bestimme die funktion x^3 < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Mo 17.01.2005 | | Autor: | kaschka |
also hallo!
die aufgabe!
bestimme die funktion dritten grades,
die ein Maximum im punkt h(-2/1),
deren wendepunkt bei -1 liegt
und die Y-achse bei -4 schneidet!
so mein ansatz!
f(x)= [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + cx + d
zu berechnen sind a,b,c,d
gegeben
1) h (-2/1)
2) w(-1 / ) FRAGE wie bekomme ich den y-wert?
3) y(0/-4)
ich weiß bei 3)
f(0)= [mm] a*0^3 [/mm] + [mm] b*0^2 [/mm] + c*0 + d = -4
daraus folgt schon mal d = -4
ich soll diese aufgabe nach dem gauss-verfahren lösen
irgendwas mit diagonal-prinzip machen!
KANN MIR EINER HELFEN???
viele liebe grüße
kaschka
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mo 17.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> die aufgabe!
> bestimme die funktion dritten grades,
> die ein Maximum im punkt h(-2/1),
> deren wendepunkt bei -1 liegt
> und die Y-achse bei -4 schneidet!
>
> so mein ansatz!
> f(x)= [mm]ax^3[/mm] + [mm]bx^2[/mm] + cx + d
richtig
> zu berechnen sind a,b,c,d
also brauchst du vier Gleichungen
> gegeben
> 1) h (-2/1)
d,h, f(-2) =1 und f'(2)=0 also 2 Bestimmungsgleichungen
> 2) w(-1 / ) FRAGE wie bekomme ich den y-wert?
Wendepkt heiss f''(-1) = 0 3. Bestimmungsgleichungen
> 3) y(0/-4)
>
> ich weiß bei 3)
> f(0)= [mm]a*0^3[/mm] + [mm]b*0^2[/mm] + c*0 + d = -4
4. Bestimmungsgleichung
> daraus folgt schon mal d = -4
richtig, 1. Schritt des Gauss Verfahrens.
>
> ich soll diese aufgabe nach dem gauss-verfahren lösen
> irgendwas mit diagonal-prinzip machen!
> KANN MIR EINER HELFEN???
Ja!
Diagonalisieren nennt man das Verfahren ein System von linearen Gleichungen zu lösen, indem man Vielfache einer Gl. so von anderen abzieht,
dass eine 'Unbekannte in allen außer der ersten verschwindet, danach mit den restlichen weiter so.
Am Ende steht dann ein Schema da ,wo in ser ersten Reihe n Unbekannte stehen, inder Zweiten n-1 etc in der letzten nur eine
Dann kann man von unten nach oben alle anderen Unbekannten bestimmen.
Mit den Hinweisen erinnerst du dich sicher wieder dran.
Viel Erfolg mit deiner Aufgabe!
leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mo 17.01.2005 | | Autor: | kaschka |
erstmal vielen dank für die lösung!
habe allerdings noch fragen!
1) h (-2/1)
d,h, f(-2) =1 und f'(2)=0 also 2 Bestimmungsgleichungen
aber wie bilde ich hier f' ?
f'= 3ax + 2bx + c ????
und woher weiß ich das ich bei f´(x) 2 einsetzen muss?
w(-1/ )
Wendepkt heisst f''(-1) = 0 3. Bestimmungsgleichungen
und f'' = 6ax + 2b ????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Youri |
Hier haben sich mindestens drei tolle Fehler eingeschlichen - alle in rot korrigiert - SORRY - wer weitere findet - immer her damit!
Hallo Bianca!
Erstmal ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Schön, dass Du den Weg zu uns gefunden hast.
Noch schöner wäre es, wenn Du z.B. den praktischen Formeleditor nutzen könntest, und die Sachen hier ein wenig übersichtlicher notieren könntest.
So sah Deine Aufgabenstellung aus:
>bestimme die funktion dritten grades,
>die ein Maximum im punkt h(-2/1),
>deren wendepunkt bei -1 liegt
>und die Y-achse bei -4 schneidet!
Du nanntest die richtige Ausgangsfunktion:
[mm] f(x)= ax^3 + bx^2 + cx +d [/mm]
Es kann nun nicht schaden, bevor Du irgendwas einsetzt und losrechnest, ganz allgemein, die Ableitungen zu notieren.
