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| Aufgabe | f sei nichtnegative ganze Funktion (auf ganz [mm] \IC [/mm] holomorph), m [mm] \in [/mm] IN, R,C pos. reelle Zahlen. Es gelte:
[mm] |f(z)|\le [/mm] c [mm] \cdot |z|^m
[/mm]
für z [mm] \in \IC
[/mm]
zu zeigen ist nun, dass f ein Polynom höchstens vom Grad m ist. |
Zuerst habe ich meine Funktion f in eine Potenzreihe im Nullpunkt entwickelt. Das darf ich, da sie holomorph ist (bzw. die Laurent-Reihe hat deswegen keinen Hauptteil). Anschließend habe ich die Koeffizienten abgeschätzt (dafür muss ich überall Betragsstriche haben). Und dann bekomme ich:
[mm] |f(z)|=|\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n|\le \sum_{n=0}^{\infty}|a_n||z|^n \le \sum_{n=0}^{\infty} \frac{sup|f(z)|}{r^n}|z|^n
[/mm]
wobei r eine beliebige pos. reelle Zahl ist (sie muss nur kleiner sein als der Konvergenzradius, der hier unendlich ist) und das Supremum geht über alle z mit |z|=r. Außerdem sage ich hier, dass r>R gelten soll. Deswegen kann ich nun das Supremum abschätzen:
[mm] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{sup|f(z)|}{r^n}|z|^n \le \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c\cdot r^m}{r^n}|z|^n [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}c\cdot r^{m-n}|z|^n
[/mm]
Für n>m habe ich r im Nenner und für r [mm] \rightarrow \infty [/mm] verschwinden dann diese Summanden. Das ist also so, wie ich es haben möchte. Allerdings werden die Summanden für n<m unendlich groß, was ziemlich doof ist.
Hat jemand sonst eine Idee, was ich machen könnte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:18 Di 22.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei r >0. Mit Hilfe der Cauchyschen Abschätzungen zeige:
[mm] $|a_n| \le [/mm] c* [mm] \bruch{r^m}{r^n}$ [/mm] für n [mm] \in \IN_0
[/mm]
Betrachte nun den Fall n>m. Was erhälst Du für r [mm] \to \infty [/mm] ?
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Mi 23.06.2010 | | Autor: | zorin |
> f sei nichtnegative ganze Funktion (auf ganz [mm]\IC[/mm]
> holomorph), m [mm]\in[/mm] IN, R,C pos. reelle Zahlen. Es gelte:
>
> [mm]|f(z)|\le[/mm] c [mm]\cdot |z|^m[/mm]
>
> für z [mm]\in \IC[/mm]
Was soll eigentlich "f sei nichtnegativ" bedeuten?
Wenn f die negativen reellen Zahlen auslaesst, dann ist f konstant.
Und weiter steht da: "für [mm]z \in \IC[/mm]".
Dann waere [mm]f(z)=az^m[/mm] fuer ein [mm]a \in \IC[/mm].
Wahrscheinlich ist [mm]|z| \ge R[/mm] gemeint, sonst braeuchte man das [mm] R [/mm] in der Aufgabe nicht erwaehnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Mi 23.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> > f sei nichtnegative ganze Funktion (auf ganz [mm]\IC[/mm]
> > holomorph), m [mm]\in[/mm] IN, R,C pos. reelle Zahlen. Es gelte:
> >
> > [mm]|f(z)|\le[/mm] c [mm]\cdot |z|^m[/mm]
> >
> > für z [mm]\in \IC[/mm]
>
> Was soll eigentlich "f sei nichtnegativ" bedeuten?
Gut aufgepasst ! Ich hab das glatt überlesen !
" f sei nichtnegative ganze Funktion "
ist völlig unsinnig
FRED
> Wenn f die negativen reellen Zahlen auslaesst, dann ist f
> konstant.
> Und weiter steht da: "für [mm]z \in \IC[/mm]".
> Dann waere
> [mm]f(z)=az^m[/mm] fuer ein [mm]a \in \IC[/mm].
> Wahrscheinlich ist [mm]|z| \ge R[/mm]
> gemeint, sonst braeuchte man das [mm]R[/mm] in der Aufgabe nicht
> erwaehnen.
>
>
>
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