ax+by+zc=ggT(a,b,c) < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Fr 30.05.2014 | | Autor: | MietzeK |
| Aufgabe | Es seien a=252, b=462, c=693 (für alle [mm] gilt:\in\IZ). [/mm] Bestimmen sie den ggT von a,b,c (t=ggT (a,b,c).
Geben sie ganze Zahlen x,y,z an, für die gilt: xa+yb+zc=t. |
Hallo!
Ich komme hier leider an einer Stelle nicht weiter und wäre sehr dankbar, wenn mir jemand hilft.:)
Den ggT habe ich bereits bestimmt:
ggT(252,462,693)=t
ggT(252,462)
462=1*252+110
252=2*110+32
110=3*32+14
32=3*14+0
ggt(252,462)=14
ggT(14,693)
693=49*14+7
14=2*7+0
ggT(252,462,693)=t=7
xa+yb+zc=t
252x+462y+693z=7
Ich glaube, dass ich um die Gleichung im Bereich Z zu lösen, die Vielfachensumme brauche. Leider weiß ich nicht, wie ich das mit 3 Zahlen machen soll.
Ich habe mir überlegt, dass ich sonst erstmal die Vielfachensumme von ggT(252,462) bilde.
Leider scheitert es hier schon:
14=1*110-3*32
14=110-3*8252-2*110)
14=110-3*252+6*110
14=110-3*252+6*(32-3*14)
14=110-3*353+6*(32-3*???
Außerdem nützt mir die 14 doch auch nichts oder kann die die Gleichung dann durch teilen und habe mein x und y schon? Nehme ich dann die Vielfachengleichung von ggT(14,693)???
Danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Fr 30.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest mit
693=49*14+7
7= .....anfangen und dann rückwärts aufrollen
Gruß leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:56 Fr 30.05.2014 | | Autor: | MietzeK |
DANKE!
7=693-49*14, da die Gleichung 252x+462y+693z=7 ist weiß ich, dass z schonmal 1 ist.
Also: 252x+462y+1*693=7.
(Bin mir leider unsicher ob das richtig ist, weil ich diesmal nur zwei Zeilen im Algorithmus hatte wusste ich nicht genau woher ich die Zahlen nehmen könnte.)
Dann folgt daraus für x und y:
252x+462y=-868
Meine Idee wäre gewesen, jetzt etwas aus dem Euklidischen Algorithmus. zu übernehme, den ich für die beiden Zahlen gemacht habe aber ich sehe da leider keinen Ansatz...
Ist das denn richtig so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 04.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Fr 30.05.2014 | | Autor: | abakus |
> Es seien a=252, b=462, c=693 (für alle [mm]gilt:\in\IZ).[/mm]
> Bestimmen sie den ggT von a,b,c (t=ggT (a,b,c).
> Geben sie ganze Zahlen x,y,z an, für die gilt:
> xa+yb+zc=t.
>
> Hallo!
> Ich komme hier leider an einer Stelle nicht weiter und
> wäre sehr dankbar, wenn mir jemand hilft.:)
> Den ggT habe ich bereits bestimmt:
> ggT(252,462,693)=t
> ggT(252,462)
> 462=1*252+110
> 252=2*110+32
> 110=3*32+14
> 32=3*14+0
> ggt(252,462)=14
Hallo,
das kann nicht stimmen. Beide Zahlen sind durch 3 teilbar (Quersumme!), also muss der ggT auch den Primfaktor 3 enthalten.
Dein Fehler ist bereits in der Zeile
462=...
Gruß Abakus
> ggT(14,693)
> 693=49*14+7
> 14=2*7+0
> ggT(252,462,693)=t=7
>
> xa+yb+zc=t
> 252x+462y+693z=7
> Ich glaube, dass ich um die Gleichung im Bereich Z zu
> lösen, die Vielfachensumme brauche. Leider weiß ich
> nicht, wie ich das mit 3 Zahlen machen soll.
> Ich habe mir überlegt, dass ich sonst erstmal die
> Vielfachensumme von ggT(252,462) bilde.
> Leider scheitert es hier schon:
> 14=1*110-3*32
> 14=110-3*8252-2*110)
> 14=110-3*252+6*110
> 14=110-3*252+6*(32-3*14)
> 14=110-3*353+6*(32-3*???