[mm] f'(x) = 3ax^2+2bx+c [/mm]
[mm]f''(x)= 6ax + 2b [/mm]
[mm] f'''(x) = 6a [/mm]
Nun zum Einsetzen Deiner Bedingungen und zur Klärung Deiner ersten Nachfrage:
>1) h (-2/1)
> f(-2) =1 und f'(2)=0 also 2 Bestimmungsgleichungen
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nachträglicher Hinweis: Die zweite Bestimmungsgleichung muss auf der Bedingung [mm] f'(-2)=0 [/mm] aufbauen.
> aber wie bilde ich hier f' ?
> f'= 3ax + 2bx + c ????
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Fast richtig, aber Du hast das Quadrat beim x im ersten Summanden vergessen. Auch derart allgemeine Funktionen kannst Du ganz normal nach x ableiten.
> und woher weiß ich das ich bei f´(x) 2 einsetzen muss?
Nachträglicher Hinweis: Es muss auch in die Ableitung - 2 eingesetzt werden
Du weißt an der Stelle x=-2 liegt ein Hochpunkt vor.
In einem Extrempunkt ist die Steigung = 0, Du hast entweder genau die Bergkuppe, oder aber exakt die Talsenke erreicht - in diesem Punkt hast Du eine waagerechte Tangente.
Daher nutzt Du Dein Wissen und bastelst Dir zwei Gleichungen aus einem bekannten Punkt:
[mm] f(-2) = 1[/mm]
[mm] f(-2)=a(-2)^3+b(-2)^2+c(-2)+d=1 [/mm]
also I. :
[mm] -8a + 4b -2c +d =1 [/mm]
[mm] f'(-2) = 0 [/mm]
[mm] f'(-2) = 3a(-2)^2+2b(-2)+c = 0[/mm]
also II. :
[mm] -12a -4b+c=0 [/mm]
FALSCH. Das MINUS vor dem ersten Summanden ist überflüssig.
Richtige Gleichung: [mm] +12a -4b+c=0 [/mm]
> w(-1/ )
> Wendepkt heisst f''(-1) = 0 3. Bestimmungsgleichungen
> und f'' = 6ax + 2b ????
Ja. Also die zweite Ableitung stimmt.
Nun Deine Bedingung verwenden - und Du hast die dritte Gleichung.
[mm]f''(-1)=6a(-1)+2b=0[/mm]
also III. :
[mm] -6a+2b = 0 [/mm]
Die vierte Gleichung hattest Du direkt zum Anfang aufgestellt:
>ich weiß bei 3)
>f(0)= + + c*0 + d = -4
>daraus folgt schon mal d = -4
IV. [mm] d= -4 [/mm]
Du kannst nun Dein bekanntes d überall einsetzen -
übrig bleibt ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten.
Kannst Du das bis hierhin nachvollziehen?
Im Anschluss daran musst Du das machen, was leduart Dir bereits empfohlen hat.
Du addierst Vielfache der ersten Gleichung so zu den letzten beiden, dass eine der beiden Variablen in beiden unteren Gleichungen wegfällt.
Im Anschluss addierst Du ein Vielfaches der Zweiten Gleichung zur dritten - so dass in der letzten Gleichung nur noch eine Unbekannte auftaucht.
Dann kannst Du die einzelnen Buchstabenwerte bestimmen.
Kommst Du klar?
Wenn nicht - einfach fragen 
Lieben Gruß,
Andrea.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:49 Di 18.01.2005 | | Autor: | kaschka |
Danke ich bin schon ein ganzes Stück weiter aber....
So sah Meine Aufgabenstellung aus:
bestimme die funktion dritten grades,
die ein Maximum im punkt h(-2/1),
deren Wendepunkt bei -1 liegt
und die Y-achse bei -4 schneidet!
[mm]f(x)= ax^3 + bx^2 + cx +d[/mm]
Ableitungen!
[mm]f'(x) = 3ax^2+2bx+c[/mm]
[mm]f''(x)= 6ax + 2b[/mm]
[mm]f'''(x) = 6a[/mm]
Nun zum Einsetzen Deiner Bedingungen und zur Klärung Deiner
ersten Nachfrage:
1) h (-2/1)
f(-2) =1 und f'(2)=0 also 2 Bestimmungsgleichungen
> > und woher weiß ich das ich bei f´(x) 2 einsetzen muss?
>
> Du weißt an der Stelle x=2 liegt ein Hochpunkt vor.
> In einem Extrempunkt ist die Steigung = 0, Du hast
> entweder genau die Bergkuppe, oder aber exakt die Talsenke
> erreicht - in diesem Punkt hast Du eine waagerechte
> Tangente.
