bed. E-Wert, Risikoprozess < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:56 Di 21.08.2012 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | | Die Anzahl N der Schäden in einem Versicherungskollektiv (pro Jahr) besitze eine diskrete W-Dichte [mm] (p_{n})_{n=0,1,...} [/mm] [z.B. [mm] p_{n}=\bruch{\lambda^n}{n!}*e^{-\lambda}]. [/mm] Treten n [mm] (\ge [/mm] 1) Schäden auf, so seien die Einzelschäden [mm] X_{1}, [/mm] ..., [mm] X_{n} [/mm] identisch verteilt mit EW [mm] \mu. [/mm] Wie groß ist der erwartete Gesamtschaden, d.h. [mm] E(\summe_{i=1}^{N}X_{i}) [/mm] = ? |
Hallo MR,
hier haben wir im Skript geschrieben:
Bekannt: 1) [mm] P(N=n)=p_{n}, [/mm] 2) [mm] E(\summe_{i=1}^{N}X_{i}|N=n)=n*\mu.
[/mm]
Hier verstehe ich nicht, wie man auf den [mm] EW=n*\mu [/mm] kommt. Also wie rechnet man den konkret aus? Oder kann man einfach schreiben:
[mm] (\summe_{i=1}^{N}E(X_{i})|N=n)=n*\mu [/mm] , aber das wäre ja schon [mm] E(\summe_{i=1}^{N}X_{i})?
[/mm]
Und was mache ich mit der Bedindung N=n? Irgendwie verstehe ich das nicht so ganz. Ich kenne die Verteilung der [mm] X_{i} [/mm] ja nicht.
Ich habe mal das Beispiel bei Wikipedia mit der Augensume zweier Würfel nachgerechnet, da konnte ich problemlos den bed. EW nachrechnen, weil ich ja auch eine konkrete Verteilung dazu hatte.
weiter gehts mit:
Mit [mm] S_{n}=X_1+...+X_n, S_0 [/mm] = 0 erhält man den EW des Gesamtschadens:
[mm] E(S_N) [/mm] = [mm] E(S_N*\summe_{n=0}^{\infty}I_{\{N=n\}})=E(\summe_{n=0}^{\infty}*S_N*I_{\{N=n\}})
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}E(S_n*I_{\{N=n\}}) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}E(S_n|N=n)P(N=n)
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}n*\mu*p_n [/mm] = [mm] \mu*E(N)
[/mm]
Ich gehe mal die Schritte durch:
1. Schritt: Die Summe über die I-Fkt. = 1, also ändert sich nichts
2. Schritt: [mm] S_N [/mm] in die Summe gezogen, [mm] S_N [/mm] ist ja selber Summe, geht also auch (korrekt?)
3. Schritt: laut Stochastik I, haben die Formel dazu gegeben
4. Schritt: laut Stochastik I, haben die Formel dazu gegeben
5. Schritt: laut 2) ist [mm] E(S_n|N=n)=E(\summe_{i=1}^{N}X_{i}|N=n)=n*\mu
[/mm]
6. Schritt: Def E-Wert
Mir fehlt also nur dieser Punkt 2)
Wäre dankbar über einen Hinweis. Bzw. würde mich über eine Beispielrechnung sehr freuen.
DANKE
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 24.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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