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| Aufgabe | Mehr Abiturientinnen als Abiturienten
52,4 % der 244600 Jugendlichen, die am Ende des vergangenen Schuljahres ihre Schule mit der allgemeinen Hochschulreife verließen, waren Frauen. In den neuen Ländern und Berlin liegt der Frauenanteil mit 59,1 % deutlich höher als im früheren Bundesgebiet (50,8 %).
a) Betrachte die Vierfeldertafel im Einführungstext, in der Informationen über die Abiturientinnen und Abiturienten in Ost- und Westdeutschland in Form von absoluten Häufigkeiten gegeben sind. Welche Informationen in Form von relativen Häufigkeiten lassen sich aus dieser Vierfeldertafel entnehmen?
b) Die Vierfeldertafel aus a) bietet die Möglichkeit, Wahrscheinlichkeitsaussagen zu einem Zuvallsversuch zu machen:
Aus der Gesamtheit aller Abiturientinnen und Abiturienten des betrachteten Jahrgangs werde eine Person zufällig ausgewählt.
(1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt diese Person aus Ostdeutschland?
(2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die ausgewählte Person eine Frau?
(3) Falls diese Person aus Ostdeutschland kommt: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dies ein Mann?
(4) Falls diese Person eine Frau ist: Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie aus Westdeutschland? |
N'abend, zusammen,
Vorab noch mal "Danke!" für die Hilfe bei den Matrizen, konnte mich dadurch viel besser in dem Thema einfinden.
a) Die Vierfeldertafel haben wir in der Schule zusammen erarbeitet (mit relativen Häufigkeiten).
Ereignis "Person ist weiblich": $A$.
Ereignis "Person ist männlich": $B$.
Ereignis "Person ist Wessi": $C$.
Ereignis "Person ist Ossi": $D$.
[mm] \begin{tabular}{c|c|c|c}
&A&B&insg.\\
\hline
C&0{,}41&0{,}397&0{,}807\\
\hline
D&0{,}114&0{,}079&0{,}193\\
\hline
insg.&0{,}524&0{,}476&1
\end{tabular}
[/mm]
Aus dem Text konnte man ja die Gesamtzahl der Schüler und Schülerinnen entnehmen: Insgesamt 0,524 (= 52,4 %) Schülerinnen und 0,476 (= 47,6 %) Schüler. So weit klar. Jetzt hatten wir zu Anfang angenommen, dass in der letzten Spalte der 1. und der 2. Eintrag unbekannt seien, also der 1. Eintrag $x$ und der 2. $1-x$ (warum $1-x$ ist mir auch klar). Aber die folgende Rechnung konnte ich zwar halbwegs nachvollziehen, aber richtig verstanden habe ich sie nicht. So sind wir fortgefahren:
[mm] $0{,}508x+0{,}591\left(1-x\right)=0{,}524\quad\gdw\quad x=\bruch{67}{83}\approx [/mm] 0{,}807$
Das sind ja augenscheinlich die beiden Prozentangaben aus dem Text. Das war dann der Eintrag für letzte Spalte erste Zeile bzw. auch der für die 2. Zeile. Warum diese Rechnung genau und warum kommt der Eintrag dahin? Wie ergeben sich die anderen Einträge?
[mm] $\hline$
[/mm]
b) (1): Kann man ja aus der Tafel ablesen, einfach.
(2): Siehe 1.
(3): Hier kommt ja jetzt die bedingte Wahrscheinlichkeit ins Spiel. Jetzt wurde gesagt, dass das so gemacht wird:
[mm] $$P\left(D\cap B\right)=0{,}079=0{,}193x$$
[/mm]
[mm] $$x=P_{D}\left(B\right)=\bruch{0{,}079}{0{,}193}\approx [/mm] 0{,}41$$
Da wollte ihr erst noch Fragen, ob denn die Notation denn so ganz einwandfrei ist. Wie würdet ihr das schreiben? Und warum wurde das jetzt so gemacht?
(4): Bekomm' ich ja alleine hin, wenn ich (3) komplett verstanden hab'.
[mm] $\hline$
[/mm]
Vielen Dank!!
Stefan.
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Hat jemand ein paar klitzekleine Hilfen parat?
Danke!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:14 Fr 24.08.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo Stefan,
zu dieser Aufgabe habe ich schon mal hier eine Antwort geschrieben, schau sie dir mal an, ob sie dir auch weiterhilft.
Zur b) (3): Ich kenne für die bedingte Wahrscheinlichkeit [mm] P_D(B) [/mm] die Formel [mm] P_D(B)=\frac{P\left(D\cap B\right)}{P(D)}, [/mm] diese Werte kannst du einfach aus der Vierfeldertafel ablesen (also hier [mm] P\left(D\cap B\right)=0,079, [/mm] P(D)=0,193).
Warum man das so macht: Du willst ja nur wissen, wie viel Prozent Anteil die Männer an den Ostdeutschen haben. Ich nehme jetzt mal an, wir betrachten insgesamt n Abiturienten (die Anzahl ist hier zwar gegebene, aber sie fällt bei der Überlegung wieder raus, aber ich denke, man kann es sich so besser vorstellen).
Also ist die Anzahl der ostdeutschen männlichen Abiturienten [mm] n*P\left(D\cap B\right), [/mm] die Anzahl der ostdeutschen AbiturientInnen [mm] n*P(D)[/mm].
Wie würdest du jetzt [mm] P_D(B) [/mm] berechnen? Mit [mm] P_D(B)=\frac{Anzahl\; ostdeutsche\; maennliche\; Abiturienten}{Anzahl\; ostdeutsche\; AbiturientInnen}=\frac{n*P\left(D\cap B\right)}{n*P(D)}=\frac{P\left(D\cap B\right)}{P(D)}.
[/mm]
Bei der a) verwendet ihr auch bedingte Wahrscheinlichkeiten: Die gegebenen Prozentangaben sind
[mm] P_C(A)=0,508 [/mm] und [mm] P_D(A)=0,591. [/mm] Ihr setzt dann P(C)=x und P(D)=(1-x).
Dann ist [mm] P(C\capA)=P_C(A)*P(C)=P_C(A)*x [/mm] und [mm] P(D\capA)=P_C(A)*P(D)=P_C(A)*(1-x)
[/mm]
Das [mm] P\left(C\cap A\right)+P\left(D\cap A\right)=P(A) [/mm] ist, ist dir dann klar?
Gruß,
Vreni
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Wunderbar, danke dir vielmals, jetzt kann ich damit auch was anfangen!!
Grüße, Stefan.
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