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| Aufgabe | bestimmen sie alle ganzrationalen funktionen mit folgenden eigenschaften
a) dergrad beträgt 3 der graph berührt die x achse und geht durch die punkte A (-2/2) B(0/2) C(2/2)
b) Der grad beträgt 4 der Graph ist symetrisch zur y Achse W(1/?) ist Wendepunkt T (?/0) ist ein relativer Tiefpunkt. |
a) mit denen drei geben punkten kann ich eine funktion basteln fehlt mir nur noch der 4 punkt was soll das heissen das der graph die x Achse berührt ist das dann f`(x)=0??
b)
da weiss ich überhaupt nicht weiter!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Fr 24.04.2009 | | Autor: | Frasier |
Hallo PeterSteiner,
ist bei a) nicht noch gegeben, wo der Graph die x-Achse berühren soll?
Sonst weißt du noch, dass die Berührstelle auch eine Nullstelle ist. Das liefert noch eine Gleichung.
zu b): eine zur y-Achse symmetrische Funktion heißt auch gerade Funktion, das zugehörige Polynom in x hat nur gerade Exponenten.
Hilft dir das weiter?
lg
F.
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nein sorry das hilft mir nicht weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Fr 24.04.2009 | | Autor: | Frasier |
Hm, schade.
Schreib doch mal deine Ansätze hin.
Wenn bei a) aber die Berührstelle nicht gegeben ist, ist das nicht eindeutig, da müsste es dann zwei Lösungen geben.
[Dateianhang nicht öffentlich]
lg
F.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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ja es sind ja durchaus 2 lösungen möglich was ich nur wissen will ist wenn der graph die x achse berührt ob dann gilt:
f´(0)=0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Fr 24.04.2009 | | Autor: | Frasier |
Nein, so gilt das nicht.
D.h. nicht an der Stelle x=0.
An der Nullstelle, die ja gleichzeitig die Berührstelle ist aber schon.
lg
F.
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Hallo!
Weil nicht angegeben ist, wo der Graph die x-Achse berührt, nützt dir die Auskunft zunächst wenig. Es heißt, dass die Funktion an irgendeiner Stelle [mm] x_{1} [/mm] die x-Achse als Tangente hat (Berühren --> Tangente), also dann [mm] f'(x_{1}) [/mm] = 0 gilt. Das bedeutet, dass an dieser Stelle [mm] x_{1} [/mm] ein Extremum vorliegt. Die Information sagt dir also im Wesentlichen aus: Ein Extrempunkt der Funktion hat als y-Wert 0.
Du musst also zunächst erstmal aus den drei dir gegebenen Punkten eine Funktion bestimmen, die ist dann noch von einem Parameter abhängig. Dann musst du überprüfen, für welchen Parameterwert die Funktion einen Extrempunkt mit y-Koordinate 0 hat.
Grüße, Stefan.
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bei der a )
es muss ja eine funktion 3 grades sein um diese zusbestimmen muss ich also 4 punkte haben.
wenn ich jetzt davon ausgehe das der virte punkt
f´(0)=0 ist kannich doch meine gleichung bestimmen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Fr 24.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> bei der a )
>
> es muss ja eine funktion 3 grades sein um diese
> zusbestimmen muss ich also 4 punkte haben.
>
> wenn ich jetzt davon ausgehe das der virte punkt
> f´(0)=0 ist
Das hat niemand gesagt !!
Berühren der x - Achse bedeutet: es gibt ein [mm] x_1 [/mm] mit
[mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f'(x_1) [/mm] = 0
FRED
> kannich doch meine gleichung bestimmen oder?
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ja und wie bestimme ich damit meine funktion?
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Hallo!
