beschleunigungsenergie < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie jeweils die Energie, die man aufbringen muss, um ein Proton von
(1) 0 auf 0,5c (2) 0,5c auf 0,9c (3) 0,9c auf 0,95c (4) 0,95c auf 0,99c
zu beschleunigen.
Beantworten Sie zweitens:
Wie groß ist die Geschwindigkeit eines Elektrons maximal, wenn seine relativistische kin. Energie durch den klassischen Ausdruck 0,5 [mm] mv^2 [/mm] beschrieben werden kann, ohne einen Fehler von 2% zu überschreiten? |
Hallo,
beim ersten Teil der Aufgabe habe ich folgende Formel benutzt:
[mm] E_{kin}=E-E_0=m_0c^2(\gamma-1).
[/mm]
Und bin immer folgendermaßen vorgegangen: Bei (1) kann man einfach direkt in die Formel einsetzen.
Bei (2) habe ich zuerst die kinetische Energie, die man benötigt, um von 0 auf 0,5 c(also (1)) berechnet und schließlich jene, die man benötigt, um von 0 auf 0,9c zu beschleunigen. Am Ende habe ich die Differenz berechnet.
Kann man das so machen? Das Problem was ich sehe, dass mein [mm] \Delta E_{kin} [/mm] in (4) kleiner ist als zum Beispiel in (3), aber nach meinem Gefühl müsste die Energie doch immer größer werden, je näher man an Lichtgeschwindigkeit rankommt, auch wenn man hier bedenkt, dass man eben "nur" von 0,95c auf 0,99c beschleunigt.
Zum zweiten Teil:
Da weiß ich leider gar keine so richtige Ansatzmöglichkeit.
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Hallo!
Da vermute ich mal einen Rechenfehler...
[mm]
\begin{tabular}{c|c}
c&$(\gamma-1)$\\
\hline
0,5 &0,15\\
0,9 &1,29\\
0,95& 2,2\\
0,99& 6,09\\
\end{tabular}
[/mm]
Man sieht schon deutlich, wie die Energie anwächst...
Zur zweiten Aufgabe: Naja, es ist die Frage, bis zu welcher Geschwindigkeit man einfach [mm] mv^2 [/mm] nehmen kann, und ab wann man mit [mm] $mc^2(\gamma-1). [/mm] $ rechnen muß. Also, ab wann weicht das Verhältnis um 0,02 von 1 ab?
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Gut. Ich komme bei
(2) [mm] \Delta E=1,71\cdot 10^{-10}J
[/mm]
(3) [mm] \Delta E=1,6\cdot 10^{-10}J
[/mm]
(4) [mm] \Delta E=5,84\cdot 10^{-10}J.
[/mm]
Dann sehe ich doch, dass bei (4) weniger Energie benötigt wird um von 0,95 auf 0,99c zu beschleunigen, als bei (3). Ist das trotzdem richtig?
Beim 2ten muss ich also:
[mm] \frac{0,5mv^{2}}{mc^{2}(\gamma-1)}=0,02 [/mm] nach v auflösen oder?
Das gestaltet sich etwas problematisch, wegen des Gammas.
[mm] \Leftrightarrow v^{2}&=&0,02\cdot2\cdot c^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-1\right).
[/mm]
Wie kann ich das v unter der Wurzel vernünftig isolieren?
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Hallo!
Zum ersten Teil: Tatsache, du hast recht. Ich kann da aber auch keinen Rechenfehler entdecken, das paßt.
Auch, wenn das weniger Energie ist, der Geschwindigkeitszuwachs ist ja sehr viel kleiner.
Zum zweiten Teil: Substituiere doch mal [mm] \frac{v^2}{c^2}=X [/mm] . Dann führt das recht schnell auf eine quadratische Gleichung.
Aber du hast noch einen Fehler in der Gleichung. Es geht nicht darum, wann die klassische Energie nur noch 2% der relativistischen ist, sondern wann die beiden um 2% voneinander abweichen. Da die relativistische immer stärker zunimmt, meinst du eher 0,98 statt 0,02.
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