beweis von linearunabhängigket < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:23 So 30.01.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | | seien V, W [mm] \IK-VR, f\inHom [/mm] (V,W), ferner seien v1,...,vm [mm] \in [/mm] V linear unabhängig mit [mm] 1\le [/mm] n < m, so dass v1,....,vn eine Basis von ker(f) ist, zeige, dass [mm] f(v_{n+1}),....,f(v_{m}) [/mm] linear unabhängig sind. |
also ich bin mir hier wirklich nicht sicher, ob ich meine Lösung so stehen lassen kann
sei [mm] \lambda \in \IK [/mm] und v1,...,vm [mm] \in [/mm] V lin. unabh.
[mm] \lambda1v1,...,\lambda_{i}Vm [/mm] =0 => lin. unabh.
da v1,....,vn [mm] \in [/mm] v1,...,vm folgt
[mm] \summe_{i=n+1}^{n}f(\lambda_{i}vn) \in \summe_{i=n+1}^{m} (f(\lambda_{i}ivm))
[/mm]
da [mm] \lambaivm [/mm] lin. unabh.
=> [mm] f(\lambda_{i}vm) \in f(v_{n+1}),...,f(vm) [/mm] lin. unabh.
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> seien V, W [mm]\IK-VR, f\inHom[/mm] (V,W), ferner seien v1,...,vm
> [mm]\in[/mm] V linear unabhängig mit [mm]1\le[/mm] n < m, so dass v1,....,vn
> eine Basis von ker(f) ist, zeige, dass
> [mm]f(v_{n+1}),....,f(v_{m})[/mm] linear unabhängig sind.
>
>
>
> also ich bin mir hier wirklich nicht sicher, ob ich meine
> Lösung so stehen lassen kann
Hallo,
lieber nicht...
>
> sei [mm]\lambda \in \IK[/mm] und v1,...,vm [mm]\in[/mm] V lin. unabh.
> [mm]\lambda1v1,...,\lambda_{i}Vm[/mm] =0 => lin. unabh.
Blödsinn!
Nimm jetzt mal Deine Unterlagen her und schau nach, wie das richtig heißen muß:
nach Voraussetzung sind [mm] v_1,...v_m [/mm] linear unabhängig.
Also folgt aus [mm] \lambda_1v_1+...+\lambda_mv_m=0, [/mm] daß ???.
Jetzt überleg Dir bevor es richtig losgeht auch noch, was es für die [mm] v_1,...v_n [/mm] bedeutet, wenn vorausgesetzt ist, daß [mm] v_1,...v_n [/mm] eine Basis des Kerns ist.
> da v1,....,vn [mm]\in[/mm] v1,...,vm folgt
> [mm]\summe_{i=n+1}^{n}f(\lambda_{i}vn) \in \summe_{i=n+1}^{m} (f(\lambda_{i}ivm))[/mm]
Was meinst Du damit? Wie kann eine Zahl Element einer anderen sein?
>
> da [mm]\lambaivm[/mm] lin. unabh.
> => [mm]f(\lambda_{i}vm) \in f(v_{n+1}),...,f(vm)[/mm] lin. unabh.
Bevor Du jetzt einen Beweis für die lineare Unabhängigkeit von [mm] f(v_{n+1}),...,f(v_m) [/mm] führst, solltest Du erstmal überlegen, was Du dafür zeigen mußt. Nämlich dies:
Wenn man [mm] \mu_{n+1}, ...,\mu_nm\in [/mm] K hat mit
[mm] \mu_{n+1}f(v_{n+1}) [/mm] + ...+ [mm] \mu_mf(v_m)=0, [/mm]
dann folgt [mm] \mu_{n+1}= ...=\mu_m=0.
[/mm]
Beweis:
Sei [mm] also\mu_{n+1}f(v_{n+1}) [/mm] + ...+ [mm] \mu_mf(v_m)=0.
[/mm]
Nuzte nun die Linearität von f und schreibe
f(...)=0.
Was weißt Du nun über die Pünktchen (...) ?
Und weiter?
