aussagen über folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:43 Mi 07.06.2006 | | Autor: | sonisun |
| Aufgabe | diese Aussagen soll ich entweder Beweisen oder mit einem Gegenbeispiel wiederlegen. [mm] a_{n} [/mm] ist eine Folge reeller oder komplexer Zahlen
a) ist [mm] (na_{n}) [/mm] beschränkt, so ist [mm] (a_{n}) [/mm] eine Nullfolge
b) Konvergieren [mm] (a_{2k}) [/mm] und [mm] (a_{3k}) [/mm] gegen den selben Grenzwert, so ist auch [mm] (a_{n}) [/mm] konvergent
c) ist [mm] (a_{n}/n)_{n} [/mm] eine Nullfolge, so ist [mm] (a_{n})_{n} [/mm] beschränkt.
d) ist [mm] (a_{n}^{2}) [/mm] eine Nullfolge, so ist auch [mm] (a_{n}) [/mm] eine Nullfolge |
hallo, ich habe schon meine Lösung so weit ich sie habe hingeschrieben, bin mir aber bei a) und b) noch unsicher und c) und d) krieg ich net selbst hin. Bitte helft mir
a) ich denke wahr: n ist immer eine konvergente Folge und konvergiert gegen sich selbst, da [mm] (na_n)beschränkt [/mm] ist ist auch [mm] a_{n} [/mm] beschränkt und konvergiert. dann gilt [mm] \lim(na_n)=0 [/mm] und [mm] \lim(n)*lim(a_{n})=0, [/mm] da n ungleich null ist, muss [mm] a_{n} [/mm] eine Nullfolge sein
b) wahr, weil alle Folgenmitglieder von [mm] a_n [/mm] in einer der beiden dortstehenden Teilfolgen enthalten sind und die gegen den selben Grenzwert konvergieren. folglich ist [mm] a_{n} [/mm] konvergent
c) hier fehlt mir noch ne idee
d) [mm] \lim a_{n}^{2} [/mm] =0 ich glaube, das ist flasch, kann es aber net begründen, hast du ne idee?
|
|
| |
|
Hallo sonisun,
> a) ich denke wahr: n ist immer eine konvergente Folge und
> konvergiert gegen sich selbst, da [mm](na_n)beschränkt[/mm] ist ist
> auch [mm]a_{n}[/mm] beschränkt und konvergiert. dann gilt
> [mm]\lim(na_n)=0[/mm] und [mm]\lim(n)*lim(a_{n})=0,[/mm] da n ungleich null
> ist, muss [mm]a_{n}[/mm] eine Nullfolge sein
Beschränkt bedeutet [mm] ||n*a_n||
> b) wahr, weil alle Folgenmitglieder von [mm]a_n[/mm] in einer der
> beiden dortstehenden Teilfolgen enthalten sind und die
> gegen den selben Grenzwert konvergieren. folglich ist [mm]a_{n}[/mm]
> konvergent
Es gibt auch Zahlen die weder durch 2 noch durch 3 teilbar sind und zwar unendlich viele.
> c) hier fehlt mir noch ne idee
Ich würde davon ausgehen das dies nicht stimmt und eine Folge suchen die langsamer steigt als n aber unbeschränkt ist.
> d) [mm]\lim a_{n}^{2}[/mm] =0 ich glaube, das ist flasch, kann es
> aber net begründen, hast du ne idee?
Stetige Funktionen bilden konvergente Folgen auf konvergente Folgen ab und für den Grenzwert gilt:
[mm] \lim_{n\to \infty} a_n=c \Rightarrow \lim_{n\to \infty} f(a_n)=f(c)[/mm]
vllt. kannst Du das ja verwenden. Ich denke aber das die Aussage richtig ist.
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
Hallo sonisun!
Hier würde ich folgendermaßen argumentieren:
[mm] $\left [/mm] \ [mm] \text{ist beschränkt}$ $\gdw$ $\left| \ n*a_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] |n|*\left| \ a_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] n*\left| \ a_n \ \right| \le [/mm] \ C$
[mm] $\Rightarrow$ $\left| \ a_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ a_n-\red{0} \ \right| [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{C}{n} [/mm] \ \ [mm] \red{< \ \varepsilon}$ [/mm] , da [mm] $\bruch{C}{n}$ [/mm] Nullfolge.
Damit haben wir folgende Ungleichheitskette: $0 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \left| \ a_n \ \right| [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$
[/mm]
Und daraus folgt auch, dass [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