>
> Außerdem nützt mir die 14 doch auch nichts oder kann die
> die Gleichung dann durch teilen und habe mein x und y
> schon? Nehme ich dann die Vielfachengleichung von
> ggT(14,693)???
> Danke :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Fr 30.05.2014 | | Autor: | MietzeK |
Oje, du hast Recht! Der ggT beträgt 42. Vielen Dank! Ich schaue morgen früh mal, ob ich nun die Lösung zurechtgebastelt bekomme.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Fr 30.05.2014 | | Autor: | abakus |
> Oje, du hast Recht! Der ggT beträgt 42. Vielen Dank! Ich
> schaue morgen früh mal, ob ich nun die Lösung
> zurechtgebastelt bekomme.
Für die beiden genannten Zahlen stimmt das. Da die dritte allerdings ungerade ist, ist der ggT aller drei Zahlen nur 21.
Deine zu lösende Gleichung heißt dann
x*252+y*462+z*693=21
und kann durch 21 geteilt werden:
12x+22y+33z=1
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Sa 31.05.2014 | | Autor: | MietzeK |
Genau, danke! Das habe ich jetzt auch raus! Mir war gar nicht bewusst, dass ich das so überprüfen kann, ob der ggT stimmt.
Du hast die Gleichung jetzt durch 21 geteilt...ist es nicht besser, wenn ich es so stehen lasse, weil ich über die Vielfachensumme x,y,z errechne?
Euklidischer Alg.: Vielfachensumme:
693=16*42+21 21=1*693-1*(16*42)
42=2*21+0 21=-1*693-1*(16*(2*21))
Ist das richtig?
für meine Ausgangsgleichung weiß ich jetzt:
252x+462y+693*1=21
der ggt von 252 und 462 war 42...also das doppelte von 21.
also versuche ich erstmal die Vielfachensumme davon zu finden und schaue dann, ob ich es verdoppeln kann.
Euklidischer Alg.: Vielfachensumme:
462=1*252+210 42=252-1*210
252=1*210+42 42=252-1*(462-1*252)
210=5*42+0 42=2*252+(-1*462)
Um mein x und y rauszukriegen würde ich die zahlen dann durch 2 teilen. x=1 und y= -0,5....und damit ist x keine ganze Zahl :( Habe ich denn bei der Vielfachsumme was falsch gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Mo 02.06.2014 | | Autor: | abakus |
> Genau, danke! Das habe ich jetzt auch raus! Mir war gar
> nicht bewusst, dass ich das so überprüfen kann, ob der
> ggT stimmt.
> Du hast die Gleichung jetzt durch 21 geteilt...ist es
> nicht besser, wenn ich es so stehen lasse, weil ich über
> die Vielfachensumme x,y,z errechne?
Hallo?
Hast du Spaß daran, unnötigerweise mit besonders großen Zahlen zu rechen?
Dein Vielfachdingsbums kannst du auch noch mit kleineren Zahlen anwenden.
>
> Euklidischer Alg.: Vielfachensumme:
> 693=16*42+21 21=1*693-1*(16*42)
> 42=2*21+0 21=-1*693-1*(16*(2*21))
>
> Ist das richtig?
> für meine Ausgangsgleichung weiß ich jetzt:
> 252x+462y+693*1=21
>
> der ggt von 252 und 462 war 42...also das doppelte von 21.
> also versuche ich erstmal die Vielfachensumme davon zu
> finden und schaue dann, ob ich es verdoppeln kann.
>
> Euklidischer Alg.: Vielfachensumme:
> 462=1*252+210 42=252-1*210
> 252=1*210+42 42=252-1*(462-1*252)
> 210=5*42+0 42=2*252+(-1*462)
Du weißt doch schon vorher, dass du -1 nicht durch 2 teilen kannst. Dann tu es auch nicht.
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> Um mein x und y rauszukriegen würde ich die zahlen dann
> durch 2 teilen. x=1 und y= -0,5....und damit ist x keine
> ganze Zahl :( Habe ich denn bei der Vielfachsumme was
> falsch gemacht?
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