ax Matrix mit Gauß lösen < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Oleole69 |
| Aufgabe | Für welche a Element R hat das GS eine eindeutige Lösung?
2x1+2x2+x3=2
ax1+2x2+x3=2
4x1+4x2+2ax3=1 |
Hallo,
ich wundere mich grade über die Aufgabenstellung, da uns gesagt wurde, dass wir dies mit dem Gaußverfahren lösen sollen.
Wenn ich mir das anschaue, dann sind Gleichung 1 und 2 ja praktisch gleich. Für a muss ja dann eine 2 dahin. Also muss die 2 auch in Gleichung 3 eingesetzt werden, was dann aber vorne und hinten nicht funktioniert. Ich komme da auf keine Lösung.
Alternativ hatte ich versucht, die 2. und 3. Gleichung zu tauschen, damit ich von der 3. ( nun an der Stelle der 2. ) das doppelte der ersten abziehen kann.
2x1+2x2+x3=2
4x1+4x2+2ax3=1 ( minus das Doppelte von 1) = 0+0+2ax3-x3=-3
ax1+2x2+x3=2
Daraus kann ich ja nicht einfach 2a=-3 machen, denn es gilt doch Punkt vor Strich.
Wenn ich das ganze nun noch für die andere Gleichung machen, dann habe ich
2x1+2x2+x3=2
0+0+2ax3-x3=-3
ax1-2x1+0+0=0
Irgendwo muss ich einen Denkfehler drin haben. Kann mir jemand helfen?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Fr 02.11.2012 | | Autor: | teo |
> Für welche a Element R hat das GS eine eindeutige
> Lösung?
> [mm] 2x_1+2x_2+x_3=2
[/mm]
> [mm] ax_1+2x_2+x_3=2
[/mm]
> [mm] 4x_1+4x_2+2ax_3=1
[/mm]
> Hallo,
>
> ich wundere mich grade über die Aufgabenstellung, da uns
> gesagt wurde, dass wir dies mit dem Gaußverfahren lösen
> sollen.
> Wenn ich mir das anschaue, dann sind Gleichung 1 und 2 ja
> praktisch gleich. Für a muss ja dann eine 2 dahin.
Wieso? a ist ja beliebig wählbar! Du sollst ja gerade feststellen, für welche a es keine eindeutige Lösung gibt! Du hast also festgestellt, dass es für a=2 schonmal keine eindeutige Lösung gibt!
> Also
> muss die 2 auch in Gleichung 3 eingesetzt werden, was dann
> aber vorne und hinten nicht funktioniert. Ich komme da auf
> keine Lösung.
>
> Alternativ hatte ich versucht, die 2. und 3. Gleichung zu
> tauschen, damit ich von der 3. ( nun an der Stelle der 2. )
> das doppelte der ersten abziehen kann.
>
> [mm] 2x_1+2x_2+x_3=2
[/mm]
> [mm] 4x_1+4x_2+2ax_3=1 [/mm] ( minus das Doppelte von 1) =
> [mm] 0+0+2ax_3-x_3=-3
[/mm]
Hier ist schon ein Fehler: da steht dann [mm] 0x_1 [/mm] + [mm] 0x_2 [/mm] + [mm] 2ax_3 [/mm] - [mm] 2x_3
[/mm]
> [mm] ax_1+2x_2+x_3=2
[/mm]
>
> Daraus kann ich ja nicht einfach 2a=-3 machen, denn es gilt
> doch Punkt vor Strich.
Das versteh ich jetzt nicht..
> Wenn ich das ganze nun noch für die andere Gleichung
> machen, dann habe ich
>
> [mm] 2x_1+2x_2+x_3=2
[/mm]
[mm] 0+0+2ax_3-2x_3=-3 [/mm] (hier hab ich den Fehler ausgebessert)
> [mm] ax_1-2x_1+0+0=0
[/mm]
>
Naja bis hierhin stimmts ja außer der kleine Rechenfehler.
Ich weiß nicht, ob ihr das gemacht habt, aber wenn man das in Matrixschreibweise aufschreibt, dann sieht das schonmal viel ordentlicher aus: (Zeilen umsortiert)
[mm] $\pmat{a - 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2a - 2}*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{0 \\ 2 \\ -3}$
[/mm]
Ziel beim Gaußalgorithmus ist ja erstmal, die Matrix in Zeilenstufenform zu bringen, dass kannst du machen, indem du noch die Zweite Zeile vereinfachst, dann steht da:
[mm] $\pmat{a - 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2a - 2}*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{0 \\ 2 \\ -3}$
[/mm]
So nun stellt sich nur noch die Frage, was [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] ist. Überleg mal..
