autonomes System < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Do 01.10.2009 | | Autor: | Takeela |
| Aufgabe | Es sei [mm]v:\IR\rightarrow\IR^{2}[/mm] ein [mm]C^{1}[/mm]-Vektorfeld. Betrachte das Differentialgleichungssystem
[mm]y^{'}=v(y)[/mm].
Es seien [mm]t_{0}, \tau_{0}\in\IR[/mm] und [mm]x_{0}\in\IR^{2}[/mm] gegeben.
i) Es sei [mm]\mu:\IR\rightarrow\IR^{2}[/mm] eine Lösung dieses Systems zum Anfangswert [mm]\mu(t_{0})=x_{0}[/mm]. Zeige, dass durch [mm]\gamma(t):=\mu(t-(\tau_{0} - t_{0}))[/mm] eine maximale Lösung von [mm]y^{'}=v(y)[/mm] zum Anfangswert [mm]\gamma(\tau_{0})=x_{0}[/mm] gegeben ist.
ii) Es sei zudem vorausgesetzt, dass die Kurve [mm]\alpha:\IR\rightarrow\IR^{2}[/mm], [mm]t\mapsto(cos(t),sin(t))[/mm] eine Lösung ist. Beweise: Ist [mm]\mu:\IR\rightarrow\IR^{2}[/mm] eine Lösung mit [mm]\parallel\mu(t_{0})\parallel<1[/mm], so gilt [mm]\parallel\mu(t)\parallel<1[/mm] [mm]\forall t\in\IR[/mm].
|
Guten Abend,
diese Aufgabenstellung macht mir schwer zu schaffen, d.h. ich habe überhaupt keinen Ansatz, wie ich diese Aussagen beweisen könnte.
Möchte mir vielleicht jemand mit einem Tipp helfen?
Ich würde mir sehr darüber freuen!
Herzlichen Dank im Voraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Fr 02.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]v:\IR\rightarrow\IR^{2}[/mm] ein [mm]C^{1}[/mm]-Vektorfeld.
> Betrachte das Differentialgleichungssystem
>
> [mm]y^{'}=v(y)[/mm].
>
> Es seien [mm]t_{0}, \tau_{0}\in\IR[/mm] und [mm]x_{0}\in\IR^{2}[/mm]
> gegeben.
>
> i) Es sei [mm]\mu:\IR\rightarrow\IR^{2}[/mm] eine Lösung dieses
> Systems zum Anfangswert [mm]\mu(t_{0})=x_{0}[/mm]. Zeige, dass
> durch [mm]\gamma(t):=\mu(t-(\tau_{0} - t_{0}))[/mm] eine maximale
> Lösung von [mm]y^{'}=v(y)[/mm] zum Anfangswert
> [mm]\gamma(\tau_{0})=x_{0}[/mm] gegeben ist.
>
> ii) Es sei zudem vorausgesetzt, dass die Kurve
> [mm]\alpha:\IR\rightarrow\IR^{2}[/mm], [mm]t\mapsto(cos(t),sin(t))[/mm] eine
> Lösung ist. Beweise: Ist [mm]\mu:\IR\rightarrow\IR^{2}[/mm] eine
> Lösung mit [mm]\parallel\mu(t_{0})\parallel<1[/mm], so gilt
> [mm]\parallel\mu(t)\parallel<1[/mm] [mm]\forall t\in\IR[/mm].
>
> Guten Abend,
>
> diese Aufgabenstellung macht mir schwer zu schaffen, d.h.
> ich habe überhaupt keinen Ansatz, wie ich diese Aussagen
> beweisen könnte.
>
> Möchte mir vielleicht jemand mit einem Tipp helfen?
Zu i: Dass [mm] $\gamma(t)$ [/mm] eine Lösung ist, kannst du durch Einsetzen in die DGL nachrechnen. Bleibt also noch zu zeigen, dass diese Lösung maximal ist.
