bed. Erwartung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Do 09.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Moin, X und Y sollen zwei unabhängige Zufallsvariablen sein (auf welchen Wahrscheinlichkeitsräumen sie definiert sind, steht nirgends, aber ich gehe mal davon aus, daß man wohl einen Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega,F,P)$ [/mm] hat und daß wohl [mm] $X\colon\Omega\to\mathbb{R}$ [/mm] und auch [mm] $Y\colon\Omega\to\mathbb{R}$) [/mm] und man soll dann
$E(f(X,Y)|X=x)$ betrachten.
Verstehe ich das richtig, daß
[mm] $f(X,Y)\colon\Omega\times\Omega\to\mathbb{R}$
[/mm]
[mm] $(\omega_1,\omega_2)\mapsto (X(\omega_1),Y(\omega_2))\mapsto f(X(\omega_1),Y(\omega_2))$ [/mm] und daß der Zufall dann nur noch in Y steckt, wenn [mm] $X(\omega_1)=x$ [/mm] die Bedingunge ist?
Daß also:
[mm] $E(f(X,Y)|X=x)=g_{x}(Y)$, [/mm] wobei [mm] $g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] eine [mm] $\mathcal{B}(\mathbb{R})$-messbare [/mm] Funktion bezeichne? |
Steht dort oben. 
Viele Grüße
Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Do 09.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Dennis!
> Moin, X und Y sollen zwei unabhängige Zufallsvariablen
> sein (auf welchen Wahrscheinlichkeitsräumen sie definiert
> sind, steht nirgends, aber ich gehe mal davon aus, daß man
> wohl einen Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,F,P)[/mm] hat und
> daß wohl [mm]X\colon\Omega\to\mathbb{R}[/mm] und auch
> [mm]Y\colon\Omega\to\mathbb{R}[/mm])
Hoert sich vernuenftig an.
> und man soll dann
>
> [mm]E(f(X,Y)|X=x)[/mm] betrachten.
>
>
>
> Verstehe ich das richtig, daß
>
> [mm]f(X,Y)\colon\Omega\times\Omega\to\mathbb{R}[/mm]
>
> [mm](\omega_1,\omega_2)\mapsto (X(\omega_1),Y(\omega_2))\mapsto f(X(\omega_1),Y(\omega_2))[/mm]
Nein. Du hast $f(X, Y) : [mm] \Omega \to \IR$, $\omega \mapsto f(X(\omega), Y(\omega))$.
[/mm]
> und daß der Zufall dann nur noch in Y steckt, wenn
> [mm]X(\omega_1)=x[/mm] die Bedingunge ist?
Sozusagen.
> Daß also:
>
> [mm]E(f(X,Y)|X=x)=g_{x}(Y)[/mm], wobei
> [mm]g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] eine
> [mm]\mathcal{B}(\mathbb{R})[/mm]-messbare Funktion bezeichne?
Ja.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Do 09.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Danke!
Und wenn ich davon ausgehe, daß ich zwei Wahrscheinlichkeitsräume [mm] $(\Omega,F,P), (\Omega',F',P')$ [/mm] habe und
[mm] $X\colon\Omega\to\mathbb{R}$
[/mm]
[mm] $Y\colon\Omega'\to\mathbb{R}$?
[/mm]
Dann ist doch aber für [mm] $\omega\in\Omega, \omega'\in\Omega'$:
[/mm]
[mm] $f(X,Y)\colon\Omega\times\Omega'\to\mathbb{R}$
[/mm]
[mm] $(\omega.\omega')\mapsto (X(\omega).Y(\omega'))\mapsto f(X(\omega),Y(\omega'))$
[/mm]
und wieder
[mm] $E(f(X,Y)|X=x)=g_{x}(Y)$?
[/mm]
Grüße
Dennis
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Hiho,
> [mm]E(f(X,Y)|X=x)=g_{x}(Y)[/mm]?
Aufpassen!
Die Aussage: E(f(X,Y)|X=x) macht doch so ohne weiteres gar keinen Sinn, wenn X und Y nicht auf den gleichen W-Räumen definiert sind!
Warum?
$E[f(X,Y) | X=x]$ ist ja nur eine Kurzschreibweise für:
$E[f(X,Y) | [mm] X]|_{X=x}$ [/mm] und das wiederum nur eine Kurzschreibweise für:
$E[f(X,Y) | [mm] \sigma(X)]|_{X=x}$ [/mm] wobei [mm] $\sigma(X)$ [/mm] die von X erzeugte Sigma-Algebra ist.
