:-(
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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> da ich aber aus der meinen Notizen aus der
> Vorlesung, leider nicht wirklich was draus gewinnen kann,
> kann ich natürlich auch mit deinen Tipps leider nicht viel
> anfangen, deshalb wollte ich dich fragen ob du so nett
> wärst mir das vielleicht zu erklären
Hallo,
ich erkläre ja wirklich gern etwas, aber ich möchte kein Lehrbuch schreiben und keine Vorlesung ersetzen. Ich kann das auch nicht.
Wenn Du mit den Tips überhaupt nichts anfangen kannst, heißt das, daß Du riesige Lücken hast, welche Du schließen solltest.
Bei Details helfe ich gerne, nur einen Grundstoch mußt Du selber legen.
Das mit den Vorlesungsnotizen ist so eine Sache. Sie sind ja lediglich die Grundlage fürs häusliche Nacharbeiten.
Meine Erfahrung: entweder die Vorlesungsmitschrift war inhaltlich hervorragend. Das waren die Vorlesungen, in denen ein komplettes Lehrbuch an die Tafel kam, und wo solche wie ich vor lauter Schnellschreiben überhaupt nicht denken konnten. Allerdings konnte man blau auf grau nachlesen, welches Wissen erwartet wird.
Dann gab's die Vorlesungen, wo man selbst entscheiden mußte, was von dem, was mitgeteilt wird, notierenswert ist. Das ist schwierig, zumal wenn man nicht zu den wenigen Überfliegern gehört.
Hier hilft nur eines. Themen und wichtige Sätze notieren und daheim anhand eines halbwegs zur Vorlesung passenden Lehrbuches durcharbeiten. Es gibt doch zu Beginn immer eine Lehrbuchliste, und die Hiwis haben sicher auch Büchertips auf Lager.
Gruß v. Angela
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hi angela,
hast recht mit dem was du sagst! Ok ich häng mich jetzt rein so gut es geht.
Also zu 4: Also der Kern besteht in diesem Falle nur aus dem nullvektor, bzw. dem neutralen Elemnt, dass heißt doch, dass lineare Abbildung abbildung injektiv ist oder???
aber was heißt das bzgl. m=n???
viele Grüße, der mathedepp_No.1
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> Also zu 4: Also der Kern besteht in diesem Falle nur aus
> dem nullvektor, bzw. dem neutralen Elemnt, dass heißt doch,
> dass lineare Abbildung abbildung injektiv ist oder???
Hui! Da ist also doch etwas vorhanden... (Vergiß das ja nicht Kern={0} <==> injektiv)
> aber was heißt das bzgl. m=n???
In der Aufgabe war ja angegeben, daß die Abbildung surjektiv ist.
Also ist sie bijektiv.
> aber was heißt das bzgl. m=n???
Gruß v. Angela
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ja dann stimmt doch die Aussage unter Punkt 4, oder?
dann gilt doch m=n [mm] \gdw [/mm] f surjektiv mit ker(f)={0}, da gilt: f sujektiv mit ker(f)= {0} = f ist bijektiv
Da lieg ich doch richtig oder???
Viele Grüße, mathedepp_No.1
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> ja dann stimmt doch die Aussage unter Punkt 4, oder?
Ja, da wir es mit einer bijektiven linearen Abbildung zu tun haben (Isomorphismus), muß die Dimension der beiden Räume gleich sein.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
> > 2. Wenn es eine surjektive lineare Abbildung f: V [mm]\to[/mm] W
> > gibt, dann gilt n < m.
>
> Kannst Du den [mm]\IR^2[/mm] auf den [mm]\IR^3[/mm] abbilden mit einer
> linearen Abbildung?
> Wie ist das mit den Bildern der Basisvektoren?
Hallo Angela  [mm] R^2 \to R^3 [/mm] ist hier ja auch nicht gefragt, sondern [mm] R^3 \to R^2.
[/mm]
Ist etwas verwirrend, weil hier anstatt der üblichen Notationen [mm]dim_{K}V = m[/mm] und [mm]dim_{K}W = n[/mm] gilt.
Gruß,
Gono.