Du hast eine rationale Funktion 3. Grades gegeben:
$f(x) = [mm] a*x^{3} [/mm] + [mm] b*x^{2} [/mm] + c*x + d$
Nun die drei Punkte, aus denen du folgern kannst:
$A (-2/2) [mm] \Rightarrow [/mm] f(-2) = 2 [mm] \gdw [/mm] -8a + 4b -2c +d = 2$
$B(0/2) [mm] \Rightarrow [/mm] f(0) = 2 [mm] \gdw [/mm] d = 2$
$C(2/2) [mm] \Rightarrow [/mm] f(2) = [mm] 2\gdw [/mm] 8a + 4b + 2c + d = 2$
So. Nun kannst du die erste und die dritte erhaltene Gleichung per Additionsverfahren zu einer Gleichung verbinden:
8b + 2d = 4
d ist bekannt:
8b + 4 = 4
also ist b = 0. Du weißt jetzt also schon b = 0 und d = 2. Wenn du das in die erste Gleichung einsetzt, erhältst du die letzte Bedingung, die dir noch zur Verfügung steht:
$ -8a -2c = 0 [mm] \gdw [/mm] -4a = c$.
Wir können also c durch a ausdrücken. Du kannst nun erstmal deine Funktion dritten Gerades aufschreiben auch wenn du a noch nicht kennst:
[mm] $f_{a}(x) [/mm] = [mm] a*x^{3} [/mm] - 4a*x +2$
Nun musst du nur noch überprüfen, für welches a die Funktion die letzte Bedingung erfüllt, die mit dem Berühren der x-Achse.
Viele Grüße, Stefan.
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also wie du b und d herrausbekommen hast kann ich nachvollzihenen dannach wird es unverstädnlich von wegen a für c und die ganze äquivalent zeug
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Hallo!
Durch das "Einsetzen" der drei Punkte in die Funktion hatten wir drei Gleichungen erhalten:
$ -8a + 4b -2c +d = 2$
$d = 2$
$8a + 4b + 2c + d = 2$
Wir hatten dann schon d = 2 und b = 0 herausbekommen. Diese "Erkenntnisse" können wir in die erste und dritte Gleichung von oben doch nochmal einsetzen und erhalten:
$-8a + 4*0 -2*c + 2 = 2 [mm] \gdw [/mm] -8a-2c = 0$
$8a + 4*0 + 2c + 2 = 2 [mm] \gdw [/mm] 8a + 2c = 0$
Die beiden Gleichungen sagen genau dasselbe aus (wenn ich die eine mal -1 rechne, erhalte ich die andere). Also hilft mir es nur weiter, wenn ich mit einer der beiden Gleichungen weiterarbeite, beispielsweise die untere:
$8a + 2c = 0 $.
Wir haben nicht mehr Gleichungen als diese, aber noch zwei Unbekannte. Wir können also die Funktion nicht mit "Zahlen" angeben. Wir können aber die Gleichung dazu benutzen, um zumindest nur noch eine Unbekannte zu haben: Indem wir so:
$8a + 2c = 0 [mm] \gdw [/mm] c = -4a$
umformen, wissen wir nun dass c = -4a ist. Nun können wir die Funktion aufstellen, bei welcher a noch unbekannt ist:
[mm] $f_{a}(x) [/mm] = [mm] a*x^{3} [/mm] - 4a*x + 2$
Solltest du dazu noch Fragen haben, stelle diese bitte konkreter.
Viele Grüße, Stefan.
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Hallo!
Bei b) hast du zunächst die rationale Funktion 4. Gerades:
$f(x) = [mm] ax^{4} [/mm] + [mm] bx^{3} [/mm] + [mm] cx^{2} [/mm] + dx+e$
Weil die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, fallen alle ungeraden Exponenten aus der Funktion raus:
$f(x) = [mm] ax^{4} [/mm] + [mm] cx^{2} [/mm] +e$
(Achsensymmetrisch zur y-Achse --> nur gerade Exponenten bei x, Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung --> nur ungerade Exponenten bei x)
Nun hast du noch wegen dem Wendepunkt die Information
f''(1) = 0.
Außerdem weißt du, dass die Funktion an irgendeiner Stelle [mm] x_{1} [/mm] einen Tiefpunkt hat mit y-Koordinate 0, d.h. an dieser Stelle [mm] x_{1} [/mm] gilt
[mm] f(x_{1}) [/mm] = 0
[mm] f'(x_{1}) [/mm] = 0
Damit hast du 2 Informationen mehr im Austausch gegen eine Unbekannte mehr. Du wirst dich aber damit anfreunden müssen, dass es mehrere Lösungen gibt, aus denen du dir dann einfach eine aussuchen kannst.
Viele Grüße, Stefan.
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