bestimmtes Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Mi 24.09.2008 | | Autor: | dst |
| Aufgabe | [mm] \integral_{-1}^{2}{x² \wurzel{1+4x²} dx} [/mm]
Berechne das bestimmte Integral.
Es dürfen nur die Grundintegrale als bekannt vorausgesegtzt werden.
Evtl. auftretende Hyperbelfunktionen dürfen nicht durch exponentialfunktionen ersetzt werden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallöchen,
sitze schon ne halbe ewigkeit vor dieser Aufgabe.
Es hakt an den Hyperbelfunktionen nach der Substitution.
Ich habe die Tabelle spez. Integralsubstitution benutzt mit der Substitution:
[mm] \integral_{a}^{b}{R ( x; \wurzel{x²+a²}dx} [/mm]
x= a*sinh (u)
dx = a*cosh(u) du
[mm] \wurzel{x²+a²} [/mm] = a*cosh(u)
Zuvor habe ich aus der Aufgabe die 4 unter der Wurzel gezogen und vor das Integral geschrieben.
Nach der Substitution habe ich folgendes Integral an dem ich nicht weiterkomme:
1/4 [mm] \integral_{a}^{b}{sinh²(u)*cosh(²u) du}
[/mm]
habe schon probiert sinh oder cosh umzuschreiben, bringt mich aber nicht weiter.....
hat jmd vielleicht nen Tipp??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Mi 24.09.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]\integral_{-1}^{2}{x² \wurzel{1+4x²} dx}[/mm]
>
> Berechne das bestimmte Integral.
> Es dürfen nur die Grundintegrale als bekannt
> vorausgesegtzt werden.
> Evtl. auftretende Hyperbelfunktionen dürfen nicht durch
> exponentialfunktionen ersetzt werden.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallöchen,
>
> sitze schon ne halbe ewigkeit vor dieser Aufgabe.
> Es hakt an den Hyperbelfunktionen nach der Substitution.
>
> Ich habe die Tabelle spez. Integralsubstitution benutzt mit
> der Substitution:
> [mm]\integral_{a}^{b}{R ( x; \wurzel{x²+a²}dx}[/mm]
>
> x= a*sinh (u)
> dx = a*cosh(u) du
> [mm]\wurzel{x²+a²}[/mm] = a*cosh(u)
>
> Zuvor habe ich aus der Aufgabe die 4 unter der Wurzel
> gezogen und vor das Integral geschrieben.
> Nach der Substitution habe ich folgendes Integral an dem
> ich nicht weiterkomme:
>
> 1/4 [mm]\integral_{a}^{b}{sinh²(u)*cosh(²u) du}[/mm]
>
> habe schon probiert sinh oder cosh umzuschreiben, bringt
> mich aber nicht weiter.....
> hat jmd vielleicht nen Tipp??
Hallo,
könnte das nicht partiel funktionieren?
Die Ableitung von [mm] y=(1+4x^2)^{\bruch{3}{2}} [/mm] ist [mm] \bruch{3}{2}*\wurzel{1+4x^2}*8x=12x*\wurzel{1+4x^2}. [/mm] Demzufolge ist
[mm] \bruch{(1+4x^{2})^{\bruch{3}{2}}}{12} [/mm]
der Term einer Stammfunktion von x* [mm] \wurzel{1+4x²}.
[/mm]
Da dein eigentlicher Term [mm] x^2* \wurzel{1+4x²} [/mm] ist, müsste der Grad von der Potenz vor der Wurzel durch partielle Integration um 1 vermindert werden.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 24.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hab den Weg schon durchgetestet. Da kommt man auf komplizierteres Zeug, da man ja cos²u oder sin²u integrieren muss. Wird dann sehr unschön.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Mi 24.09.2008 | | Autor: | dst |
Ja denke auch das daß nicht des rätsels lösung sein kann.
Es muss ja auf irgendetwas mit Hyperbolischen funktionen hinauslaufen sonst wäre es in der Aufgabenstellung nicht aufgetaucht das man diese nicht ersetzen darf....frage ist nun wie ich das Integral
sinh²*cosh² lösen kann ohne auf Integraltafeln zurückzugreifen?? Habe es auch schon mit partieller Integration versucht....komme dann aber nicht weiter????
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Hallo!
[mm] \integral{sinh^{2}(x)*cosh^{2}(x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral{sinh^{2}(x)*(1+sinh^{2}(x)) dx}
[/mm]
= [mm] \integral{sinh^{4}(x)+sinh^{2}(x) dx}
[/mm]
Ich behandel die jetzt mal schnell einzeln:
[mm] \integral{\sinh^{2}(x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral{\sinh(x)*\sinh(x) dx}
[/mm]
= [mm] \sinh(x)*\cosh(x) [/mm] - [mm] \integral{\cosh(x)*\cosh(x) dx}
[/mm]
= [mm] \sinh(x)*\cosh(x) [/mm] - [mm] \integral{\cosh^{2}(x) dx}
[/mm]
= [mm] \sinh(x)*\cosh(x) [/mm] - [mm] \integral{1 + \sinh^{2}(x) dx}
[/mm]
= [mm] \sinh(x)*\cosh(x) [/mm] - x - [mm] \integral{\sinh^{2}(x) dx}
[/mm]
[mm]\gdw 2*\integral{\sinh^{2}(x) dx} = \sinh(x)*\cosh(x) - x[/mm]
[mm]\gdw \integral{\sinh^{2}(x) dx} = \bruch{1}{2}*\sinh(x)*\cosh(x) - \bruch{1}{2}*x[/mm]
Und nun das andere TeilIntegral:
[mm] \integral{\sinh^{4}(x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral{\sinh^{3}(x)*sinh(x) dx}
[/mm]
= [mm] \sinh^{3}(x)*\cosh(x) [/mm] dx - [mm] \integral{3*\sinh^{2}(x)*\cosh^{2}(x) dx}.
[/mm]
Und wenn ich jetzt alle bisherigen Erkenntnisse mal in eine Zeile packe:
[mm] \integral{sinh^{2}(x)*cosh^{2}(x) dx} [/mm] = [mm] \integral{sinh^{4}(x)+sinh^{2}(x) dx} [/mm] = [mm] \sinh^{3}(x)*\cosh(x) [/mm] dx - [mm] \integral{3*\sinh^{2}(x)*\cosh^{2}(x) dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\sinh(x)*\cosh(x) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*x
[/mm]
[mm] \gdw 4*\integral{sinh^{2}(x)*cosh^{2}(x) dx} [/mm] = [mm] \sinh^{3}(x)*\cosh(x) [/mm] dx + [mm] \bruch{1}{2}*\sinh(x)*\cosh(x) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*x
[/mm]
[mm] \gdw \integral{sinh^{2}(x)*cosh^{2}(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*\sinh^{3}(x)*\cosh(x) [/mm] dx + [mm] \bruch{1}{8}*\sinh(x)*\cosh(x) [/mm] - [mm] \bruch{1}{8}*x
[/mm]
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Mi 24.09.2008 | | Autor: | dst |
uiiuiui, muss mir das mal in ruhe zu gemüte führen! Aber so sieht das schon ganz ordentlich aus.
War auch schon mal bei dem selben ansatz [mm] sin^4 [/mm] * [mm] sin^2 [/mm] habe da aber keinen Ansatz gefunden weiter zu rechnen. Were das mal ausprobieren und durchrechnen....
Besten Dank für die schnellen antworten.
Das ist echt unmenschlich so`n Integral "zu Fuss" zu rechnen 
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