Zu ii: Angenommen, es gebe Punkte auf der Lösungskurve [mm] $\mu$ [/mm] mit [mm] $\|\mu(t)\| \ge [/mm] 1$. Da [mm] $\|\alpha(t)\|=1$ [/mm] für alle t ist, und außerdem alle Punkte vom Betrag 1 auf der Kurve [mm] $\alpha$ [/mm] liegen, muss die Kurve [mm] $\mu$ [/mm] die Kurve [mm] $\alpha$ [/mm] berühren oder schneiden, oder aber drüber springen, also unstetig sein.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Fr 02.10.2009 | | Autor: | Takeela |
Vielen Dank, Rainer!
Könnte man die ii) folgendermaßen mathematisch begründen:
[mm]v(y)[/mm] ist nach Voraussetzung [mm] C^{1} [/mm], also stetig differenzierbar. Hieraus folgt eine lokale Lipschitzbedingung, welche den Eindeutigkeitssatz nach Pikard-Lindelöff anwendbar macht.
Angenommen [mm] \parallel \mu(t) \parallel \ge 1 [/mm], so existiert [mm] \tau_{0} [/mm], sodass [mm] \parallel \mu(\tau_{0}) \parallel = 1 = \parallel \alpha(\tau_{0}) \parallel [/mm]. Nach Pikard-Lindelöff gilt nun aber [mm] \mu(t) = \alpha(t) \forall t\in\IR [/mm], was mit der Anfangsbedingung [mm] \parallel \mu(t_{0}) \parallel < 1 [/mm] im Widerspruch liegt.
Hieraus folgt die Behauptung.
(Das mit der Unstetigkeit ist ja so, dass es gegen die Definition einer Lösung einer Differentialgleichung spricht)
Zu i) Naja, zu zeigen dass es eine Lösung ist, ist nicht schwer. Kann ich nicht sagen, dass [mm] \mu(t) [/mm] eine maximale Lösung ist, da sie auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert ist? Dann wäre [mm]\gamma(t)[/mm] nur eine zeitverschobene maximale Lösung...
Danke :)
|
|
|
| |
|
Hi,
> Vielen Dank, Rainer!
>
> Könnte man die ii) folgendermaßen mathematisch
> begründen:
>
> [mm]v(y)[/mm] ist nach Voraussetzung [mm]C^{1} [/mm], also stetig
> differenzierbar. Hieraus folgt eine lokale
> Lipschitzbedingung, welche den Eindeutigkeitssatz nach
> Pikard-Lindelöff anwendbar macht.
>
hoert sich plausibel an.
> Angenommen [mm]\parallel \mu(t) \parallel \ge 1 [/mm], so existiert
> [mm]\tau_{0} [/mm], sodass [mm]\parallel \mu(\tau_{0}) \parallel = 1 = \parallel \alpha(\tau_{0}) \parallel [/mm].
hier musst du wohl noch einen kleinen umweg ueber aufgabe i) gehen: es gibt [mm] $t_0,\tau_0$ [/mm] so dass [mm] $\mu(t_0)=\alpha(\tau_0)$. [/mm] nach aufg. i) kannst du aber zu einer translatierten (?) funktion [mm] $\tilde{\mu}$ [/mm] uebergehen, fuer die dann das gewuenschte gilt.
> Nach Pikard-Lindelöff gilt nun aber [mm]\mu(t) = \alpha(t) \forall t\in\IR [/mm],
> was mit der Anfangsbedingung [mm]\parallel \mu(t_{0}) \parallel < 1[/mm]
> im Widerspruch liegt.
>
genau!
> Hieraus folgt die Behauptung.
>
> (Das mit der Unstetigkeit ist ja so, dass es gegen die
> Definition einer Lösung einer Differentialgleichung
> spricht)
>
> Zu i) Naja, zu zeigen dass es eine Lösung ist, ist nicht
> schwer. Kann ich nicht sagen, dass [mm]\mu(t) [/mm] eine maximale
> Lösung ist, da sie auf ganz [mm]\IR[/mm] definiert ist? Dann wäre
> [mm]\gamma(t)[/mm] nur eine zeitverschobene maximale Lösung...
>
sollte so gehen, ja.
> Danke :)
gruss
matthias
|
|
|
|