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> > > 2. Wenn es eine surjektive lineare Abbildung f: V [mm]\to[/mm] W
> > > gibt, dann gilt n < m.
> >
> > Kannst Du den [mm]\IR^2[/mm] auf den [mm]\IR^3[/mm] abbilden mit einer
> > linearen Abbildung?
> > Wie ist das mit den Bildern der Basisvektoren?
>
> Hallo Angela [mm]R^2 \to R^3[/mm] ist hier ja auch nicht
> gefragt, sondern [mm]R^3 \to R^2.[/mm]
> Ist etwas verwirrend, weil
> hier anstatt der üblichen Notationen [mm]dim_{K}V = m[/mm] und
> [mm]dim_{K}W = n[/mm] gilt.
>
> Gruß,
> Gono.
Oh, danke!
An welch unerwarteten Stellen Fußangeln lauern...
Ich werd' mir gleich eine zu Frage passende Antwort einfallen lassen!
Gruß v. Angela
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> 2. Wenn es eine surjektive lineare Abbildung f: V W
> gibt, dann gilt n < m.
EDITIERT:
Was ist, wenn V=W und f=id ?
Generell: bei Isomorphismen?
Verstehe nicht, was ich mit dem Tipp anfangen soll?? Ich muss doch davon ausgehen, dass f surjektiv ist...!!??? Hoffe jemand kann mir das verdeutlichen,
viele Grüße, mathedepp_No.1
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Di 19.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> > 2. Wenn es eine surjektive lineare Abbildung f: V W
> > gibt, dann gilt n < m.
>
> EDITIERT:
> Was ist, wenn V=W und f=id ?
> Generell: bei Isomorphismen?
richtig !
Also stimmt die Aussage nun oder nicht ?!?
(war ne rethorische Frage, du hast es ja schon fast vollständig geschrieben..)
viele Grüße
DaMenge
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Ich denke dass die Aussage falsch ist (laut deiner rethorischen Frage),
aber verstanden habe ich das leider immernoch nicht.
kann mir das nicht jemand mal kurz erläutern??
viele Grüße, mathedepp_No.1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Di 19.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich denke die Tipps sollten dich nur motivieren ein Gegenbeispiel zur Aussage zu finden/suchen , dies hast du ja mit der Identität auch gefunden, also ist die Aussage falsch.
Allgemein muss für eine surjektive, lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen VRs V und W gelten, dass dim(W) [mm] $\le$ [/mm] dim(V)
(wenn f von V nach W geht)
du kannst dir ja mal dazu einen Beweis überlegen, wenn du magst..
viele Grüße
DaMenge
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Ahh...ich glaub ich habs:
Angenommen f ist Isomorphismus, somit auch surjektiv (und natürlich auch injektiv, da Isomorphismus bijektiv), so wäre V=W und somit müsste n=m sein.
Hab ich es jetzt richtig verstanden??
War die ganze Zeit in der Annahme, dass man man ausschließlich surjektive Abb. betrachten darf, d.h. die nichts anderes sind als surjektiv, daher habe ich den Isomorphismus von vorne herein ausgeschlossen, da dieser ja zu surjektiv auch noch injektiv ist....
Viele Grüße, mathedepp_No.1
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> Ahh...ich glaub ich habs:
>
> Angenommen f ist Isomorphismus, somit auch surjektiv (und
> natürlich auch injektiv, da Isomorphismus bijektiv),
Ja.
> so wäre V=W und somit müsste n=m sein.
>
> Hab ich es jetzt richtig verstanden??
Fast. Es wäre nicht V=W, sondern dim V=dim W und somit m=n.
Gruß v. Angela
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hallo angela,
vielen herzlichen dank habs jetzt gott sei dank verstanden!
Habe aber noch eine Frage zu teilaufgabe 3:
ich weiß / bzw. finde das neutrale element von [mm] Hom_K(V,W) [/mm] nicht. und weiß auch nicht wie ich dessen existenz in Sur(V,W) zu prüfen habe!
kannst du mir noch einletztes Mal helfen??
viele Grüße, mathedepp_No.1
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> ich weiß / bzw. finde das neutrale element von [mm]Hom_K(V,W)[/mm]
> nicht.
