beweis von injektivität < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Sa 09.06.2012 | | Autor: | gene |
| Aufgabe | Man zeige oder widerlege folgenden Satz:
Seien A;B Mengen und f : A [mm] \to [/mm] B eine injektive Funktion. Seien V,U Mengen mit V [mm] \subseteq U\subseteq [/mm] A.
Dann gilt f(U [mm] \backslash [/mm] V)=f(U) [mm] \backslash [/mm] f(V). |
Mein Lösung
sei [mm] f:\IR\to\IR
[/mm]
[mm] x\to [/mm] f(x)=x+2
setze A:={0,1,2} und B:={2,3,4}
setze V:={1}und U:={1,2} dann gilt V [mm] \subseteq [/mm] U
und f(U [mm] \backslash [/mm] V)=f({2})={4}
auf der andere seite ist
f(U) [mm] \backslash [/mm] f(V)= f({1,2}) [mm] \backslash [/mm] f({1})={3,4 } [mm] \backslash [/mm] {3}={4}
daraus folgt das f(U [mm] \backslash [/mm] V)=f(U) [mm] \backslash [/mm] f(V)
ist so richtig
Danke im voraus
|
|
| |
|
Hallo gene,
dein Beispiel ist soweit korrekt, nur bewiesen hast du damit noch gar nichts.
Oder was wolltest du zeigen?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Sa 09.06.2012 | | Autor: | gene |
Hallo ich möchte zeigen das f(U [mm] \backslash [/mm] V)=f(U) [mm] \backslash [/mm] f(V) gilt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Sa 09.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein Beispiel, oder auch 1000 Beispiele zeigen nichts, sondern nur dass der Satz für die Bsp. richtig ist.
Nur de widerlegung einer Behauptung kann man mit einem bsp machen.
Beispiele sind für dich gut, um die Beh, zu verstehen!
du musst also die allg eigenschaften von injektiv benutzen und die mengeneigenschaften.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 So 10.06.2012 | | Autor: | gene |
Ich glaube ich bin doof dafür wie mache ich das zu allgemein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 So 10.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich glaube ich bin doof dafür wie mache ich das zu
> allgemein
Erinnernung:
> Man zeige oder widerlege folgenden Satz:
> Seien A;B Mengen und f : A $ [mm] \to [/mm] $ B eine injektive Funktion. Seien V,U
> Mengen mit V $ [mm] \subseteq U\subseteq [/mm] $ A.
> Dann gilt f(U $ [mm] \backslash [/mm] $ V)=f(U) $ [mm] \backslash [/mm] $ f(V).
Wenn Du beweisen willst, dass der Satz stimmt, so hast Du zu zeigen, dass unter den gegebenen Voraussetzung folgt, dass
$$f(U [mm] \setminus [/mm] V)=f(U) [mm] \setminus [/mm] f(V)$$
gilt.
Und wie zeigt man eine Mengengleicheit [mm] $R=S\,$ [/mm] für Mengen [mm] $R,S\,$? [/mm] Man zeigt zwei Dinge:
1.) Man zeigt, dass $R [mm] \subseteq [/mm] S$ gilt.
2.) Man zeigt, dass $S [mm] \subseteq [/mm] R$ gilt.
Jetzt probier' Dich mal an der Aufgabe.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 So 10.06.2012 | | Autor: | gene |
Hallo Marcel
ich habe versuchen aber weiß nicht ob das richtig ist
Beweis
sei b [mm] \in f(U)\backslash [/mm] f(V).wegen [mm] b\in [/mm] f(U) finde [mm] x\in [/mm] U so,dass [mm] b\not\in [/mm] f(V)gilt für dieses x,dass x [mm] \not\in [/mm] V.es folgt x [mm] \in (U\V) [/mm] also [mm] b=f(x)\in f(U\backslash [/mm] V).
ist so richtigt
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 So 10.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo gene,
> Hallo Marcel
> ich habe versuchen aber weiß nicht ob das richtig ist
> Beweis
> sei b [mm]\in f(U)\backslash[/mm] f(V).wegen [mm]b\in[/mm] f(U) finde [mm]x\in[/mm] U
> so,dass [mm]b\not\in[/mm] f(V)gilt für dieses x,dass x [mm]\not\in[/mm] V.es
> folgt x [mm]\in (U\V)[/mm] also [mm]b=f(x)\in f(U\backslash[/mm] V).
>
> ist so richtigt
nein, nicht ganz - oder sagen wir's mal so: Du denkst sicher das richtige, aber der Aufschrieb ist nicht wirklich gelungen oder teilweise etwas chaotisch (insbesondere die Stelle, wo "$b [mm] \notin [/mm] f(V)$... für dieses $x [mm] \notin [/mm] V$").
Außerdem bearbeitest Du gerade nur den Teil [mm] $(f(U)\setminus [/mm] f(V)) [mm] \subseteq [/mm] f(U [mm] \setminus V)\,.$
[/mm]
Ich schreib' Dir das mal genauer auf:
Sei $b [mm] \in [/mm] f(U) [mm] \setminus f(V)\,.$ [/mm] Wegen $b [mm] \in [/mm] f(U)$ existiert ein $x [mm] \in [/mm] U$ mit [mm] $f(x)=b\,.$ [/mm] Wegen $b [mm] \notin [/mm] f(V)$ kann dann aber nicht $x [mm] \in V\,$ [/mm] gelten - also muss $x [mm] \notin [/mm] V$ gelten. (Sowas in der Art meintest Du oben, hast es aber sehr unglücklich aufgeschrieben!)