Wenn Du erfolgreich Mathe studieren möchtest, wirst Du an Deinem Arbeitsstil arbeiten müssen. Die Kenntnis und Anwendung der Definitionen und Sätze ist das A und O. Es reicht nicht, wenn man ungefähr weiß, worum es geht und irgendwas macht, was so ähnlich aussehen könnte.
Frag' Dich bei jedem Schritt: "Warum?"
Wenn Du keine schlüssige Antwort hast, kannst Du davon ausgehen, daß das, was Du gerade tust, falsch ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 So 30.01.2011 | | Autor: | kioto |
> >
> > sei [mm]\lambda \in \IK[/mm] und v1,...,vm [mm]\in[/mm] V lin. unabh.
> > [mm]\lambda1v1,...,\lambda_{i}Vm[/mm] =0 => lin. unabh.
>
> Blödsinn!
> Nimm jetzt mal Deine Unterlagen her und schau nach, wie
> das richtig heißen muß:
>
> nach Voraussetzung sind [mm]v_1,...v_m[/mm] linear unabhängig.
>
> Also folgt aus [mm]\lambda_1v_1+...+\lambda_mv_m=0,[/mm] daß ???.
dass [mm] f(\lambda_{i} v_{i})= [/mm] 0?
>
> Jetzt überleg Dir bevor es richtig losgeht auch noch, was
> es für die [mm]v_1,...v_n[/mm] bedeutet, wenn vorausgesetzt ist,
> daß [mm]v_1,...v_n[/mm] eine Basis des Kerns ist.
basis des kerns heißt doch alle vektoren des kerns, die lin. unabh. sind.
> Bevor Du jetzt einen Beweis für die lineare
> Unabhängigkeit von [mm]f(v_{n+1}),...,f(v_m)[/mm] führst, solltest
> Du erstmal überlegen, was Du dafür zeigen mußt. Nämlich
> dies:
>
> Wenn man [mm]\mu_{n+1}, ...,\mu_nm\in[/mm] K hat mit
>
> [mm]\mu_{n+1}f(v_{n+1})[/mm] + ...+ [mm]\mu_mf(v_m)=0,[/mm]
> dann folgt [mm]\mu_{n+1}= ...=\mu_m=0.[/mm]
>
> Beweis:
>
> Sei [mm]also\mu_{n+1}f(v_{n+1})[/mm] + ...+ [mm]\mu_mf(v_m)=0.[/mm]
>
> Nuzte nun die Linearität von f und schreibe
>
> f(...)=0.
>
> Was weißt Du nun über die Pünktchen (...) ?
> Und weiter?
sind die (...) lin. unabh.? also [mm] f(\mu_{n+1}+...+\mu_{m}v_{m})=0?
[/mm]
also lin. unabh.?
danke für die schnelle antwort
kioto
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| Aufgabe | Aufgabe
seien V, W [mm] \IK-VR, f\inHom [/mm] (V,W), ferner seien v1,...,vm [mm] \in [/mm] V linear unabhängig mit [mm] 1\le [/mm] n < m, so dass v1,....,vn eine Basis von ker(f) ist, zeige, dass [mm] f(v_{n+1}),....,f(v_{m}) [/mm] linear unabhängig sind. |
> > nach Voraussetzung sind [mm]v_1,...v_m[/mm] linear unabhängig.
> >
> > Also folgt aus [mm]\lambda_1v_1+...+\lambda_mv_m=0,[/mm] daß ???.
>
> dass [mm]f(\lambda_{i} v_{i})=[/mm] 0?
Hallo,
mannomann. Wir sind doch nicht bei Günther Jauch.
Warum folgt denn Deiner Meinung nach [mm] f(\lambda_iv_i)=0.
[/mm]
(Wenn Du keinen Grund weißt, brauchst Du's gar nicht erst hinzuschreiben.)
Ich will einfach von Dir, daß hier erstmal steht, was folgt, wenn eine Linearkombination von linear unabhängigen Vektoren den Nullvektor ergibt.
Man muß sich doch die Voraussetzung, mit der man arbeiten soll, klarmachen.
> >
> > Jetzt überleg Dir bevor es richtig losgeht auch noch, was
> > es für die [mm]v_1,...v_n[/mm] bedeutet, wenn vorausgesetzt ist,
> > daß [mm]v_1,...v_n[/mm] eine Basis des Kerns ist.
