beliebige Variablen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich möchte hier nochmal ein Beispiel posten, das ich gerade gerechnet habe, wo ich aber sehr unsicher bin.
Für welche a aus R sind die Vektoren
1 1 -1
1 -1 a
a, 1, 1
linear unabhängig?
Ich habe erstmal Sarrus genommen und die Determinante berechnet. Ich habe heraus: [mm] a^2 [/mm] - 3. Das habe ich =0 gesetzt, da doch die Zeilen und Spalten dann für diese Werte linear unabhängig sind, richtig?
Dann habe ich, dass für alle R ohne +/- [mm] \wurzel{3} [/mm] die Vektoren linear abhängig sind.
Ich soll nun für a=3 den Nullvektor als nichttriviale Linearkombination der 3 Vektoren schreiben.
Abbildungsmatrix:
1 1 -1
1 -1 3
3 1 1
Dann bekomme ich eine Nullzeile in Zeile 3:
1 1 -1
0 1 -2
0 0 0
Ich setze nun [mm] x_3=t
[/mm]
1 1 -1 => [mm] x_1=t
[/mm]
0 1 -2 => [mm] x_2=2t
[/mm]
0 0 0 => [mm] x_3=t
[/mm]
Ist meine Lösung nun etwa
t
2t
t
?
Danke sehr!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Do 22.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
>
> ich möchte hier nochmal ein Beispiel posten, das ich gerade
> gerechnet habe, wo ich aber sehr unsicher bin.
>
> Für welche a aus R sind die Vektoren
>
> 1 1 -1
> 1 -1 a
> a, 1, 1
>
> linear unabhängig?
>
> Ich habe erstmal Sarrus genommen und die Determinante
> berechnet. Ich habe heraus: [mm]a^2[/mm] - 3. Das habe ich =0
> gesetzt, da doch die Zeilen und Spalten dann für diese
> Werte linear unabhängig sind, richtig?
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Dann habe ich, dass für alle R ohne +/- [mm]\wurzel{3}[/mm] die
> Vektoren linear abhängig sind.
>
> Ich soll nun für a=3 den Nullvektor als nichttriviale
> Linearkombination der 3 Vektoren schreiben.
>
> Abbildungsmatrix:
>
> 1 1 -1
> 1 -1 3
> 3 1 1
>
> Dann bekomme ich eine Nullzeile in Zeile 3:
>
> 1 1 -1
> 0 1 -2
> 0 0 0
>
> Ich setze nun [mm]x_3=t[/mm]
>
> 1 1 -1 => [mm]x_1=t[/mm]
> 0 1 -2 => [mm]x_2=2t[/mm]
> 0 0 0 => [mm]x_3=t[/mm]
> Ist meine Lösung nun etwa
>
> t
> 2t
> t
>
So ist es.
> ?
>
> Danke sehr!
Marius
|
|
|
| |
|
Da bin ich beruhigt!
Aber hier muss ich nicht beliebig setzen oder?
1 0 1 0 | -3
0 1 -2 1 | 2,5
0 0 0 0 | 1
Ich soll Nullraum und Lösungsmenge bestimmen.
Ich habe gesagt der Nullraum sind die Vektoren/Basen:
1
-2
0
-1
sowie
0
1
0
-1
aber L(A,b)=leere Menge.
Stimmt das so?
|
|
|
| |
|
> Da bin ich beruhigt!
>
> Aber hier muss ich nicht beliebig setzen oder?
Hallo,
auch hier mußt Du "beliebig setzen", und Du tust das auch, ohne es zu merken, nämlich beim Bestimmen der Basis des Nullraumes.
Statt "beliebig setzen" verwendest Du hier ja den Trick mit der -1, und in diesem Trick ist das "beliebig setzen" bereits eingebaut - nicht grübeln, einfach so weitermachen wie bisher,
>
> 1 0 1 0 | -3
> 0 1 -2 1 | 2,5
> 0 0 0 0 | 1
>
> Ich soll Nullraum und Lösungsmenge bestimmen.
>
> Ich habe gesagt der Nullraum sind die Vektoren/Basen:
>
> 1
> -2
> 0
> -1
>
> sowie
>
> 0
> 1
> 0
> -1
>
> aber L(A,b)=leere Menge.
