beweis:nur triviale lösung < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a,b,c seien paarweise verschieden reelle zahlen. man beweise, dass das homogene LGS
x1 +x2 +x3 =0
ax1 +bx2 +cx3 =0
a^2x1+b^2x2 +c^2x3=0
nur die triviale lösung besitzt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt |
ich habe versucht die aufgabe einfach zu lösen(auszurechen)...aber da komme ich auf keinen grünen zweig...da kommt nur ein buchstabengewurstel raus mit dem ich auch nicht weiter komme.
dann hab ich mir überlegt ob das was mit linerarer abhänigkeit zu tun haben könnte.... aber das sind sie nicht, soweit ich das seh zumindest :(
brauche irgeneinen hinweis...mir fällt einfach nichts ein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 Mo 29.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> a,b,c seien paarweise verschieden reelle zahlen. man
> beweise, dass das homogene LGS
> x1 +x2 +x3 =0
> ax1 +bx2 +cx3 =0
> a^2x1+b^2x2 +c^2x3=0
> nur die triviale lösung besitzt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> ich habe versucht die aufgabe einfach zu
> lösen(auszurechen)...aber da komme ich auf keinen grünen
> zweig...da kommt nur ein buchstabengewurstel raus mit dem
> ich auch nicht weiter komme.
>
> dann hab ich mir überlegt ob das was mit linerarer
> abhänigkeit zu tun haben könnte.... aber das sind sie
> nicht, soweit ich das seh zumindest :(
>
> brauche irgeneinen hinweis...mir fällt einfach nichts ein.
Bringe doch (wie gewohnt ?) die Koeffizientenmatrix des LGS auf Dreiecksform:
[mm] \pmat{ 1 & * & * \\ 0 & \alpha & * \\0 & 0 & \beta}
[/mm]
die Zahlen [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] hängen in einfacher Weise von a , b und c ab.
Hilft das ?
FRED
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da komm ich dann auf:
x1 +x2 +x3
0 +x2 (b-a) +x3 (c-a)
0 +0 + x3 (ac- [mm] c^2 +b^2 [/mm] -ab)
das ist das zahlengewurschtel mit dem ich nichts anfangen kann...
wieso soll des denn nur die triviale lösung haben ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Mo 29.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> da komm ich dann auf:
>
> x1 +x2 +x3
> 0 +x2 (b-a) +x3 (c-a)
> 0 +0 + x3 (ac- [mm]c^2 +b^2[/mm] -ab)
Wie Du auf den Koeefizienten bei [mm] x_3 [/mm] kommst, ist mir schleierhaft.
Ich habe da (a-c)(b-c).
Also
[mm] x_1+ x_2+ x_3 [/mm] = 0
[mm] (b-a)x_2 [/mm] + [mm] (c-a)x_3 [/mm] = 0
[mm] (a-c)(b-c)x_3 [/mm] = 0
Da a, b und c paarweise verschieden sind , ist (a-c)(b-c) [mm] \not= [/mm] 0, somit folgt aus der 3. Gleichung: [mm] x_3 [/mm] = 0. Wegen b-a [mm] \not= [/mm] 0, ist ( 2. Gleichung) [mm] x_2 [/mm] = 0. Die erste Zeile liefert [mm] x_1 [/mm] = 0.
FRED
>
> das ist das zahlengewurschtel mit dem ich nichts anfangen
> kann...
> wieso soll des denn nur die triviale lösung haben ?
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ok, dankeschön :)
war eigentlich garnich so schwer...
werd jetzt noch n bissle rumrechnen bis ich meinen fehler find ;)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Di 30.09.2008 | | Autor: | SirSmoke |
also irgendwie steh ich auf dem Schlauch und komme nicht so ganz darauf, wie dieses LGS zur Dreiecksform gebracht wurde. Könnte mir jmd. bitte einen kleinen Denkanstoß geben?
Danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Di 30.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Multipliziere die 1. Gleichung mit -a und addiere das auf die 2. Gleichung
Multipliziere die 1. Gleichung mit [mm] -a^2 [/mm] und addiere das auf die 3. Gleichung
Multipliziere die neue 2. Gleichung mit -(b+a) und addiere das auf die neue 3. Gleichung
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Di 30.09.2008 | | Autor: | SirSmoke |
vielen Dank für die schnelle Hilfe!
LG
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Ohne die Matrix M umzuformen, kann man ihre
Determinante berechnen und zeigen, dass sie
ungleich null ist, wenn a,b und c paarweise
verschieden sind. Dies gelingt, weil man zeigen
kann, dass
Det(M)=(a-b)(b-c)(c-a)
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 Di 30.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich habe die Methode mit der Umformung der Matrix deshalb vorgeschlagen, weil dies in der 13. Klasse gemacht wird, Determinanten hingegen eher selten.
FRED
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