Nun zurück zur Definition der bedingten Erwartung:
Sei [mm] $X:\Omega\to\IR$ [/mm] auf einem W-Raum [mm] \left(\Omega,\matcal{F},\IP\right)$, [/mm] dann heißt [mm] $E[X|\mathcal{A}]$ [/mm] bedingte Erwartung von X bezüglich [mm] $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}$!
[/mm]
Bei deiner Auslegung von oben ist dies aber gar nicht gegeben, denn wenn du für f eine bedingte Erwartung betrachten willst:
$E[f(X,Y) | [mm] \mathcal{A}]$ [/mm] muss folglich [mm] $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F} \otimes \mathcal{F}'$ [/mm] gelten, was bei dir oben ja gar nicht gilt, da [mm] $\sigma(X) \subseteq \mathcal{F}$
[/mm]
*Puh*
Viel Text, der zwar deine Frage nicht beantwortet, aber fürs Verständnis notwendig ist
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Fr 10.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Danke.
Also mal angenommen, man darf einfach substituieren, also
$E(f(X,Y)|X=x)=E(f(x,Y)|X=x)$, so müsste es doch dann lauten:
$E(f(x,Y)|X=x)=g(x)$ für eine [mm] $\mathcal{B}(\mathbb{R})$-messbare [/mm] Funktion g, oder?
Denn $f(x,Y)$ hängt doch dann bloß noch von Y ab, man kann es also quasi auch schreiben als
[mm] $E(f_x(Y)|X=x)=g(x)$.
[/mm]
Korrekt?
(In meinem ersten Beitrag hatte ich [mm] $g_x(Y)$ [/mm] geschrieben, aber das stimmt doch eigentlich nicht, oder?....)
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Hiho,
> Danke.
>
> Also mal angenommen, man darf einfach substituieren, also
> [mm]E(f(X,Y)|X=x)=E(f(x,Y)|X=x)[/mm],
darfst du aber nicht!
Wenn du meine Antwort aufmerksam gelesen hättest, wüsstest du, dass das alles nur Symbole sind und man sich klar sein muss, was dahinter steckt!
> so müsste es doch dann lauten:
>
> [mm]E(f(x,Y)|X=x)=g(x)[/mm] für eine [mm]\mathcal{B}(\mathbb{R})[/mm]-messbare Funktion g, oder?
Dass das nicht stimmt, kannst du dir doch ganz einfach klar machen:
Links steht eine Zufallsvariable, die noch von [mm] \omega [/mm] abhängt, rechts offensichtlich nicht.
> Denn [mm]f(x,Y)[/mm] hängt doch dann bloß noch von Y ab, man kann es also quasi auch schreiben als
> [mm]E(f_x(Y)|X=x)=g(x)[/mm].
Jein. Hier steht auch noch links faktisch eine von [mm] \omega [/mm] abhängige Funktion. Wo soll das [mm] \omega [/mm] rechts stehen?
> (In meinem ersten Beitrag hatte ich [mm]g_x(Y)[/mm] geschrieben,
> aber das stimmt doch eigentlich nicht, oder?....)
Doch, das stimmt eigentlich viel mehr, als der Kram oben.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Fr 10.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Tut mir leid, ich verstehe Dich leider nicht.
Es geht hier doch um die faktorisierte bedingte Erwartung, s. z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier, S. 87unten.
Wenn ich zum Beispiel
$E(Y|X)$ betrachte, so ist dies doch [mm] $E(Y|X)=g\circ [/mm] X$ für eine [mm] $\mathcal{B}(\mathbb{R})$-messbare [/mm] Funktion g.
Und dementsprechend
$E(Y|X=x)=g(x)$.
Demnach müsste doch $E(f(X,Y)|X)=g(X)$ sein und
$E(f(X,Y)|X=x)=g(x)$.
Und ebenso doch eigentlich auch
$E(f(x,Y)|X)=g(X)$ bzw. $E(f(x,Y)|X=x)=g(x)$.
Ich sehe nicht (mehr), wieso [mm] $E(f(X,Y)|X=x)=g_x(Y)$ [/mm] richtig sein sollte.
Vielleicht kannst Du dazu ja noch etwas sagen.
Danke für die Mühe.
vG
Dennis
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Hiho,
> Tut mir leid, ich verstehe Dich leider nicht.