>
> Stimmt das so?
Ganz recht. Wegen der 1 auf der rechten Seite, die einer Nullzeile gegenübersteht, hat das Gleichungssystem keine Lösung. Prima.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Do 22.01.2009 | | Autor: | Dath |
Vielleicht könntest du auch versuchen die Dimension der Matrix in Anhängigkeit von a zu ermitteln. Die ist nämlich, egal ob man Zeilen- oder spaltenvektoren betrachtet, beide Male gleich groß.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Do 22.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Ich verstehe nicht, was du meinst. Wieso Dimension?
|
|
|
| |
|
Hi, Englein,
> Für welche a aus R sind die Vektoren
>
> 1 1 -1
> 1 -1 a
> a, 1, 1
>
> linear unabhängig?
>
> Ich habe erstmal Sarrus genommen und die Determinante
> berechnet. Ich habe heraus: [mm]a^2[/mm] - 3.
Hier hast Du Dich vertan!
Die Determinante ergibt nämlich: [mm] a^{2} \red{-2a} [/mm] - 3.
Und wenn Du das =0 setzt, erhältst Du [mm] a_{1} [/mm] = 3; [mm] a_{2} [/mm] = -1.
Dass a=3 rauskommen muss, ist ja auch logisch,
da Deine weitere Rechnung sonst für diesen Fall
eine EINDEUTIGE Lösung ergeben müsste,
beim Gauß-Verfahren also keine Nullzeile rauskäme!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
> Ich soll nun für a=3 den Nullvektor als nichttriviale
> Linearkombination der 3 Vektoren schreiben.
>
> Abbildungsmatrix:
>
> 1 1 -1
> 1 -1 3
> 3 1 1
>
> Dann bekomme ich eine Nullzeile in Zeile 3:
>
> 1 1 -1
> 0 1 -2
> 0 0 0
>
> Ich setze nun [mm]x_3=t[/mm]
Hallo,
ich möchte Dich daraufhinweisen, daß Du auch hier weitermachen kannst bis zur reduzierten ZSF.
Dann kannst Du die Lösung nämlich auch mit dem "-1 - Trick" ablesen. Guck:
--> [mm] \pmat{1&0&1\\0&1&-2\\0&0&0}
[/mm]
Hier liest Du nun ab: [mm] \vektor{1\\-2\\-1} [/mm] ist eine Basis des Lösungsraumes.
So, hier bist Du aber noch nicht am Ende.
Die Fragestellung war ja:
> Ich soll nun für a=3 den Nullvektor als nichttriviale
> Linearkombination der 3 Vektoren schreiben,
und das ist bisher noch nicht getan.
Mit der Lösung [mm] \vektor{\red{1}\\\green{-2}\\\blue{-1}} [/mm] weißt Du nun, daß
[mm] \red{1}\vektor{1\\1\\3}+\green{-2}\vektor{1\\-1\\1}+\blue{-1}\vektor{-1\\3\\1}=\vektor{0\\0\\0},
[/mm]
also
[mm] \vektor{1\\1\\3}-2\vektor{1\\-1\\1}=\vektor{-1\\3\\1}.
[/mm]
Hiermit ist die Aufgabe nun gelöst.
>
> 1 1 -1 => [mm]x_1=\red{-}t[/mm]
> 0 1 -2 => [mm]x_2=2t[/mm]
> 0 0 0 => [mm]x_3=t[/mm]
> Ist meine Lösung nun etwa
>
> [mm] \red{-}t
[/mm]
> 2t
> t
Ich habe hier den Vorzeichenfehler korrigiert.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Aber der Nullvektor ist doch nicht meine Lösung für den Kern, also die Basis des Nullraums, oder?
|
|
|
| |
|
> Aber der Nullvektor ist doch nicht meine Lösung für den
> Kern, also die Basis des Nullraums, oder?
Hallo,
die Basis des Kerns ist das, was Du seit einiger Zeit so schön ausrechnen kannst. Du kannst das, und Du brauchst Dir deswegen keinen Kummer mehr zu machen.
Der Nullvektor ist in keiner Basis enthalten.
Ist Dir eigentlich klar, was "Basis des Nullraumes" bedeutet? Was Du da ausrechnest? Vielleicht nicht.