Daraus ergibt sich dann auch, was a nicht sein darf. In der ersten Zeile siehst du ja z.B. dass wenn du für a=2 setzt, dass diese Zeile wegfällt, gerade das willst du aber nicht, um eine eindeutige Lösung zu bekommen!
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Oleole69 |
Wie kommst Du in der Matrix in Zeile zwei auf einmal von 2 nach 0 mit dem Vereinfachen?
Das mit der Schreibweise habe ich irgendwo schon mal gesehen, kann mich aber nicht mehr daran erinnern, wie man das ausrechnet und stupides probieren, für welche Zahlen es klappt ist ja wenig mathematisch.
In Zeile 1 sehe ich, dass es für 2 nicht eindeutig ist, also, da wir uns ja in R bewegen, auch für 4/2 , Wurzel 4 etc. Kommt ja alles 2 bei raus.
In Zeile 3 würde mit der Zahl 1 ( 2*1-2 ) alles auf 0 kommen.
Aber ich habe nicht die geringste Ahnung, wie man das mathematisch löst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Fr 02.11.2012 | | Autor: | teo |
> Wie kommst Du in der Matrix in Zeile zwei auf einmal von 2
> nach 0 mit dem Vereinfachen?
In der ersten Zeile steht doch nur noch in der ersten Spalte "a-2" und sonst nur 0. Nimm das ganze doch einfach mal [mm] $\frac{2}{a-2}$ [/mm] und dann zieh das von der der zweiten Zeile ab.....
> Das mit der Schreibweise habe ich irgendwo schon mal
> gesehen, kann mich aber nicht mehr daran erinnern, wie man
> das ausrechnet und stupides probieren, für welche Zahlen
> es klappt ist ja wenig mathematisch.
Das ist immernoch die gleiche Darstellung. Es stellt sich die Frage, was musst du für [mm] x_1 [/mm] wählen, sodass [mm] $(a-2)x_1 [/mm] = 0$ ist? Das sollte jetzt nicht wirklich ein Problem darstellen.
>
> In Zeile 1 sehe ich, dass es für 2 nicht eindeutig ist,
> also, da wir uns ja in R bewegen, auch für 4/2 , Wurzel 4
> etc. Kommt ja alles 2 bei raus.
Hä? Du wählst hier nur verschiedene Darstellungsmöglichkeiten für 2. Das hilft dir für die Aufgaben nicht weiter. Es ist einfach nur schonmal 2 nicht möglich für a. Punkt aus.
> In Zeile 3 würde mit der Zahl 1 ( 2*1-2 ) alles auf 0
> kommen.
> Aber ich habe nicht die geringste Ahnung, wie man das
> mathematisch löst.
Du sollst NICHT für a ausprobieren!!!! Du sollst das Gleichungssystem erstmal lösen! D.h. entsprechend [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] so wählen, dass das Gleichungssystem gelöst wird. "a" lässt du einfach stehen!!
Also: was musst du für [mm] x_1 [/mm] setzen, damit das Gleichungssystem erfüllt ist?
Schau dir die dritte Zeile an! Was musst du für [mm] x_3 [/mm] setzen damit das Gleichungssystem erfüllt ist?
Schau dir dann die zweite Zeile an. Nun musst du nur noch [mm] x_2 [/mm] wählen. Also setze [mm] x_3 [/mm] ein und löse alles nach [mm] x_2 [/mm] auf! Dann wirst du auch sehn, was du für a noch nicht wählen darfst!
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 So 04.11.2012 | | Autor: | Oleole69 |
Puh, ich glaub einfach, dass ich zu doof dafür bin.
Es stellt sich die Frage, was musst du für x1 wählen, sodass (a-2)x1=0 ist? Das sollte jetzt nicht wirklich ein Problem darstellen.
Wenn ich x1=0 wähle, dann wird alles Null und es stimmt.
Schau dir die dritte Zeile an! Was musst du für x3 setzen damit das Gleichungssystem erfüllt ist?
(2a-2)x3=-3 , ja hier steh ich wieder auf dem Schlauch. Wenn ich das a einfach stehen lasse, dann kommt ja am Ende nie -3 raus. Ich checks nicht.
x3=1 mit a=-0,5 würde die Gleichung erfüllen.
Somit habe ich für x1=0 , x3=1
Gleichung 2:
2x1+2x2+x3=2
2*0+2x2+1=2
1+2x2=2
2x2=1
x2=0,5
Hab bitte Geduld mit mir. Ich war in Mathe immer gut gewesen, ich habe nur ein riesen Brett vor dem Kopf.