Wegen $x [mm] \in [/mm] U$ und $x [mm] \notin [/mm] V$ ist dann aber $x [mm] \in U\setminus V\,,$ [/mm] so dass $f(x) [mm] \in [/mm] f(U [mm] \setminus [/mm] V)$ folgt - also $b [mm] \in [/mm] f(U [mm] \setminus V)\,.$
[/mm]
Okay, das wären Deine Überlegungen in einer strukturierteren Reihenfolge aufgeschrieben.
So, und haben wir bisher irgendwo die Injektivität von [mm] $f\,$ [/mm] benutzt? Nein!
Daher:
Versuche nun noch $f(U [mm] \setminus [/mm] V) [mm] \subseteq (f(U)\setminus [/mm] f(V))$ zu beweisen - und wenn das geht, wirst Du da sicher an einer Stelle die Injektivität von [mm] $f\,$ [/mm] benötigen. (Es sei denn, die zu beweisende Mengengleichheit würde unabhängig von der Injektivität stets gelten.)
P.S.
Dass diese letztgenannte Teilmengenbeziehung für nichtinjektive Funktionen i.a. nicht gilt, kannst Du Dir leicht an einem Beispiel klarmachen:
$f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=|x|\,$ [/mm] ist nicht injektiv. Betrachte [mm] $U:=\IR\,$ [/mm] sowie [mm] $V:=(-\infty,0]\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $f(U)=[0,\infty)\,,$ $f(V)=f(U)=[0,\infty)\,.$ [/mm] Weiter ist $f(U [mm] \setminus V)=f((0,\infty))=(0,\infty)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 So 10.06.2012 | | Autor: | gene |
Danke Marcel ich habe versuch mit deine Lösung eine Lösungweg zu finden da wir bei der Vorlesung keine intervall betrachten haben .
wie wäre :seien [mm] a1,a2\in [/mm] A und es gelte f(a1)=b=f(a2).Angenomen a1 [mm] \not= [/mm] a2 dann setze U:={a1,a2} und V:={a2} .Es ist U [mm] \backslash [/mm] B = {a1} und [mm] f(U\backslash [/mm] V)={f(a1)}={b} andererseits ist f(U)={b}=f(V) also [mm] f(U)\backslash f(V)=\emptyset [/mm] wiederspruch .ist so richtig
Danke für dein Geduld
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 So 10.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo gene,
> Danke Marcel ich habe versuch mit deine Lösung eine
> Lösungweg zu finden da wir bei der Vorlesung keine
> intervall betrachten haben .
> wie wäre :seien [mm]a1,a2\in[/mm] A
und [mm] $a_1 \not=a_2\,.$
[/mm]
> und es gelte
> f(a1)=b=f(a2).Angenomen a1 [mm]\not=[/mm] a2dann
Nun
> setze U:={a1,a2}
> und V:={a2} .Es ist U [mm]\backslash[/mm] B = {a1}
Was ist [mm] $B\,$ [/mm] hier?
> und [mm]f(U\backslash[/mm]
> V)={f(a1)}={b} andererseits ist f(U)={b}=f(V) also
> [mm]f(U)\backslash f(V)=\emptyset[/mm] wiederspruch
Widerspruch - bitte nicht mit ie schreiben! (P.S. Irgendwo sollte auch stehen: Angenommen, es wäre hier $f(U [mm] \setminus [/mm] V) [mm] \subseteq [/mm] (f(U) [mm] \setminus f(V))\,.$)
[/mm]
> .ist so richtig
>
> Danke für dein Geduld
Ja, wenn [mm] $B=V\,$ [/mm] war, sind Deine Überlegungen schon richtig - aber was wolltest Du nun beweisen? Der Kommentar, dass die Aussage
$$f(U [mm] \setminus [/mm] V) [mm] \subseteq [/mm] f(U) [mm] \setminus [/mm] f(V)$$
nicht gilt, wenn man ein nichtinjektives [mm] $f\,$ [/mm] hat? Okay, das kannst Du machen, aber es dient Dir nur zusätzlich zu einem besseren Verständnis.
(Ich hatte das mehr als Bemerkung/Kommentar/Ergänzung gesagt!)
ABER:
Eigentlich solltest Du beweisen: Wenn das [mm] $f\,$ [/mm] injektiv IST und die anderen genannten Voraussetzungen gegeben sind, dass dann
$$f(U [mm] \setminus [/mm] V) [mm] \subseteq [/mm] f(U) [mm] \setminus [/mm] f(V)$$
gilt.
Also: Versuchst Du Dich nochmal daran?
"Sei $b [mm] \in [/mm] f(U [mm] \setminus V)\,.$ [/mm] Dann existiert ein $x [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus [/mm] V$ mit [mm] $f(x)=b\,.$ [/mm] ..."
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 So 10.06.2012 | | Autor: | gene |
ok Viel danke
LG gene
|
|
|
|
