beidseitiger Grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Di 18.06.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | f(x)= [mm] \bruch{x^2-4}{\wurzel{x^2+5}-3}, [/mm] für |x| <2
f(x)= 6, für [mm] x\le-2
[/mm]
f(x)= 5x-7, für x [mm] \ge [/mm] 2
Von dieser Funktion sollen folgende Grenzwerte bestimmt werden:
[mm] \limes_{x\rightarrow -2^+}f(x), \limes_{x\rightarrow -2^-}f(x), \limes_{x\rightarrow 2^+}f(x), \limes_{x\rightarrow 2^-}f(x) [/mm] |
Ich weiß leider nicht genau wie man rechts und linksseitige Grenzwerte bestimmt.
[mm] \limes_{x\rightarrow -2^+}f(x)=6
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 2^+}f(x)=3
[/mm]
bei den anderen weiß ich es nicht so recht. Für |x| wurde als Tipp die binomische Formel gegeben, damit kann ich aber nicht allzuviel anfangen.
Wäre schön, wenn ihr mir da helfen könnt.
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Di 18.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Heinze,
> f(x)= [mm]\bruch{x^2-4}{\wurzel{x^2+5}-3},[/mm] für |x| <2
> f(x)= 6, für [mm]x\le-2[/mm]
> f(x)= 5x-7, für x [mm]\ge[/mm] 2
>
> Von dieser Funktion sollen folgende Grenzwerte bestimmt
> werden:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -2^+}f(x), \limes_{x\rightarrow -2^-}f(x), \limes_{x\rightarrow 2^+}f(x), \limes_{x\rightarrow 2^-}f(x)[/mm]
>
> Ich weiß leider nicht genau wie man rechts und
> linksseitige Grenzwerte bestimmt.
lies' mal ![[]](/images/popup.gif) Definition 10.4.
Man kann auch sagen: Ist $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] eine Funktion und ist [mm] $x_0$ [/mm] ein
Häufungspunkt von [mm] $D_{x_0}^+:=D_{> x_0}:=\{x \in D:\;\; x > x_0\}\,,$ [/mm] so hat [mm] $f\,$ [/mm] genau dann einen
rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle [mm] $x_0\,,$ [/mm] wenn gilt:
Es existiert ein $g [mm] \in \IR$ [/mm] so, dass gilt:
Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta=\delta_{x_0,\epsilon} [/mm] > 0$ so, dass
für alle $x [mm] \in D_{x_0}^+$ [/mm] mit [mm] $\underbrace{|x-x_0|}_{=x-x_0 > 0} [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] folgt $|f(x)-g| < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
Man schreibt dann [mm] $\lim_{x \to x_0^+}f(x):=g$ [/mm] oder auch [mm] $\lim_{x_0 < x \to x_0}f(x):=g\,.$
[/mm]
Alternativ:
[mm] $f\,$ [/mm] hat genau dann einen rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle [mm] $x_0\,,$ [/mm]
wenn gilt: Es existiert ein $g [mm] \in \IR$ [/mm] so, dass gilt:
Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta=\delta_{x_0,\epsilon} [/mm] > 0$ so, dass
für alle $x [mm] \in [/mm] D, x [mm] \not=x_0$ [/mm] mit [mm] $\underbrace{x-x_0}_{> 0} [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] folgt $|f(x)-g| < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
Analog definiert man den linksseitigen Grenzwert.
Beachte: Es braucht weder [mm] $f(x_0)$ [/mm] zu existieren (d.h. es muss nicht [mm] $x_0 \in [/mm] D$
gelten), noch, falls [mm] $f(x_0)$ [/mm] existiert, muss [mm] $\lim_{x \to x_0^+}f(x)=f(x_0)$ [/mm] gelten.
Genau dann, wenn [mm] $f(x_0)$ [/mm] existiert und die Gleichheit [mm] $\lim_{x \to x_0^+}f(x)=f(x_0)$ [/mm] gilt,
sagt man, dass [mm] $f\,$ [/mm] RECHTSSEITIG STETIG in [mm] $x_0$ [/mm] sei!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mi 19.06.2013 | | Autor: | heinze |
Danke für den Hinweis auf die Definition aber verstehe es trotzdem nicht. Muss ich hier Funktionen bilden, die -2/2 als Grenzwert besitzen?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Do 20.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für den Hinweis auf die Definition aber verstehe es
> trotzdem nicht. Muss ich hier Funktionen bilden, die -2/2
> als Grenzwert besitzen?
so wird das nichts. Du verstehst ja anscheinend noch nicht mal die
Definition. Wie willst Du mit etwas arbeiten, wo Du Dich nicht drum
bemühst, den Begriff zu verstehen? Deine Frage oben hat noch nicht
mal in gröbster Näherung etwas mit der Aufgabe zu tun.
Was ist daran so schwer?
Wenn Du [mm] $\lim_{x \to 2^+}f(x)$ [/mm] berechnen sollst, so besagt dass, dass Du gucken
sollst, ob der Grenzwert [mm] $\lim_{2 < x \to 2} [/mm] f(x)$ existiert und falls er existiert, sollst Du
auch den Wert angeben.
Das kannst Du so machen, indem Du sagst: Seien alle [mm] $x_n [/mm] > 2$ und es gelte [mm] $\lim_{n \to \infty}x_n=2\,.$
[/mm]
(Du könntest auch einfach o.E. annehmen, dass [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm] eine Folge sei, die
streng monoton gegen 2 fällt!) Und dann musst Du gucken, ob Du alleine
mit diesen Eigenschaften etwas über [mm] $\lim_{n \to \infty}f(x_n)$ [/mm] schließen kannst.