> Es geht hier doch um die faktorisierte bedingte Erwartung,
> s. z.B. hier, S. 87unten.
Du solltest dich dringend mal genau mit der Definition der bedingten Erwartung auseinandersetzen!
> Wenn ich zum Beispiel
>
> [mm]E(Y|X)[/mm] betrachte, so ist dies doch [mm]E(Y|X)=g\circ X[/mm] für
> eine [mm]\mathcal{B}(\mathbb{R})[/mm]-messbare Funktion g.
Ja, sofern bestimmte Voraussetzungen an X und Y gelten.
> Und dementsprechend
> [mm]E(Y|X=x)=g(x)[/mm].
Jo. Wieder unter bestimmten Voraussetzungen.
> Demnach müsste doch [mm]E(f(X,Y)|X)=g(X)[/mm] sein und
NEIN!
Denn das von dir gewählte f erfüllt nicht die Voraussetungen, damit du auf X bedingen kannst.
Das hab ich dir im letzten Post schon ausführlich dargelegt.
Die Definitionsbereiche sind hier verschieden, was aber nicht sein darf!
Mach dir das erstmal klar, dann können wir weiter machen.
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:35 Fr 10.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Hallo, Gonozal, ich habe es nochmal versucht:
Ich meinte in meinem letzten Beitrag die Voraussetzung, dass X und Y auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind.
Seien also X und Y auf dem gleichen W.keitsraum definiert:
Gilt dann:
$E(f(X,Y)|X)=g(X)$ bzw. $E(f(X,Y)|X=x)=g(x)$?
Was ist dann $E(f(x,Y)|X=x)$?
Für mich steckt der Zufall immer noch in [mm] $\omega$, [/mm] wenngleich es nur noch auf die Realisation von $Y$ ankommt. Deswegen wüde ich hier wieder sagen, daß
$E(f(x,Y)|X)=g(X)$ bzw. $E(f(x,Y)|X=x)=g(x)$.
Wobei es fragwürdig bleibt, ob diese Substitution letztlich Sinn macht, da etwa für stetige Zufallsvariablen $X$ und $Y$ und $X=0$ und$f(x,Y)=X+Y$ dann [mm] $E(Y|X)_{X=0}$ [/mm] zu bestimmen wäre und es unendliche viele Versionen dafür gibt, da $P(X=0)=0$..
-------------------
Nun zu dem Fall, dass X und Y auf unterschiedlichen W.keitsräumen definiert sind:
Das [mm] $g_x(Y)$ [/mm] bezog sich auf diese Situation, richtig? Ich versuche das mal mit meinen eigenen Worten zu erklären, wieso das in diesem Fall richtig ist bzw. das Problem so zu formulieren, dass es Sinn macht:
Seien also zwei W.keitsräume [mm] $(\Omega,F,P), (\Omega',F',P')$ [/mm] gegeben sowie [mm] $X\colon\Omega\to\mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $Y\colon\Omega'\to\mathbb{R}$. [/mm] Wenn man jetzt bei der Erwartung von $f(X,Y)$ auf eine Funktion bedingen möchte, kommt X nicht in Frage, sondern man bräuchte eine Funktion [mm] $N\colon\Omega\times\Omega'\to (X(\omega),Y(\omega'))$, [/mm] die [mm] $F\times [/mm] F'$-messbar ist.
Dann hat man, dass $E(f(X,Y)|N$ [mm] $\sigma(N)$-messbar [/mm] ist und man könnte schreiben:
[mm] $E(f(X,Y)|N=\cdot)=h(X(\omega),Y(\omega'))$, [/mm] wobei h eine [mm] $\mathcal{B}(\mathbb{R})\times\mathcal{B}(\mathbb{R})$-messbare [/mm] Funktion sein muss.
Beziehungsweise man hätte dann für die Bedingung, dass $X=x$ gilt, dass $E(f(X,Y)|N=(x,Y))=h(x,Y)$ bzw. wenn man das x als Index schreibt und eine Funktion g nimmt, die dann nur bezüglich der zweiten Koordinate [mm] $\mathcal{B}(\mathbb{R})$-messbar [/mm] ist [mm] $g_x(Y)$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Fr 10.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Versteh mich bitte nicht falsch, ich möchte Dich nicht reizen oder so.
Ich bin nur etwas verwirrt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 Sa 11.08.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich hab wirklich mein Bestes gegeben. Und hoffe, dass ich noch eine Antwort bekomme.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 12.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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