Nehmen wir mal die Matrix [mm] \pmat{1&0&3&4\\0&1&2&3}.
[/mm]
Eine Basis des Nullraumes ist [mm] (\vektor{3\\2\\-1\\0}, \vektor{4\\3\\0\\-1}).
[/mm]
Das bedeutet: jedes Element des Nullraumes kann man schreiben als [mm] \vektor{x\\y\\z\\t}=r*\vektor{3\\2\\-1\\0}+s\vektor{4\\3\\0\\-1}.
[/mm]
Nun machen wir eine Stichprobe, ob das stimmt.
Ich wähle r=4, s=5.
Es ist [mm] 4*\vektor{3\\2\\-1\\0}+4\vektor{4\\3\\0\\-1}=\vektor{28\\20\\-4\\-4}, [/mm] und dieser Vektor müßte als Element des Nullraumes auf den Nullvektor abgebildet werden:
Kannst ja mal nachrechnen, ob's stimmt: [mm] \pmat{1&0&3&4\\0&1&2&3}*\vektor{28\\20\\-4\\-4}.
[/mm]
Natürlich ist auch der Nullvektor [mm] \vektor{0\\0\\0\\0} [/mm] im Kern enthalten, denn [mm] \pmat{1&0&3&4\\0&1&2&3}*\vektor{0\\0\\0\\0}= [/mm] ???
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Das verwirrt mich jetzt aber ein wenig.
Schreiben Sie für a=3 den Nullvektor als nichttriviale Linearkombination.
Wenn ich aber zB eine Aufgabe hatte, bei der 3 Vektoren gegeben waren und ich auf lineare (Un)abhängigkeit überprüfen sollte.. dann habe ich doch auch gesagt: Überprüfe, ob es eine andere Darstellung des Nullvektors gibt, als die triviale.
Dann habe ich doch auch einfach alle [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_n [/mm] berechnet, beziehungsweise habe nicht x sondern [mm] \lambda_1 [/mm] bis [mm] \lambda_n [/mm] genommen und habe Werte für diese [mm] \lambda [/mm] errechnet, sodass ich, wenn es nicht nur Nullen waren sagen konnte: Für diese [mm] \lambda [/mm] gibt es eine nichttriviale Linearkombination.
Ich dachte, dass ich das dann im Grunde bei dieser Aufgabe genauso machen muss, nur dass ich am Ende, eben keine perfekte Einheitsmatrix bekomme (nur mit Einsen in der Diagonale, und sonst nur Nullen), sondern dass ich eine Nullzeile bekomme, sodass ich eine Variable beliebig setzen muss.
Wenn ich jetzt aber den Nullraum/Kern (wie man das auch immer nennen mag), also die Basis (den mit -1 erweiterten Vektor) nehme, dann mache ich aber doch etwas ganz anders, oder?
Vielleicht bin ich so verwirrt, weil wir das so nie gemacht haben. Meinst du damit, dass es mir den umständlichen Weg erspart beliebige Variablen zu finden?
|
|
|
| |
|
> Das verwirrt mich jetzt aber ein wenig.
>
> Schreiben Sie für a=3 den Nullvektor als nichttriviale
> Linearkombination.
>
> Wenn ich aber zB eine Aufgabe hatte, bei der 3 Vektoren
> gegeben waren und ich auf lineare (Un)abhängigkeit
> überprüfen sollte.. dann habe ich doch auch gesagt:
> Überprüfe, ob es eine andere Darstellung des Nullvektors
> gibt, als die triviale.
Hallo,
ja, genau.
>
> Dann habe ich doch auch einfach alle [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_n[/mm] berechnet,
> beziehungsweise habe nicht x sondern [mm]\lambda_1[/mm] bis
> [mm]\lambda_n[/mm] genommen und habe Werte für diese [mm]\lambda[/mm]
> errechnet, sodass ich, wenn es nicht nur Nullen waren sagen
> konnte: Für diese [mm]\lambda[/mm] gibt es eine nichttriviale
> Linearkombination.
Ja.
> Ich dachte, dass ich das dann im Grunde bei dieser Aufgabe
> genauso machen muss, nur dass ich am Ende, eben keine
> perfekte Einheitsmatrix bekomme (nur mit Einsen in der
> Diagonale, und sonst nur Nullen), sondern dass ich eine
> Nullzeile bekomme, sodass ich eine Variable beliebig setzen
> muss.