>
> basis des kerns heißt doch alle vektoren des kerns, die
> lin. unabh. sind.
Basis des Kerns heißt, daß man eine Menge hat, die linear unabhängig ist und den Kern aufspannt.
Das wollte ich aber nicht wissen. Was weißt Du über die Funktionswerte von [mm] v_1,...,v_n?
[/mm]
> > Bevor Du jetzt einen Beweis für die lineare
> > Unabhängigkeit von [mm]f(v_{n+1}),...,f(v_m)[/mm] führst, solltest
> > Du erstmal überlegen, was Du dafür zeigen mußt. Nämlich
> > dies:
> >
> > Wenn man [mm]\mu_{n+1}, ...,\mu_nm\in[/mm] K hat mit
> >
> > [mm]\mu_{n+1}f(v_{n+1})[/mm] + ...+ [mm]\mu_mf(v_m)=0,[/mm]
> > dann folgt [mm]\mu_{n+1}= ...=\mu_m=0.[/mm]
Na! Geht doch!!
(Oh. Das hatte ja ich geschrieben. Begeisterung wieder runterfahren...)
> >
> > Beweis:
> >
> > Sei [mm]also\mu_{n+1}f(v_{n+1})[/mm] + ...+ [mm]\mu_mf(v_m)=0.[/mm]
> >
> > Nuzte nun die Linearität von f und schreibe
> >
> > f(...)=0.
> >
> > Was weißt Du nun über die Pünktchen (...) ?
> > Und weiter?
>
> sind die (...) lin. unabh.?
(...) ist doch nur ein Vektor, halt eine Summe.
> also
> [mm]f(\mu_{n+1}+...+\mu_{m}v_{m})=0?[/mm]
Ja, genau.
> also lin. unabh.?
Jetzt paß mal auf: bevor Du hier jetzt weiterwurschtelst, schnappst Du Dir mal Dein Skript und schaust nach, was linear unabhängig ist und vor allen, wie man zeigt, daß eine endliche Menge von Vektoren linear unabhängig ist.
Das ist essentiell für die ganze lineare Algebra. Ohne diese Kenntnis kannst Du nichts verstehen.
Weiter geht's:
wir hatten
> [mm] $f(\mu_{n+1}+...+\mu_{m}v_{m})=0
[/mm]
In welcher Menge liegt also der Vektor [mm] \mu_{n+1}+...+\mu_{m}v_{m}?
[/mm]
Was weißt Du über diese Menge?
Und die Konsequenz?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 So 30.01.2011 | | Autor: | kioto |
Das wollte ich aber nicht wissen. Was weißt Du über die
> Funktionswerte von [mm]v_1,...,v_n?[/mm]
sie sind eine Basis vom ker(f)
>
> > > Bevor Du jetzt einen Beweis für die lineare
> > > Unabhängigkeit von [mm]f(v_{n+1}),...,f(v_m)[/mm] führst, solltest
> > > Du erstmal überlegen, was Du dafür zeigen mußt. Nämlich
> > > dies:
> > >
> > > Wenn man [mm]\mu_{n+1}, ...,\mu_nm\in[/mm] K hat mit
> > >
> > > [mm]\mu_{n+1}f(v_{n+1})[/mm] + ...+ [mm]\mu_mf(v_m)=0,[/mm]
> > > dann folgt [mm]\mu_{n+1}= ...=\mu_m=0.[/mm]
> > > Beweis:
> > >
> > > Sei [mm]also\mu_{n+1}f(v_{n+1})[/mm] + ...+ [mm]\mu_mf(v_m)=0.[/mm]
> > >
> > also
> > [mm]f(\mu_{n+1}+...+\mu_{m}v_{m})=0?[/mm]
>
> Ja, genau.
>
> Weiter geht's:
>
> wir hatten
>
> > [mm]$f(\mu_{n+1}+...+\mu_{m}v_{m})=0[/mm]
>
> In welcher Menge liegt also der Vektor
> [mm]\mu_{n+1}+...+\mu_{m}v_{m}?[/mm]
> Was weißt Du über diese Menge?
