bestimmung ganzer funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 So 22.07.2007 | | Autor: | lara.mil |
| Aufgabe | Sei M>0.
Bestimme alle ganzen Funktionen f mit |f(z)| <= M |sin(z)| für alle z [mm] \in \IC [/mm] |
Ich bräuchte einen kleinen Tipp wie ich an die Aufgabe ran gehen kann.
Ist es am besten über die cauchy-riemanschen-dgl?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
bin mir ziemlich sicher, dass es die Funktionen der Form f(z)= a*sin(z) mit a [mm] \in \IC [/mm] , a geeignet, sind. Verwende den Identitätssatz für den Beweis.
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 So 22.07.2007 | | Autor: | lara.mil |
danke!
hmm, aber das kommt mir "zu einfach" vor, gibt es keine weiteren funktionen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 So 22.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Es fällt mir nur eine weiter Funktion ein - die Nullfukntion. Abgesehen davon ist klar, dass f periodisch sein muss, da in regelmäßigen Abständen f(z)=sin(z)=0 gelten muss. f als [mm] a*\sin(z) [/mm] zu wählen scheint da alle Möglichkeiten auszschöpfen, einen Beweis fällt mir aber leider nicht ein.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Mo 23.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hi!
> Es fällt mir nur eine weiter Funktion ein - die
> Nullfukntion. Abgesehen davon ist klar, dass f periodisch
> sein muss, da in regelmäßigen Abständen f(z)=sin(z)=0
> gelten muss. f als [mm]a*\sin(z)[/mm] zu wählen scheint da alle
> Möglichkeiten auszschöpfen, einen Beweis fällt mir aber
> leider nicht ein.
Wie wäre es mit der folgenden Beweisidee:
Angenommen, es gebe ein [mm]f(z) = g(z)sin z[/mm] in ganz [mm]\IC[/mm]. Dann muss nach Vorausssetzung [mm]|g(z)| \leq M [/mm] in ganz [mm]\IC[/mm] sein, also ist g konstant.
Grüße
Rainer
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Hallo
die Nullfunktion, die dormant anspricht, ist in meinem Vorschlag f(z)=a*sin(z) ja enthalten. Den Beweis stell ich mir etwa so vor:
betrachte die Funktion g(z):=f(z)/sin(z)
sie hat isolierte Singularitäten in den Nullstellen des sinus. Um jede Singularität bilde eine "kleine" Kreisscheibe. Auf ihr ist g (durch M) beschränkt, die Singularität also hebbar; d.h. es existiert eine analytische(holomorphe) Fortsetzung G von g auf jener Kreisscheibe. Diese ist aber wieder durch M beschränkt, also nach dem Maximiumsprinzip konstant und damit nach dem Identitätssatz ganz g konstant. Also gibt es eine Zahl a, so dass f(z)/sin(z)=g(z)=a; d.h. f(z)=a*sin(z)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 Mi 25.07.2007 | | Autor: | lara.mil |
Vielen Dank.
Jetzt hab ichs verstanden!
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