>
> Wenn ich jetzt aber den Nullraum/Kern (wie man das auch
> immer nennen mag), also die Basis (den mit -1 erweiterten
> Vektor) nehme, dann mache ich aber doch etwas ganz anders,
> oder?
Nein. In diese -1- Erweiterung sind die anderen Rechnereien bereits eingebaut, man merkt's bloß nicht.
>
> Vielleicht bin ich so verwirrt, weil wir das so nie gemacht
> haben. Meinst du damit, dass es mir den umständlichen Weg
> erspart beliebige Variablen zu finden?
Genau das wollte ich Dir zeigen.
Du kannst Deine "Nullraumstrategie" verwenden und machst mit dem Ergebnis dann so weiter, wie ich es Dir mit den bunten Zahlen gezeigt habe.
Gruß v. Angela
>
>
|
|
|
| |
|
Aber dann stelle ich mir die Frage:
Bei deiner Lösung habe ich dann einen ganz bestimmten Basisvektor mit dem ich die 3 Vektoren multipliziere.
Bei meiner Lösung mit dem belibig setzen habe ich aber eine quasi allgemeine Lösung, ich kann beliebige Werte für t einsetzen und ich habe immernoch eine Lösung.
Habe ich dann mit deinem Verfahren nicht nur eine "Teillösung"?
|
|
|
| |
|
> Bei deiner Lösung habe ich dann einen ganz bestimmten
> Basisvektor mit dem ich die 3 Vektoren multipliziere.
>
> Bei meiner Lösung mit dem belibig setzen habe ich aber eine
> quasi allgemeine Lösung, ich kann beliebige Werte für t
> einsetzen und ich habe immernoch eine Lösung.
Hallo,
Du solltest jetzt wirklich mal rechnen.
Jetzt schreib doch den Vektor, um den es sich drehte, mal mit "Deiner" Lösung, gib also die Linearkombination an, so weit war es ja sowieso nie gekommen.
> Habe ich dann mit deinem Verfahren nicht nur eine
> "Teillösung"?
Die Aufgabe ist es, den Vektor als Linearkombination der anderen zu schreiben, und das gelingt ganz famos, also ist die Aufgabe in vollem Umfange gelöst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Das ist ja gerade das, was ich wissen wollte :)
Ich weiß, dass ich mit meiner Lösung
-t
2t
t
wenn ich t=1 setze genauso den Vektor kriege, den du als Basis auch bekommen hast.
Wenn ich nun die Vektoren für t=1 mit den Werten multipliziere und jeweils addiere, komme ich auf den Nullvektor, damit wäre die Aufgabe gelöst, richtig?
Meine Frage war eben, ob es egal ist, ob ich die Basis nehme oder sage, dass es beliebig viele Lösungen gibt. Offenbar aber schon.
ABER: Wieso hast du bei dem Beispiel, wo du eine Basis hattest die Vektoren mit der Basis multipliziert (das Beispiel mit den 3 Farben)
und bei dem anderen Beispiel von dir mit 2 Basen hast du die Basen mit einem beliebigen Wert multipliziert.
Heißt das, das ich in dem Fall jeden der 3 Vektoren mit BEIDEN Basen und den jeweilig beliebig gewählten Werten mutlipliziere und addiere? Oder gehe ich hin und multipliziere die Basisvektoren ERST mit beliebigen Variablen und multipliziere dann alle Vektoren meiner Matrix mit diesem Vektor?
|
|
|
| |
|
> Das ist ja gerade das, was ich wissen wollte :)
>
> Ich weiß, dass ich mit meiner Lösung
>
> -t
> 2t
> t
>
> wenn ich t=1 setze genauso den Vektor kriege, den du als
> Basis auch bekommen hast.
>
> Wenn ich nun die Vektoren für t=1 mit den Werten
> multipliziere und jeweils addiere, komme ich auf den
> Nullvektor, damit wäre die Aufgabe gelöst, richtig?
>
> Meine Frage war eben, ob es egal ist, ob ich die Basis
> nehme oder sage, dass es beliebig viele Lösungen gibt.