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Hallo,
du solltest die Aufgabenstellung nochmal gründlich durchlesen. Es geht darum, für a nach Werten zu suchen, so dass das LGS eine eindeutige Lösungsmenge hat.
Ich habe jetzt nicht nachgerechnet, aber falls bspw.
[mm] (a-2)*x_1=0
[/mm]
richtig ist, dann musst du folgendermaßen überlegen:
- Ist [mm] a\ne{2}, [/mm] dann muss tatsächlich [mm] x_1=0 [/mm] gelten, was eine eindeutige Lösung ist
- Ist jedoch a=2, dann kann [mm] x_1 [/mm] einen beliebigen Wert annehmen, und damit ist die Lösungsmenge nicht mehr eindeutig.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 So 04.11.2012 | | Autor: | teo |
> Puh, ich glaub einfach, dass ich zu doof dafür bin.
>
> Es stellt sich die Frage, was musst du für x1 wählen,
> sodass (a-2)x1=0 ist? Das sollte jetzt nicht wirklich ein
> Problem darstellen.
>
> Wenn ich x1=0 wähle, dann wird alles Null und es stimmt.
>
> Schau dir die dritte Zeile an! Was musst du für x3 setzen
> damit das Gleichungssystem erfüllt ist?
>
> (2a-2)x3=-3 , ja hier steh ich wieder auf dem Schlauch.
> Wenn ich das a einfach stehen lasse, dann kommt ja am Ende
> nie -3 raus. Ich checks nicht.
Also: Wir denken uns (2a-2) einfach als Zahl. Wie würdest du das denn dann lösen? Ich würde es mal mit Division versuchen. Was steht dann im Nenner? Was darfst du für "a" folglich neben - wie wir schon festgestellt haben - 2 nicht wählen?
Analog für die zweite Zeile.
> x3=1 mit a=-0,5 würde die Gleichung erfüllen.
>
> Somit habe ich für x1=0 , x3=1
Ja das hatten wir ja schon....
> Gleichung 2:
>
> 2x1+2x2+x3=2
> 2*0+2x2+1=2
> 1+2x2=2
> 2x2=1
> x2=0,5
Benutz doch bitte [mm] x_i [/mm] (x Unterstrich), dann ists besser lesbar...
> Hab bitte Geduld mit mir. Ich war in Mathe immer gut
> gewesen, ich habe nur ein riesen Brett vor dem Kopf.
Mal gucken ob das Brett jetzt langsam verschwindet...
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 So 04.11.2012 | | Autor: | Oleole69 |
Puh, auch auf die Gefahr hin, dass das nun wieder falsch ist...
[mm] (2a-2)x_3=0
[/mm]
Wenn ich Division benutze, dann könnte man (2a-2) auf die andere Seite bringen.
[mm] x_3=0/2a-2
[/mm]
[mm] x_3=0
[/mm]
Wenn (2a-2) eine Zahl wäre, beispielsweise 5 , dann würde ich [mm] 5x_3=0 [/mm] lösen, indem ich durch 5 teile.
Wenn ich nun durch (2a-2) teile, dann habe ich immer noch [mm] x_3=0 [/mm] , weil 0 durch (2a-2) sind Null.
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Hallo,
> Puh, auch auf die Gefahr hin, dass das nun wieder falsch
> ist...
>
> [mm](2a-2)x_3=0[/mm]
>
> Wenn ich Division benutze, dann könnte man (2a-2) auf die
> andere Seite bringen.
> [mm]x_3=0/2a-2[/mm]
> [mm]x_3=0[/mm]
>
> Wenn (2a-2) eine Zahl wäre, beispielsweise 5 , dann würde
> ich [mm]5x_3=0[/mm] lösen, indem ich durch 5 teile.
> Wenn ich nun durch (2a-2) teile, dann habe ich immer noch
> [mm]x_3=0[/mm] , weil 0 durch (2a-2) sind Null.
Hast du schon einmal den Begriff Äquivalenzumformung gehört? 
Wenn du das (so umständlich) durch Rechnen mittels Division 'erschlagen' möchtest, dann musst du bedenken, dass du nicht durch Null dividieren darfst. Diesen Fall musst du gesondert betrachten. Und nochmal, das geht viel einfacher, wenn man
[mm] (2a-2)*x_3=0
[/mm]
mit dem Satz vom Nullprodukt untersucht. Also einer der beiden Faktoren muss halt Null sein. Und wenn das zufällig die Klammer ist, was gilt dann für [mm] x_3?
