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| Aufgabe | Sei B die Basis (1, 2, 3), (1, 1, 0), (0, 1, 2) des R3. Sei C die Basis (1, 1, 1),(3, 1, 0), (0, 1, 1) des R3. Sei f: R3 [mm] \to [/mm] R3 die lineare Abbildung, deren Matrix
bezüglich dieser beiden Basen durch [mm] M_{B,C}\pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 3 } [/mm] gegeben wird. Berechnen Sie f(1, 1, 1). |
Weil so schön war noch ne Frage aus einer Musterklausur:
Ich verstehe hier nicht wieso es heißt dass ich f(1,1,1) berechnen soll. (1,1,1) ist keine Basis aus V, sonders aus W. Wärs andersrum hätte ich ja kein Problem aber jetzt weiß ich nicht was die von mir wollen:
soll ich die Vorschrift f(x,y,z)=... finden und dann einfach nur einsetzen oder geht es um was ganz anderes?
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> Sei B die Basis (1, 2, 3), (1, 1, 0), (0, 1, 2) des R3. Sei
> C die Basis (1, 1, 1),(3, 1, 0), (0, 1, 1) des R3. Sei f:
> R3 [mm]\to[/mm] R3 die lineare Abbildung, deren Matrix
> bezüglich dieser beiden Basen durch [mm]M_{B,C}\pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 3 }[/mm]
> gegeben wird. Berechnen Sie f(1, 1, 1).
> Weil so schön war noch ne Frage aus einer Musterklausur:
> Ich verstehe hier nicht wieso es heißt dass ich f(1,1,1)
> berechnen soll. (1,1,1) ist keine Basis aus V, sonders aus
> W.
Hallo,
also wenn, dann wäre (1,1,1) höchstens ein Basisvektor, und V und W haben wir hier überhaupt nicht... (Ich weiß natürlich, was Du meinst, aber Du solltest diesbezüglich auf Korrektheit achten).
Laß uns zunächst überlegen, was uns
[mm] M_{B,C}\pmat{ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 3 }
[/mm]
mitteilt.
Nämlich folgendes:
Der erste Basisvektor, also (1, 2, 3) wird abgebildet auf [mm] (1,1,0)_C, [/mm] d.h.
f(1, 2, 3)=1*(1, 1, 1)+1*(3, 1, 0)+0*(0, 1, 1).
Analog für die anderen beiden.
Wenn Du wissen willst, was f(1,1,1) ist, mußt Du (1,1,1) in der Basis B ausdrücken, also a,b,c finden mit (1,1,1)=a(1, 2, 3)+b(1, 1, 0)+c(0, 1, 2).
Da Du es hier mit linearen Abbildungen zu tun hast, kannst Du dann f(1,1,1) berechnen:
f(1,1,1)=f(a(1, 2, 3)+b(1, 1, 0)+c(0, 1, 2))=af(1,2.3)+...
Gruß v. Angela
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