> Offenbar aber schon.
>
> ABER: Wieso hast du bei dem Beispiel, wo du eine Basis
> hattest die Vektoren mit der Basis multipliziert (das
> Beispiel mit den 3 Farben)
> und bei dem anderen Beispiel von dir mit 2 Basen hast du
> die Basen mit einem beliebigen Wert multipliziert.
>
> Heißt das, das ich in dem Fall jeden der 3 Vektoren mit
> BEIDEN Basen und den jeweilig beliebig gewählten Werten
> mutlipliziere und addiere? Oder gehe ich hin und
> multipliziere die Basisvektoren ERST mit beliebigen
> Variablen und multipliziere dann alle Vektoren meiner
> Matrix mit diesem Vektor?
Hallo,
Es gibt hier zwei Aufgabenstellungen, welche wir mit dem völlig gleichen Vorgehen bearbeiten.
1. Bestimme den Nullraum der Matrix [mm] \pmat{1&1&-1\\1&-1&3\\3&1&1}:
[/mm]
[mm] -->\pmat{1&0&1\\0&1&-2\\0&0&0},
[/mm]
also ist [mm] \vektor{1\\-2\\-1} [/mm] eine Basis des Nullraumes, dh. alle [mm] \vektor{x\\y\\z}:=t*\vektor{1\\-2\\-1} [/mm] werden auf die Null abgebildet.
2. Zeige, wie man den dritten Spaltenvektor von [mm] \pmat{1&1&-1\\1&-1&3\\3&1&1} [/mm] als Linearkombination der anderen beiden schreibt.
--> $ [mm] \pmat{1&0&1\\0&1&-2\\0&0&0} [/mm] $,
[mm] \vektor{1\\-2\\-1} [/mm] eine Basis des Nullraumes, also eine Lösung des homogenen Systems, somit ist
[mm] 1*\vektor{1\\1\\3} [/mm] + [mm] (-2)\vektor{1\\-1\\1} +(-1)\vektor{-1\\3\\1}= [/mm] Nullvektor, also [mm] 1*\vektor{1\\1\\3} [/mm] + [mm] (-2)\vektor{1\\-1\\1} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\3\\1}.
[/mm]
Wenn ich jetzt eine andere Lösung des Systems nehme, etwa [mm] -5*\vektor{1\\-2\\-1} =\vektor{-5\\10\\5}, [/mm] dann erhalte ich
[mm] -5*\vektor{1\\1\\3} [/mm] + [mm] 10\vektor{1\\-1\\1} +5\vektor{-1\\3\\1}= [/mm] Nullvektor, also [mm] -5*\vektor{1\\1\\3} [/mm] + [mm] 10\vektor{1\\-1\\1} =-5\vektor{-1\\3\\1}, [/mm] und nach Division durch -5:
[mm] 1*\vektor{1\\1\\3} [/mm] + [mm] (-2)\vektor{1\\-1\\1} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\3\\1}.
[/mm]
Du brauchst Dir bei dieser Aufgabenstellung keine Sorgen zu machen, daß Du Lösungen verlierst, weil bei diesen Aufgaben i.d.R. eine Linearkombination anzugeben ist.
Entweder ist die sowieso wie im vorliegenden Fall eindeutig, und selbst wenn es mehrere Möglichkeitn gibt, reicht die Angabe von einer.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Vielen Dank Angela :)
Noch eine letzte Frage:
Wenn ich nun ein ganz normales Gleichungssystem lösen soll (inhomogen) und eine Nullzeile habe, kann ich dann auch sagen, dass mein L(A,b)=leere Menge ist, aber L(A,0)=die Basis des Nullraums?
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank Angela :)
>
> Noch eine letzte Frage:
>
> Wenn ich nun ein ganz normales Gleichungssystem lösen soll
> (inhomogen) und eine Nullzeile habe, kann ich dann auch
> sagen, dass mein L(A,b)=leere Menge ist,
Hallo,
eine Nullzeile schadet nicht in jedem Fall. Nur wenn auf der anderen Seite der Nullzeile eine von Null verschiedene Zahl steht, ist das inhomogenen system unlösbar.
> aber L(A,0)=die
> Basis des Nullraums?
Ja.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
