bestimmtes Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 So 21.05.2006 | | Autor: | FlorianJ |
| Aufgabe | | Man löse: [mm] \integral_{1}^{e}{ x^{2}ln(x)dx} [/mm] |
Mahlzeit,
bei der Berechnung des Integrals bin ich wie folgt vorgegangen:
Partielle Integration:
[mm] \integral_{}^{}{u'vdx} [/mm] = u*v - [mm] \integral_{}^{}{uv'dx}
[/mm]
mit [mm] u=x^{2} [/mm] u'=2x
und v=ln(x) [mm] v'=\bruch{1}{x}
[/mm]
=> [mm] \integral_{1}^{e}{2xlnxdx} [/mm] = [mm] x^{2}*ln(x) [/mm] - [mm] \integral_{1}^{e}{x dx}
[/mm]
= [mm] x^{2} [/mm] ln(x) - [mm] \bruch{1}{2}x^{2}
[/mm]
eingesetzt:
= [mm] (e^{2}*ln(e) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}e^{2}) [/mm] - [mm] (1^{2}*ln(1) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}1^{2}) [/mm]
[mm] =e^{2} -\bruch{1}{2}e^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = 4,195
in der lösung jedoch steht:
[mm] \bruch{1}{9}(2e^{3}+1) [/mm] = 4,574....
wo steckt mein Fehler?
Danke, Florian
Habe die Frage nur in diesem Forum gestellt.
Edit: Mir ist grad aufgefallen,. ich muss das zweite Integral natürlich auch mit den Grenzen ausrechnen und nicht das Produkt davor. Oder?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 So 21.05.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo FlorianJ!
Dein eigentlicher Fehler liegt schon beim Festlegen von $u$ und $u'$. Das [mm] $x^2$ [/mm] ist $u'$, und somit ist [mm] $u=\frac{1}{3}x^3$.
[/mm]
Bezüglich deines "Edit":
Du ermittelst jetzt erst einmal durch die partielle Integration die Stammfunktion, ich nenne sie mal $F$ und in die musst du dann die Grenzen einsetzen.
So sieht das dann mathematisch aus:
[mm] $\int_{1}^{e}{f(x) dx}=[F(x)]_1^e=F(e)-F(1)$
[/mm]
Ich hoffe, dir hilft das weiter!
Liebe Grüße
Seppel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mo 22.05.2006 | | Autor: | FlorianJ |
hi und danke schonmal.
nachdem weiterrechnen bekomme ich immer noch das falsche ergebnis:
[mm] =\bruch{1}{3}x^{3}ln(x) [/mm] - [mm] \integral_{1}^{e}{\bruch{1}{3}x^{3}*\bruch{1}{x}dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}x^{3}ln(x) [/mm] - [mm] \integral_{1}^{e}{\bruch{1}{3}x^{2}dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}x^{3}ln(x) [/mm] - [mm] \bruch{1}{9}x^{3} [/mm]
[mm] \bruch{1}{3}e^{3}-\bruch{1}{9}e^{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9} [/mm] = 4,35... [mm] \not= [/mm] 4,57..
wo ist der Fehler?
Danke :)
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Hallo Florian!
Dir unterläuft beim Einsetzen der Integrationsgrenzen ein Vorzeichenfehler:
[mm]... \ = \ \left(\bruch{1}{3}e^{3}-\bruch{1}{9}e^{3}\right)- \left(0-\bruch{1}{9}\right) \ = \ \bruch{1}{3}e^{3}-\bruch{1}{9}e^{3}- 0 \ \red{+} \ \bruch{1}{9} \ = \ ...[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Mo 22.05.2006 | | Autor: | FlorianJ |
jo super, danke
man konzentriert sich halt irgendwie auf "das große" und vergisst "das kleine" - danke :)
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