>
> [mm]f'(-2) = 0[/mm]
> [mm]f'(-2) = 3a(-2)^2+2b(-2)+c = 0[/mm]
>
> also II. :
> [mm]-12a -4b+c=0[/mm]
so und hier habe ich schon wieder ne frage!
ich hab (-2/1) vergegeben-> I. gleichung klar!
ABER woher weiß ich x=2 bei [mm]f'[/mm]
und warum wird in der gleichung von [mm] f'[/mm] dann -2 eingesetzt?
> [mm]f'(-2) = 0[/mm]
> [mm]f'(-2) = 3a(-2)^2+2b(-2)+c = 0[/mm]
lieben Gruss bianca
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Di 18.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Kaschka!
> 1) h (-2/1)
> f(-2) =1 und f'(2)=0 also 2 Bestimmungsgleichungen
>
>
> und woher weiß ich das ich bei f´(x) 2 einsetzen muss?
> >
> > Du weißt an der Stelle x=2 liegt ein Hochpunkt vor.
> > In einem Extrempunkt ist die Steigung = 0, Du hast
> > entweder genau die Bergkuppe, oder aber exakt die
> > Talsenke erreicht - in diesem Punkt hast Du eine waagerechte
> > Tangente.
> > [mm]f'(-2) = 0[/mm]
> > [mm]f'(-2) = 3a(-2)^2+2b(-2)+c = 0[/mm]
> >
> > also II. :
> > [mm]-12a -4b+c=0[/mm]
>
> so und hier habe ich schon wieder ne frage!
> ich hab (-2/1) vergegeben-> I. gleichung klar!
> ABER woher weiß ich x=2 bei [mm]f'[/mm]
> und warum wird in der gleichung von [mm]f'[/mm] dann -2
> eingesetzt?
>
> [mm]f'(-2) = 0[/mm]
> [mm]f'(-2) = 3a(-2)^2+2b(-2)+c = 0[/mm]
Ups, hier handelt es sich um einen klassichen Tipp-Fehler!!!
Du mußt an diesen Stellen natürlich überall den x-Wert des Hochpunktes [mm] $x_H [/mm] = [mm] \red{-}2$ [/mm] einsetzen ...
Jetzt klar(er) ??
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Di 18.01.2005 | | Autor: | kaschka |
ok ich bin jetzt soweit das ich die 4 gleichungen hab
-8a+4b-2c+d=0
-12a-4b+c=0
-6a+2b=0
d=-4
habe das dann in so eine diagonalverfahren-tabelle eingesetzt
a b c d
-8 4 -2 1 1
-12 -4 1 0 0
-6 2 0 0 0
0 0 0 1 -4
sorry wegen der darstellung ich kann das nicht anders!
aber ich bekomme es nicht hin das c zu berechnen!
ich habe versucht
zeile 3 mit (-2) zu multiplizieren
also dann 12 -4 0 0
dann mit zeile 2 addieren
-12 -4 1 0 0
12 -4 0 0 0
0 -8 1 0 0
das ist ärgerlich da ich die 12 für a wegbekomme aber dafür für c eine 1 bekomme!
wie bekomm ich das richtig hin?
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hallo kaschka,
du warst schon auf dem richtigen weg aber da du in zeile drei a und b hast mußt du versuchen zeile 1 und 2 so miteinander zu verrechnen, dass c rausfällt und du anschließend dein ergebnis dann mit 3 verrechnen kannst so das a oder b rausfällt und du einen parameter bestimmen kannst.
