b-adische Reihe rat. Zahlen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Z.Z. : Ist [mm] $x\in \mathbb [/mm] R$ dann sind die [mm] $a_i\;(\in\mathbb [/mm] Z)$ in der Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n b^{-n}$, $b\in\mathbb [/mm] N, [mm] b\geq2$ [/mm] periodisch, also es gibt ein [mm] $p\in\mathbb [/mm] N$ und ab einen [mm] $n_0$ [/mm] gilt [mm] $\forall n\geq n_0$: $a_n=a_{n+p}$ [/mm]
Bildungsgesetz für die [mm] $a_i$:
[/mm]
[mm] $a_k:=[b^k\epsilon_{k-1}]$, $\epsilon_{k}:=\epsilon_{k-1}-\frac{a_k}{b^k}$ [/mm] wobei [mm] $\epsilon_{0}=x$
[/mm]
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Hallo!,
ich möchte gern einen Beweis zu obiger Aufgabe (es ist Äquivalenz zu zeigen, also - genau dann wenn x aus Q dann [mm] $a_i$ [/mm] periodisch - verstehen. Einen Teil habe ich bereits verstanden, es fehlt mir noch die "Hinrichtung". In dem vorgeschlagenen Beweis ist gesagt, dass es reicht zu zeigen, dass ein [mm] $p_k$ [/mm] existiert:
[mm] $\forall k\in \mathbb [/mm] N$: [mm] $\exists p_k\in\mathbb N_0$ [/mm] mit [mm] $b^k\epsilon_{k-1}=\frac{p_k}{n}$ [/mm] und [mm] $0\leq p_k
Diesen letzten Teil verstehe ich nicht!
Tut mir leid, dass der Einleitungsteil so umfangreich ist, wäre sehr dankbar für Hilfe!!
Lorenz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Z.Z. : Ist [mm]x\in \mathbb R[/mm] dann sind die [mm]a_i\;(\in\mathbb Z)[/mm]
> in der Reihe [mm]\sum_{n=1}^\infty a_n b^{-n}[/mm], [mm]b\in\mathbb N, b\geq2[/mm]
> periodisch, also es gibt ein [mm]p\in\mathbb N[/mm] und ab einen [mm]n_0[/mm]
> gilt [mm]\forall n\geq n_0[/mm]: [mm]a_n=a_{n+p}[/mm]
Das ist ja mal ein schoenes Chaos. Lass uns da mal langsam durchgehen.
1. Kann es sein, dass $x [mm] \in \IQ$ [/mm] dazu aequivalent sein soll? Und nicht $x [mm] \in \IR$? [/mm] Und dass $x$ nichtnegativ sein soll (also [mm] $\ge [/mm] 0$)?
2. Was ist $b$? Eine ganze Zahl $> 1$?
3. Kann es sein, dass die [mm] $a_i$ [/mm] nicht beliebige ganze Zahlen sein sollen, sondern aus der Menge [mm] $\{ 0, 1, \dots, b-1 \}$?
[/mm]
4. Kann es sein, dass die Summe nicht bei $n = 1$, sondern bei irgendeinem [mm] $n_0$ [/mm] losgehen soll? Oder ist $x < 1$?
Oder eine leicht andere Kombination davon?
>
> Bildungsgesetz für die [mm]a_i[/mm]:
> [mm]a_k:=[b^k\epsilon_{k-1}][/mm],
> [mm]\epsilon_{k}:=\epsilon_{k-1}-\frac{a_k}{b^k}[/mm] wobei
> [mm]\epsilon_{0}=x[/mm]
Soll das $[ [mm] \bullet [/mm] ]$ die untere Gaussklammer sein?
> ich möchte gern einen Beweis zu obiger Aufgabe (es ist
> Äquivalenz zu zeigen, also - genau dann wenn x aus Q dann
Hier kommt ja auch ploetzlich [mm] $\IQ$ [/mm] vor.
> [mm]a_i[/mm] periodisch - verstehen. Einen Teil habe ich bereits
> verstanden, es fehlt mir noch die "Hinrichtung".
Du hast also schon gezeigt, dass aus der Periodizitaet folgt, dass $x [mm] \in \IQ$ [/mm] ist? Und willst jetzt zeigen, dass aus $x [mm] \in \IQ$ [/mm] folgt, dass die Darstellung periodisch ist?
> In dem
> vorgeschlagenen Beweis ist gesagt, dass es reicht zu
> zeigen, dass ein [mm]p_k[/mm] existiert:
> [mm]\forall k\in \mathbb N[/mm]: [mm]\exists p_k\in\mathbb N_0[/mm] mit
> [mm]b^k\epsilon_{k-1}=\frac{p_k}{n}[/mm] und [mm]0\leq p_k
Was ist $n$? Oder fehlt da noch ein [mm] $\exist [/mm] n [mm] \in \IN_{>0}$?