Nur, um einen Kandidaten für [mm] $\lim_{x \to 2^+}f(x)$ [/mm] zu bekommen, falls dieser existiert,
oder auch eventuell, um herauszufinden, dass [mm] $\lim_{x \to 2^+}f(x)$ [/mm] nicht existiert,
kannst Du die [mm] $x_n$ [/mm] auch mal konkret wählen:
Bspw. [mm] $x_n=2+1/n\,.$
[/mm]
ABER: Falls [mm] $\lim_{x \to 2^+}f(x)$ [/mm] existiert, so reicht es NICHT, nur eine solche
spezielle Folge zu betrachten! Schau' halt in die Definition bzw. in entsprechende
Charakterisierungen davon und arbeite damit!
Beispiel:
Sei
[mm] $$f(x):=\begin{cases} x-1, & \mbox{für } x<0 \\ 7, & \text{für }x=0\\x^2, & \mbox{für }x > 0 \end{cases}\,.$$
[/mm]
Dann gilt [mm] $\lim_{x \to 0^-}f(x)=-1$ [/mm] und [mm] $\lim_{x \to 0^+}f(x)=0\,.$
[/mm]
Denn: Aus $0 > [mm] x_n \to [/mm] 0$ folgt [mm] $f(x_n)=x_n-1 \to 0-1=-1\,,$ [/mm] also gilt [mm] $\lim_{x \to 0^-}f(x)=-1\,.$
[/mm]
Aus $0 < [mm] y_n \to [/mm] 0$ folgt [mm] $f(y_n)=y_n^2 \to 0^2=0\,,$ [/mm] also gilt [mm] $\lim_{x \to 0^+}f(x)=0\,.$
[/mm]
P.S. Skizziere Dir auch mal den Graphen von letztstehender Funktion [mm] $f\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:11 Mi 19.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> f(x)= [mm]\bruch{x^2-4}{\wurzel{x^2+5}-3},[/mm] für |x| <2
> f(x)= 6, für [mm]x\le-2[/mm]
> f(x)= 5x-7, für x [mm]\ge[/mm] 2
>
> Von dieser Funktion sollen folgende Grenzwerte bestimmt
> werden:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -2^+}f(x), \limes_{x\rightarrow -2^-}f(x), \limes_{x\rightarrow 2^+}f(x), \limes_{x\rightarrow 2^-}f(x)[/mm]
>
> Ich weiß leider nicht genau wie man rechts und
> linksseitige Grenzwerte bestimmt.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -2^+}f(x)=6[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2^+}f(x)=3[/mm]
>
> bei den anderen weiß ich es nicht so recht. Für |x| wurde
> als Tipp die binomische Formel gegeben, damit kann ich aber
> nicht allzuviel anfangen.
> Wäre schön, wenn ihr mir da helfen könnt.
Es ist
f(x)= $ [mm] \bruch{x^2-4}{\wurzel{x^2+5}-3}, [/mm] $ für |x| <2
Erweitert man den rechten Bruch mit [mm] \wurzel{x^2+5}+3, [/mm] so bekommt man
[mm] f(x)=\wurzel{x^2+5}+3.
[/mm]
Kannst Du nun die fehlenden Grenzwerte berechnen ?
FRED
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Do 20.06.2013 | | Autor: | heinze |
Danke, nun ist mir das mit binomischer Formel klar.
Dann erhalte ich für
[mm] \limes_{x\rightarrow-2^-}f(x)=6
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-2^+}f(x)=??
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 2^-}f(x)=6
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 2^+}f(x)=3
[/mm]
Stimmen die Grenzwerte soweit? für -2^+ finde ich den Grenzwert irgendwie nicht.
LG
heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Do 20.06.2013 | | Autor: | heinze |
dann wäre der rechtsseitige Grenzwert ja auch 6? Aber das kann nicht sein oder?
LG
heinze
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Hallo,
> dann wäre der rechtsseitige Grenzwert ja auch 6? Aber das
> kann nicht sein oder?
Weshalb nicht? Es ist richtig, und du kannst dir bspw. auch folgenden Sachverhalt vor Augen führen. Der Bruchterm mit der Wurzel ist für sich genommen gerade im Sinne von achsensymmetrisch zur y-Achse. Somit muss im 'Zuständigkeitsbereich' dieses Terms grundsätzlich
[mm] \lim_{x\rightarrow-c^+}=\lim_{x\rightarrow c^-} [/mm]
gelten. Eben auch für 2 und -2 (da sie am Rand des Definitionsbereichs liegen).
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:19 Do 20.06.2013 | | Autor: | heinze |
Danke! Das dachte ich ja eigentlich auch! Ich hab die Funktion falsch zeichnen lassen, daher hat mich mein Ergebnis und das der Skizze verwirrt!!
Habs nochmal richtig zeichnen lassen und erkennen nun die Symmetrie!
Danke fürs Erklären! 
LG
heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Do 20.06.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo heinze,
> Danke! Das dachte ich ja eigentlich auch! Ich hab die
> Funktion falsch zeichnen lassen, daher hat mich mein
> Ergebnis und das der Skizze verwirrt!!
>
> Habs nochmal richtig zeichnen lassen und erkennen nun die
> Symmetrie!
>
> Danke fürs Erklären!
Gern geschehen. Die Symmetrie kann man hier (und das sollte man auch grundsätzlich so machen) völlig ohne irgendeine Skizze erkennen. An der Tatsache nämlich, dass x ausschließlich quadratisch vorkommt.
Gruß, Diophant
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
