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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Do 14.07.2011 | | Autor: | Knueffi |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mithilfe der Substitutionsregel y = [mm] e^x [/mm] das bestimmte Integral
[mm] \integral_{0}^{1}{(e^(2x))/(1+e^x))} [/mm] |
Also ich habe die Stammfunktion bereits errechnet, durch zweimalige Substitution. 1. [mm] y=e^x [/mm] und 2. s=y+1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Duch zweimalige Rücksubstitution bekam ich als Stammfunktion [mm] [e^x-ln(e^x+1)...ich [/mm] hoffe mein Ergebnis ist richtig?
Nun weiß ich leider nicht, wie ich die Grenzen bei der Substitution handhaben muss und ob ich überhaupt die STammfunktion bei bestimmten integralen so berechnen kann?
Bitte um Antwort...
Viele Grüße Eure Knueffi
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Hallo Knueffi, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das sieht doch sehr gut aus!
> Bestimmen Sie mithilfe der Substitutionsregel y = [mm]e^x[/mm] das
> bestimmte Integral
> [mm]\integral_{0}^{1}{(e^(2x))/(1+e^x))}[/mm]
> Also ich habe die Stammfunktion bereits errechnet, durch
> zweimalige Substitution. 1. [mm]y=e^x[/mm] und 2. s=y+1
>
> Duch zweimalige Rücksubstitution bekam ich als
> Stammfunktion [mm][e^x-ln(e^x+1)...ich[/mm] hoffe mein Ergebnis ist
> richtig?
Ja, das stimmt.
> Nun weiß ich leider nicht, wie ich die Grenzen bei der
> Substitution handhaben muss und ob ich überhaupt die
> STammfunktion bei bestimmten integralen so berechnen kann?
Wenn man eine Stammfunktion bestimmen kann, dann darf man das auch tun. In diesem Fall wendet man dann die ursprünglichen Grenzen an.
Korrekterweise müsstest Du aber in der Tat bei jeder Substitution die Grenzen mit substituieren. Ein sauberer Aufschrieb hat daher zwei Möglichkeiten: 1) mit Substitution der Grenzen, oder 2) Bestimmung einer Stammfunktion durch ein unbestimmtes Integral, die man dann auch für die Berechnung des bestimmten Integrals nutzen kann.
> Bitte um Antwort...
Klar doch. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Do 14.07.2011 | | Autor: | Knueffi |
Ok, erstmal vielen Dank...
Meine Frage bei dieser Aufgabe ist, wie substituiere ich die Grenzen...bei der 1. Substitution kommt irgendwas komisches für die grenzen raus: Stimmt es das ich für die Obere Grenze rechnen muss [mm] e^x [/mm] = 1 d.h. obere Grenze wäre x=o
für die untere Grenze [mm] e^x [/mm] = 0 ...naja aber ln=0 ist nicht def. und nun?
Oder hab ich da generell ein problem, da meine Berechnung "mist" /falsch ist?
Ok, ich könnte dann nach der Rücksubstituion die alten Grenzen verwenden, da ich diese auch Rücksubstituieren muss ( ist das korrekt?)...aber ich denke, dass ich dann für meiin Übungsblatt keine Punkte bekomme, wenn die Grenzen falsch angegeben sind während den Substituionsschritten, oder?
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Hallo nochmal,
> Ok, erstmal vielen Dank...
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> Meine Frage bei dieser Aufgabe ist, wie substituiere ich
> die Grenzen...bei der 1. Substitution kommt irgendwas
> komisches für die grenzen raus: Stimmt es das ich für die
> Obere Grenze rechnen muss [mm]e^x[/mm] = 1 d.h. obere Grenze wäre
> x=o
> für die untere Grenze [mm]e^x[/mm] = 0 ...naja aber ln=0 ist nicht
> def. und nun?
Naja, Du substiuierst da falsch herum. Du setzt ja [mm] y=e^x. [/mm] Die "alten" Grenzen waren in x gegeben und lauteten 0 und 1. Nach der Substitution müssen sie dann in y eben [mm] e^0=1 [/mm] und [mm] e^1=e [/mm] lauten.
> Oder hab ich da generell ein problem, da meine Berechnung
> "mist" /falsch ist?
Nö, nur ein kleiner Denkfehler.