[/mm]
Dann ist das doch "relativ" klar: da [mm] $b^k \varepsilon_{k-1} \in [/mm] [0, b)$ liegt und eine rationale Zahl ist, gibt es ein [mm] $p_k$ [/mm] und $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $b_k [/mm] = [mm] \frac{p_k}{n}$ [/mm] und es muss $0 [mm] \le p_k [/mm] < n k$ gelten.
Oder etwa nicht?
LG Felix
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Hallo Felix,
uh mein Gott, sorry klar [mm] $x\in\mathbb [/mm] Q$ und $0<x<1$, gut, dass Du das so schnell durchschaust (hatte nach dem Befehl mathbb gesucht und obiges dabei vergessen). Die Menge der b war ausnahmsweise (richtig) angegeben. [mm] $0\leq a_i
Und [mm] $x=\frac{m}{n}$, [/mm] $n>m [mm] \in \mathbb [/mm] N$ sollte man wohl auch erwähnen, sowie dass [] - die Gaußklammer ist..
Unter diesen Umständen erst recht herzlichen Dank für Deine Antwort!
Nun noch mal zu meinem Verständnisproblem:
Ich habe Probleme einzusehen, dass, wenn wir ein [mm] $p_k$ [/mm] mit den angegebenen Eigenschaften gefunden haben, gleichzeitig ein q gefunden haben so dass gilt [mm] $$b^p\epsilon_{p-1}=\frac{p_k}{n}=b^q\epsilon_{q-1}\quad\text{wobei}\quad q\neq [/mm] p$$
denn letzteres ist ja die Bedingung für Periodizität.
Also konkret - bei gefundenem [mm] $p_k$ [/mm] - wie sieht das q aus?
Vielen Dank,
Lorenz
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:18 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Lorenz,
> uh mein Gott, sorry klar [mm]x\in\mathbb Q[/mm] und [mm]0
> Du das so schnell durchschaust (hatte nach dem Befehl
> mathbb gesucht und obiges dabei vergessen). Die Menge der b
> war ausnahmsweise (richtig) angegeben. [mm]0\leq a_i
> sich dann allerdings aus dem Bildungsgesetz.
> Und [mm]x=\frac{m}{n}[/mm], [mm]n>m \in \mathbb N[/mm] sollte man wohl auch
> erwähnen, sowie dass [] - die Gaußklammer ist..
ok :)
> Unter diesen Umständen erst recht herzlichen Dank für
> Deine Antwort!
Bitte!
> Nun noch mal zu meinem Verständnisproblem:
>
> Ich habe Probleme einzusehen, dass, wenn wir ein [mm]$p_k$[/mm] mit
> den angegebenen Eigenschaften gefunden haben, gleichzeitig
> ein q gefunden haben so dass gilt
> [mm]b^p\epsilon_{p-1}=\frac{p_k}{n}=b^q\epsilon_{q-1}\quad\text{wobei}\quad q\neq p[/mm]
>
> denn letzteres ist ja die Bedingung für Periodizität.
> Also konkret - bei gefundenem [mm]p_k[/mm] - wie sieht das q aus?
Ohne mir das jetzt bis zum Schluss ueberlegt zu haben, aber: eventuell kannst du zeigen, dass es ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt, so dass $n [mm] b^k \varepsilon_{k-1} \in \IZ$ [/mm] fuer alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] stimmt.
Da dann weiterhin $n [mm] b^k \varepsilon_{k-1} \in \{ 0, 1, \dots, b n \}$ [/mm] folgt, gibt es nur endlich viele Moeglichkeiten fuer [mm] $b^k \varepsilon_{k-1}$ [/mm] -- es muss also $p < q$ geben mit [mm] $b^p \varepsilon_{p-1} [/mm] = [mm] b^q \varepsilon_{q-1}$.
[/mm]
Kommst du damit weiter?
LG Felix
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Hallo Felixf,
mmh, also wenn ich ehrlich sein soll, dann klickt es bei mir immer noch net so recht. Also mir ist klar, dass man mit einem [mm] p_k, [/mm] das die Eigenschaft [mm] $\frac{p_k}{n}=b^k\varepsilon_{k-1}$ [/mm] besitzt, nun auch Zahlen
[mm] $b\frac{p_k}{nb},\quad b^2\frac{p_k}{nb^2},\quad b^3\frac{p_k}{nb^3}, \ldots [/mm] $ "züchten" kann. jedoch ist für mich damit noch nicht ohne Weiteres gewährleistet, dass diese [mm] $b^i\frac{p_k}{nb^i}$ [/mm] ein Produkt (aus einer Potenz von $b$ und) einem [mm] $\varepsilon_{j}$ [/mm] sind, also sprich, dass [mm] $\frac{p_k}{nb^i}$ [/mm] gleich einem passenden [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist.
Ich danke jedoch trotzdem noch mal für Dein Engagement und denke noch ein Weilchen drüber nach, vielleicht fällt der Groschen ja noch (das dauert manchmal ein Weilchen bei mir).
Herzlichst,
Lorenz
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