> Und die Konsequenz?
habe ich dann
[mm] \mu_{n+1}+...+\mu_{m}v_{m} \in [/mm] ker(f)?
also = [mm] \mu_{1}+...+\mu_{n}v_{n}? [/mm]
und wenn sie gleich sind, dann kann ich die miteinander subtrahieren und bekomme 0 raus?
aber da [mm] \mu_{1},...,\mu{m}=0 [/mm] ist, und das [mm] \mu_{n+1},...,\mu{m} [/mm] behinhaltet, dann ist doch [mm] f(v_{n+1}),...,f(v_{m}) [/mm] =0 oder nicht?
gruß
kioto
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 So 30.01.2011 | | Autor: | pyw |
Moin kioto,
> habe ich dann
> [mm]\mu_{n+1}+...+\mu_{m}v_{m} \in[/mm] ker(f)?
> also = [mm]\mu_{1}+...+\mu_{n}v_{n}?[/mm]
Nochmal zusammengefasst:
[mm] f(v_{n+1}),\ldots, f(v_m) [/mm] sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung [mm]\sum_{i=n+1}^m \mu_{i}f(v_i)=0[/mm] nur die triviale Lösung [mm] \mu_i=0 [/mm] für alle i hat.
Wegen der Eigenschaft der linearen Abbildung ist aber gerade [mm] (0=)\sum_{i=n+1}^m \mu_{i}f(v_i)=f(\sum_{i=n+1}^m \mu_{i}v_i) [/mm].
Das ist es, was du im Hinterkopf behalten musst ;)
Dein Schluss, dass dann [mm] v=\sum_{i=n+1}^m \mu_{i}v_i=\mu_{n+1}v_{n+1}+...+\mu_m v_m [/mm] im Kern von f liegt, ist richtig. Zur besseren Übersicht würde ich die Begründung (s. o.) aber gleich bei jedem Schluss dazu schreiben.
> und wenn sie gleich sind, dann kann ich die miteinander
> subtrahieren und bekomme 0 raus?
>
> aber da [mm]\mu_{1},...,\mu{m}=0[/mm] ist, und das
> [mm]\mu_{n+1},...,\mu{m}[/mm] behinhaltet, dann ist doch
> [mm]f(v_{n+1}),...,f(v_{m})[/mm] =0 oder nicht?
Du wirbelst hier ein bisschen sehr mit der Symbolik.
Ein Vorschlag: Wegen oben liegt jeder Vektor [mm] v=\sum_{i=n+1}^m \mu_{i}v_i [/mm] im Kern von f, ist also eine Linearkombination der Vektoren [mm] v_1, \ldots, v_n [/mm] (warum?). Da das System [mm] v_{n+1},\ldots, v_m [/mm] jedoch linear unabhängig von [mm] v_1, \ldots, v_n [/mm] ist, müssen die Skalare [mm] \mu_{n+1}, \ldots,\mu_m [/mm] Null sein, sonst ist eine Linearkombination ja unmöglich.
Und dann bist du fast am Ziel ;)
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 So 30.01.2011 | | Autor: | kioto |
Tag pyw!
> Nochmal zusammengefasst:
> [mm]f(v_{n+1}),\ldots, f(v_m)[/mm] sind genau dann linear
> unabhängig, wenn die Gleichung [mm]\sum_{i=n+1}^m \mu_{i}f(v_i)=0[/mm]
> nur die triviale Lösung [mm]\mu_i=0[/mm] für alle i hat.
> Wegen der Eigenschaft der linearen Abbildung ist aber
> gerade [mm](0=)\sum_{i=n+1}^m \mu_{i}f(v_i)=f(\sum_{i=n+1}^m \mu_{i}v_i) [/mm].
>
> Das ist es, was du im Hinterkopf behalten musst ;)
>
> Dein Schluss, dass dann [mm]v=\sum_{i=n+1}^m \mu_{i}v_i=\mu_{n+1}v_{n+1}+...+\mu_m v_m[/mm]
> im Kern von f liegt, ist richtig. Zur besseren Übersicht
> würde ich die Begründung (s. o.) aber gleich bei jedem
> Schluss dazu schreiben.
