bernoulli - aufgabe < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Do 09.06.2005 | | Autor: | tini198 |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www. matheboard.de
Ein Glücksrad hat 8 gleich große Sektoren, von denen einer rot, drei weiß und vier blau sind.nach dem Drehen des Rades, zeigt ein Pfeil immer auf genau ein Feld.
1. Das Rad wir 7-mal gedreht, berechne die Wahrscheinlichkeit für:
A: blau erscheint max. 5 mal
B:die ersten drei Felder sind blau, dann folgt 2 mal rot und zweimal weiß
C: es erscheint abwechselnd weiß und nicht weiß
D die ersten drei Drehungen sind nicht rot, danach kommt rot insgesamt zweimal vor
E: man erhält genau 3 Felder die blau sind, 3 weiße und 1 rotes
F: unter den ersten drei kommt jede Farbe einmal vor.
Frage: Kann ich das alles mit der Bernoulli- Formel ausrechnen? Dann ist mein n: 7, k:0-5 p:4/8 ???
2.Wie oft muss man ein Rad mind. drehen, um mit mind. 97% Wahrscheinlichkeit mind. einmal rot zu bekommen?
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Hi, Tini,
> Ein Glücksrad hat 8 gleich große Sektoren, von denen einer
> rot, drei weiß und vier blau sind.nach dem Drehen des
> Rades, zeigt ein Pfeil immer auf genau ein Feld.
>
> 1. Das Rad wir 7-mal gedreht, berechne die
> Wahrscheinlichkeit für:
> A: blau erscheint max. 5 mal
> B:die ersten drei Felder sind blau, dann folgt 2 mal rot
> und zweimal weiß
> C: es erscheint abwechselnd weiß und nicht weiß
> D die ersten drei Drehungen sind nicht rot, danach kommt
> rot insgesamt zweimal vor
> E: man erhält genau 3 Felder die blau sind, 3 weiße und 1
> rotes
> F: unter den ersten drei kommt jede Farbe einmal vor.
>
> Frage: Kann ich das alles mit der Bernoulli- Formel
> ausrechnen? Dann ist mein n: 7, k:0-5 p:4/8 ???
Sicher nicht bei allen Teilaufgaben! Da musst Du schon etwas nachdenken!
Für A funktioniert Dein Ansatz: P(A) = P(X [mm] \le [/mm] 5) = 0,9375.
Für B musst Du sozusagen "direkt" rangehen:
P(B) = [mm] (0,5)^{3}*(0,125)^{2}*(0,375)^{2} [/mm] = 0,0002746
Bei C erscheint mir die Aufgabe nicht ganz eindeutig:
Heißt das nun, dass die erste Farbe weiß ist und dann abwechselnd nicht-weiß und weiß gezogen wird, oder kann auch zuerst nicht-weiß und dann abwechselnd weiß/nicht-weiß gezogen werden?
Ich rechne mal beides aus:
Variante 1: [mm] P({w;\overline{w};w;\overline{w};w;\overline{w};w}) [/mm] =
[mm] (0,375)^{4}*(0,625)^{3} [/mm] = 0,0048279
Variante 2: [mm] P({w;\overline{w};w;\overline{w};w;\overline{w};w}) [/mm] + [mm] P({\overline{w};w;\overline{w};w;\overline{w};w;\overline{w}})
[/mm]
= [mm] (0,375)^{4}*(0,625)^{3} [/mm] + [mm] (0,375)^{3}*(0,625)^{4} [/mm] = 0,0048279 + 0,0080466 = 0,0128745.
P(D) = [mm] (0,875)^{3}*\vektor{4 \\ 2}*(0,125)^{2}*(0,875)^{2} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 2}*(0,125)^{2}*(0,875)^{5} [/mm] = 0,0480852
E und F probierst Du jetzt mal selbst!
> 2.Wie oft muss man ein Rad mind. drehen, um mit mind. 97%
> Wahrscheinlichkeit mind. einmal rot zu bekommen?
Dies ist eine Aufgabe zur Binomialverteilung mit p = 0,125 und unbekannter Kettenlänge n.
Gesucht ist n so, dass P(X [mm] \ge [/mm] 1) [mm] \ge [/mm] 0,97.
Da geht man am besten über das Gegenereignis ran:
1 - P(X = 0) [mm] \ge [/mm] 0,97
umgeformt:
P(X = 0) [mm] \le [/mm] 0,03.
Da eine Binomialverteilung vorliegt (siehe oben!), folgt:
[mm] (0,875)^{n} \le [/mm] 0,03
Nun wird logarithmiert (lg oder ln; beides geht!):
n*lg(0,875) [mm] \le [/mm] lg(0,03)
Bei der Division durch lg(0,875) muss man nun beachten, dass diese Zahl negativ ist, sich daher das Ungleichungszeichen umkehrt:
n [mm] \ge \bruch{lg(0,03)}{lg(0,875}
[/mm]
n [mm] \ge [/mm] 26,26.
Bedeutet: n ist mindestens 27; man muss das Glücksrad mindestens 27 mal drehen.
(KEINE GARANTIE FÜR RECHENFEHLER!)
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