Das kann fast nur daran liegen, daß Du nicht weißt, was es mit Hom(V,W) auf sich hat.
Es ist die Menge der linearen Abbildungen von V nach W. Zusammen mit den einschlägigen Verknüpfungen ist dieser raum ein Vektorraum. Ich habe hier kürzlich etwas dazu geschrieben.
Das neutrale Element in Hom(V,K) ist die Abbildung n: V [mm] \to [/mm] V, welche so beschaffen ist, daß für jedes [mm] \varphi \in [/mm] Hom(V,W) gilt:
[mm] \varphi [/mm] + n = [mm] \varphi.
[/mm]
Elementweise ausgedrückt: für alle x [mm] \in [/mm] V gilt [mm] \varphi [/mm] (x)+ n(x)= [mm] \varphi(x).
[/mm]
Na, welche Abbildung mag das sein, die da an jedem [mm] \varphi [/mm] so spurlos vorübergeht?
Wenn Du sie gefunden hast, überlege Dir, ob sie surjektiv ist.
> und weiß auch nicht wie ich dessen existenz in Sur(V,W) zu prüfen habe!
Wenn du herausgefunden hast, ob sie surjektiv ist, wirst Du wissen, ob sie drin ist oder nicht.
Falls sie nicht drin ist, ist der Traum vom Vektorraum ausgeträumt.
Gruß v. Angela
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so ich glaub ich habs,
das neutrale element aus [mm] Hom_K(V,W) [/mm] ist die Null, die Null ist aber nicht surjektiv, und daher liegt das neutrale Element von [mm] Hom_K(V,W) [/mm] nicht in Sur(V,W).
Daraus folgt: Sur(V,W) ist kein Unterraum von [mm] Hom_K(V,W)
[/mm]
hab ichs jetzt richtig verstanden???
viele grüße mathedepp_No.1
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> das neutrale element aus [mm]Hom_K(V,W)[/mm] ist die Null,
also die Abbildung n: V to W
def. durch n(x):=0 für alle x [mm] \in [/mm] V
>die Null ist aber nicht surjektiv, und daher liegt das neutrale
> Element von [mm]Hom_K(V,W)[/mm] nicht in Sur(V,W).
>
> Daraus folgt: Sur(V,W) ist kein Unterraum von [mm]Hom_K(V,W)[/mm]
>
> hab ichs jetzt richtig verstanden???
Ja. Gruß v. Angela
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sorry angela, wenn ich nochmal nachfrage, aber ich glaube ich komm grade ganz durcheinander.
wenn gilt n(x):= 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V dann werden doch alle Elemente aus V auf 0 abbgebildet. somit wäre die Abb. doch surjektiv..????(Kopfqualm:-()
viele Grüße, mathedepp
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[mm]n: V \to W (!!!!!!!) [/mm]
Reicht das als Hinweis? 
Gruß,
Gono.
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> > 2. Wenn es eine surjektive lineare Abbildung f: V W
> > gibt, dann gilt n < m.
>
> EDITIERT:
> Was ist, wenn V=W und f=id ?
> Generell: bei Isomorphismen?
>
> Verstehe nicht, was ich mit dem Tipp anfangen soll?? Ich
> muss doch davon ausgehen, dass f surjektiv ist...!!???
Ja natürlich.
Und? Wie ist das mit der Identität? Ist die surjektiv?
Was ist denn ein Isomorphismus?
Gruß v. Angela
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Eine Isomorphismus ist eine lieneare Abbildung f: V [mm] \to [/mm] W die bijektiv ist.
aber wäre das nicht wie du gesagt hast im Fall V=W ein Endomorphismus?
Komm nicht weiter....
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> Eine Isomorphismus ist eine lieneare Abbildung f: V [mm]\to[/mm] W
> die bijektiv ist.
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> aber wäre das nicht wie du gesagt hast im Fall V=W ein
> Endomorphismus?
Ja.
Der Endomorphismus ist der Spezialfall eines Isomorphismus.
Ein Endomorphismus ist ein Isomorphismus von V auf V.
Gruß v. Angela
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