> Ok, ich könnte dann nach der Rücksubstituion die alten
> Grenzen verwenden, da ich diese auch Rücksubstituieren
> muss ( ist das korrekt?)...
Jaaa. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber ich denke, dass ich dann
> für meiin Übungsblatt keine Punkte bekomme, wenn die
> Grenzen falsch angegeben sind während den
> Substituionsschritten, oder?
Das ist möglich, je nachdem was die Erwartungshaltung war. Genauer: wenn sie tatsächlich falsch sind, ist die Aufgabe nicht richtig gelöst. Wenn Du Dich um die Substitution der Grenzen "drückst", indem Du erst einmal das unbestimmte Integral ermittelst, ist das eigentlich korrekt, das heißt aber trotzdem nicht, dass dafür die vollen Punkte gegeben werden.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Do 14.07.2011 | | Autor: | Knueffi |
Ich habe gerade festegestellt, dass ich meine Frage unter Schulmathe gestellt hab...sollte eigenltich hochschulmathe sein...daher denke ich, dass es vielleicht an der schule gehen würde...an der uni glaub ich nicht mehr...die Grenzen sollten auch bei der Substitution stimmen! Außerdem wurde ja regelrecht verlangt, dass man die Aufgabe durch die Substitution löst!
Die Grenzen wären dann für die 2. Subst. oben (e+1) unten (2), oder?
Ich denke nun bin ich ein ganzes Stück weiter gekommen und habe auch die Subst. verstanden...vielen Dank!
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Hallo,
> Ich habe gerade festegestellt, dass ich meine Frage unter
> Schulmathe gestellt hab...sollte eigenltich hochschulmathe
> sein...daher denke ich, dass es vielleicht an der schule
> gehen würde...an der uni glaub ich nicht mehr...die
> Grenzen sollten auch bei der Substitution stimmen!
Wenn Du die Grenzen mit durchschleppst, dann müssen sie auch stimmen, egal ob an der Schule oder an der Uni.
> Außerdem wurde ja regelrecht verlangt, dass man die
> Aufgabe durch die Substitution löst!
Ja, aber das geht ja auch erst einmal mit dem unbestimmten Integral. Auch das ist ein korrekter Weg, der der Aufgabe überhaupt nicht widerspricht.
> Die Grenzen wären dann für die 2. Subst. oben (e+1) unten
> (2), oder?
Bei der Substitution s=y+1 ja.
> Ich denke nun bin ich ein ganzes Stück weiter gekommen und
> habe auch die Subst. verstanden...vielen Dank!
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 So 17.07.2011 | | Autor: | Knueffi |
Also mir ist bei dieser Aufgabe jetzt noch etwas aufgefallen, was mir leider unklar ist und zwar...
Mir wurde in der uni erklärt, dass ich die erste Substitution mit [mm] u=e^x [/mm] machen muss und ich dann [mm] du=e^x [/mm] habe...ja ok...die aufgabe lautet ja auch, dass ich mit dieser Substituion arbeiten soll...aber:
Warum habe ich dann als Integral (u/(u+1)?
Vielleicht ist diese Frage jetzt echt lächerlich, aber ich frage mcih einfach wo die zwei im Zähler im Exponenten hin ist?
Bitte um Antwort!
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> Also mir ist bei dieser Aufgabe jetzt noch etwas
> aufgefallen, was mir leider unklar ist und zwar...
> Mir wurde in der uni erklärt, dass ich die erste
> Substitution mit [mm]u=e^x[/mm] machen muss und ich dann
[mm]du=e^x[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das müsste heißen: [mm]du=e^x*dx[/mm]
> habe...ja ok...die aufgabe lautet ja auch, dass ich mit
> dieser Substituion arbeiten soll...aber:
> Warum habe ich dann als Integral (u/(u+1)?
> Vielleicht ist diese Frage jetzt echt lächerlich, aber
> ich frage mcih einfach wo die zwei im Zähler im Exponenten
> hin ist?
Es ist [mm] e^{2*x}=e^x*e^x
[/mm]
Den einen dieser beiden Faktoren brauchst du genau
dazu, um aus [mm] e^x*dx [/mm] das neue Differential $\ du$ zu machen.
Übrig bleibt also für den Integranden nur noch ein solcher
Faktor [mm] e^x=u [/mm] .
LG Al-Chw.
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