>
>
> > und wenn sie gleich sind, dann kann ich die miteinander
> > subtrahieren und bekomme 0 raus?
> >
> > aber da [mm]\mu_{1},...,\mu{m}=0[/mm] ist, und das
> > [mm]\mu_{n+1},...,\mu{m}[/mm] behinhaltet, dann ist doch
> > [mm]f(v_{n+1}),...,f(v_{m})[/mm] =0 oder nicht?
>
> Du wirbelst hier ein bisschen sehr mit der Symbolik.
> Ein Vorschlag: Wegen oben liegt jeder Vektor
> [mm]v=\sum_{i=n+1}^m \mu_{i}v_i[/mm] im Kern von f, ist also eine
> Linearkombination der Vektoren [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm] (warum?).
weil [mm] v=\sum_{i=n+1}^m \mu_{i}v_i [/mm] durch multipikation der vektoren mit [mm] \mu [/mm] zustande kommt?
> Da das System [mm]v_{n+1},\ldots, v_m[/mm] jedoch linear unabhängig
> von [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm] ist, müssen die Skalare [mm]\mu_{n+1}, \ldots,\mu_m[/mm]
> Null sein, sonst ist eine Linearkombination ja unmöglich.
> Und dann bist du fast am Ziel ;)
weil die skalare 0 ist, ist die linearkombination auch 0, also ist die funktion davon auch 0, deshalb lin. unabh.?
danke......
kioto
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 So 30.01.2011 | | Autor: | pyw |
> > Du wirbelst hier ein bisschen sehr mit der Symbolik.
> > Ein Vorschlag: Wegen oben liegt jeder Vektor
> > [mm]v=\sum_{i=n+1}^m \mu_{i}v_i[/mm] im Kern von f, ist also eine
> > Linearkombination der Vektoren [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm] (warum?).
>
> weil [mm]v=\sum_{i=n+1}^m \mu_{i}v_i[/mm] durch multipikation der
> vektoren mit [mm]\mu[/mm] zustande kommt?
Viel einfacher: [mm] v_1, \ldots,v_n [/mm] ist eine Basis des Kerns von f.
>
> > Da das System [mm]v_{n+1},\ldots, v_m[/mm] jedoch linear unabhängig
> > von [mm]v_1, \ldots, v_n[/mm] ist, müssen die Skalare [mm]\mu_{n+1}, \ldots,\mu_m[/mm]
> > Null sein, sonst ist eine Linearkombination ja unmöglich.
> > Und dann bist du fast am Ziel ;)
>
> weil die skalare 0 ist, ist die linearkombination auch 0,
> also ist die funktion davon auch 0, deshalb lin. unabh.?
So etwa schon. Versuche es nur noch besser in die Sprache der Mathematik zu übersetzen;)
Es gilt zwangsweise [mm] \mu_{n+1}=\ldots=\mu_m=0 [/mm] nach unserer obigen Erkenntnis in [mm] \sum_{i=n+1}^m \mu_{i}f(v_i)=0, [/mm] also sind die Vektoren [mm] f(v_{n+1}), \ldots, f(v_m) [/mm] linear unabhängig. Fertig!
>
> danke......
> kioto
>
Gruß, pyw
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 So 30.01.2011 | | Autor: | kioto |
hallo pyw,
also nur weil v1,...vm eine basis vom kern(f) ist, ist es eine Linearkombination? das kann ich noch nicht nachvollziehen.....
aber:
vielen dank pyw, jetzt versuche ich das alles zu verdauen.......
kioto
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 So 30.01.2011 | | Autor: | pyw |
> hallo pyw,
>
> also nur weil v1,...vm eine basis vom kern(f) ist, ist es
> eine Linearkombination? das kann ich noch nicht
> nachvollziehen.....
v liegt im Kern (schau dir noch einmal meinen vorletzten Post an). Also muss v logischerweise eine Linearkombination einer Basis des Kerns sein. Diese ist nach Aufgabenstellung durch die Vektoren [mm] v_1,\ldots,v_n [/mm] gegeben.
>
> aber:
> vielen dank pyw, jetzt versuche ich das alles zu
> verdauen.......
Viel Erfolg! :)
>
> kioto
Gruß, pyw
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