[/mm]
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 So 04.11.2012 | | Autor: | teo |
> Puh, auch auf die Gefahr hin, dass das nun wieder falsch
> ist...
>
> [mm](2a-2)x_3=0[/mm]
Was soll denn das bitte! Ein bisschen mehr Konzentration wäre schon angebracht! Hier steht nicht $(2a [mm] -2)x_3=0$ [/mm] sondern: [mm] $(2a-2)x_3=-3$
[/mm]
Also, um das abzukürzen: Man erhält für [mm] x_3: $x_3 [/mm] = [mm] \frac{-3}{2a-2}$ [/mm] So und jetzt erklär mir doch bitte, was man für a nicht wählen darf und warum!
Für die zweite Zeile erhälst du: [mm] $2x_2 [/mm] + [mm] 1*\frac{-3}{2a-2} [/mm] = 2$ Das wäre jetzt nach [mm] x_2 [/mm] aufzulösen!
Was ist dann deine eindeutige Lösung?
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 So 04.11.2012 | | Autor: | Oleole69 |
Für a darf man nicht die 1 wählen, da 2*1-2=0 ist. Sonst hätte man -3 Nulltel. Und das ist 0.
Für [mm] 2x_2 [/mm] habe ich so aufgelöst:
[mm] 2x_2-3=(4a-4)
[/mm]
[mm] x_2-1,5=(2a-2)
[/mm]
[mm] x_2=(2a-2)+1,5
[/mm]
Großartig, mit einer anderen Methode krieg ich hier ein anderes Ergebnis. Nämlich [mm] x_2=1- [/mm] (-3/(4a-4))
Ich werd den Studiengang hinschmeißen, kann doch echt nicht wahr sein, dass ich zu blöd bin so eine Aufgabe zu lösen. Ich habe ein Abitur von 1,6 inklusive Mathe und vergeige hier Aufagben der 7. Klasse.
Eindeutige Lösung wäre doch dann, wenn ich [mm] x_1 x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] ausgerechnet habe, dass ich das einsetze und somit an a komme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 So 04.11.2012 | | Autor: | teo |
> Für a darf man nicht die 1 wählen, da 2*1-2=0 ist. Sonst
> hätte man -3 Nulltel. Und das ist 0.
Jetzt kapier ich erst was du da sagen willst! Das ist ja totaler Quatsch! NIEMALS DURCH NULL TEILEN!!!!! -3/0 gibt es nicht! Also ganz besimmt nicht 0!!!! -> Mathematische Todsünde
Da fehlen ja die absoluten Grundlagen!
> Für [mm]2x_2[/mm] habe ich so aufgelöst:
>
> [mm]2x_2-3=(4a-4)[/mm]
Falsch! Du musst die gesamte linke Seite mit (2a-2) multiplizieren. Also: [mm] $2(2a-2)x_2 [/mm] -3 = 2(2a-2)$
> [mm]x_2-1,5=(2a-2)[/mm]
> [mm]x_2=(2a-2)+1,5[/mm]
>
> Großartig, mit einer anderen Methode krieg ich hier ein
> anderes Ergebnis. Nämlich [mm]x_2=1-[/mm] (-3/(4a-4))
>
> Ich werd den Studiengang hinschmeißen, kann doch echt
> nicht wahr sein, dass ich zu blöd bin so eine Aufgabe zu
> lösen. Ich habe ein Abitur von 1,6 inklusive Mathe und
> vergeige hier Aufagben der 7. Klasse.
...
> Eindeutige Lösung wäre doch dann, wenn ich [mm]x_1 x_2[/mm] und
> [mm]x_3[/mm] ausgerechnet habe, dass ich das einsetze und somit an a
> komme?
Du hast es immer noch net kapiert. Du sollst doch a überhaupt nicht ausrechnen! Du sollst doch nur feststellen, für welche a das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist. Folglich ist für alle $a [mm] \in \IR\backslash _{\{1,2\}}$ [/mm] das Gleichungssystem eindeutig lösbar! Lass das a doch einfach mal eine Variable sein, die du nicht berechnen sollst. Die Lösung ist im übrigen [mm] $\{(0,\frac{4a-1}{4a-4},\frac{-3}{2a-2}| a\in \IR\backslash _{\{1,2\}}\}$
[/mm]
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 So 04.11.2012 | | Autor: | Oleole69 |
Vielen Dank!
Ich habe es mittlerweile nachvollziehen können. Ich sollte mir ernsthafte Gedanken machen, ob Mathe für mich das richtige ist.
Danke nochmal für die Geduld.
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