das matrix-verfahren (diagonalverfahren-tabelle ) sieht zwar eleganter aus aber anschaulicher wird es mit dem gauß-verfahren:
[mm]1) -8a+4b-2c+d=0[/mm]
[mm]2) -12a-4b+c=0[/mm]
[mm]3) -6a+2b= 0[/mm]
[mm]4) d = -4[/mm]
[mm]d in 1)-> -8a+4b-2c-4=0 /+4 /:(2)[/mm]
[mm]5) -4a+2b-c=2[/mm]
[mm]2+5)-> -16a-2b=2[/mm]
[mm]6) -16a-2b=2[/mm]
[mm]3+6)-> -22a= 2[/mm]
[mm]a) a=\bruch{-1}{11}[/mm]
[mm]a in 3)-> \bruch{6}{11}+2b=0[/mm]
[mm]b) b=\bruch{3}{11}[/mm]
[mm]a und b[/mm]
[mm]in 1)-> \bruch{8}{11}+\bruch{12}{11}-2c-4=0[/mm]
[mm] c=\bruch{-12}{11}[/mm]
[mm]-> f(x)=\bruch{-x^3}{11}+\bruch{3x^2}{11}-\bruch{12x}{11}-4[/mm]
[mm] =\bruch{1}{11}(-x^3+3x^2-12x)-4[/mm]
das mit den lehrtasten klappt zwar nicht wie geplant aber ich hoffe es ist nachvollziehbar
ansonsten wieder rein ins forum
schönen tag noch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:01 Mi 19.01.2005 | | Autor: | kaschka |
> [mm]1) -8a+4b-2c+d=0[/mm]
> [mm]2) -12a-4b+c=0[/mm]
> [mm]3) -6a+2b= 0[/mm]
> [mm]4) d = -4[/mm]
>
>
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> [mm]d in 1)-> -8a+4b-2c-4=0 /+4 /:(2)[/mm]
> [mm]5) -4a+2b-c=2[/mm]
>
>
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> [mm]2+5)-> -16a-2b=2[/mm]
> [mm]6) -16a-2b=2[/mm]
>
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> [mm]3+6)-> -22a= 2[/mm]
> [mm]a) a=\bruch{-1}{11}[/mm]
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") und zwar hier! warum wird [mm]a=\bruch{-1}{11}[/red ][/mm]
[mm][red]im nächsten schritt zu [mm]a= \bruch{6}{11}[/red ][/mm]
> [mm]a in 3)-> \bruch{6}{11}+2b=0[/mm]
> [mm]b) b=\bruch{3}{11}[/mm]
>
>
>
> [mm]a und b[/mm]
> [mm]in 1)-> \bruch{8}{11}+\bruch{12}{11}-2c-4=0[/mm]
>
> [mm]c=\bruch{-12}{11}[/mm]
>
>
> [mm]-> f(x)=\bruch{-x^3}{11}+\bruch{3x^2}{11}-\bruch{12x}{11}-4[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{11}(-x^3+3x^2-12x)-4[/mm]
>
trotzdem schonmal vielen dank! ich bin der lösung schon gaaaaaanz nah!
Kaschka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Kaschka!
>[mm]1) -8a+4b-2c+d=0[/mm]
>[mm]2) -12a-4b+c=0[/mm]
>[mm]3) -6a+2b= 0[/mm]
>[mm]4) d = -4[/mm]
> und zwar hier! warum wird [mm]a=\bruch{-1}{11}[/mm]
> im nächsten schritt zu [mm]a = \bruch{6}{11}[/mm]
Gleichung [3] lautet ja: $-6a+2b= 0$ und da setzen wir für [mm] $a=-\bruch{1}{11}$ [/mm] ein:
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$-6 * [mm] \left(-\bruch{1}{11}\right) [/mm] \ + \ 2b \ = \ [mm] +\bruch{6}{11} [/mm] \ + \ 2b \ \ = \ 0$
Nun klar(er) ???
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kaschka,
ich bin nunmehr die ganze Aufgabe durchgegangen und habe (oh Schreck!!) einen Fehler beim Aufstellen der Gleichungen entdeckt ...
Gleichung 2 entsteht ja durch Einsetzen des Wertes [mm] $x_H [/mm] = -2$ in die 1. Ableitung:
[mm] $f'(x_H) [/mm] \ = \ f'(-2) \ = \ [mm] 3a*(-2)^2 [/mm] + 2b*(-2) + c = 0$
Dadurch entsteht:
2.) [mm] $\red{+}12a [/mm] - 4b + c = 0$
Die anderen Gleichungen sind ok.
Das heißt leider, daß Du die ganze Berechnung nochmal machen mußt ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") ...
Hier mein Kontrollergebnis für die Funktion:
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{5}{4}x^3 [/mm] + [mm] \bruch{15}{4}x^2 [/mm] - 4 \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*(5x^3 [/mm] + [mm] 15x^2 [/mm] - 16)$
(Anmerkung: also $c = 0$)
Und hier der Funktionsgraph, aus dem Du auch die vorgegebenen Eigenschaften erkennen kannst ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 Mi 19.01.2005 | | Autor: | kaschka |
Vielen lieben Dank an alle die sich Mühe gegeben haben mir bei dieser Aufgabe zur richtigen Lösung zu helfen!
ich habe nun endlich die komplette rechnung lösen können und HABE SOGAR VERSTANDEN was ich tun muss!
ich werde die Aufgabe morgen an der Tafel vorführen können dank euch!
Ihr seid super!
*kuss* Kaschka
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Steckbriefaufgaben![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
