beziehungen extrempunkte < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Mi 21.03.2007 | | Autor: | xilos |
| Aufgabe | welche beziehung muss zwischen b und c bestehen, damit die ganzrationale funktion 3. grades f(x) = x³ + bx² + cx +d (b,c,d = rationale zahlen)
a) genau einen hoch - und tiefpunkt besitzt,
b) genau einen sattelpunkt besitzt,
c) weder einen hoch- und tiefpunkt noch einen sattelpunkt besitzt? |
wir haben diese aufgabe von der schule bekommen und ich weiß überhaupt nicht wie ich da anfangen soll.
kann mir einer von euch helfen??
dankeschön jetzt schon mal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> welche beziehung muss zwischen b und c bestehen, damit die
> ganzrationale funktion 3. grades f(x) = x³ + bx² + cx +d
> (b,c,d = rationale zahlen)
> a) genau einen hoch - und tiefpunkt besitzt,
> b) genau einen sattelpunkt besitzt,
> c) weder einen hoch- und tiefpunkt noch einen sattelpunkt
> besitzt?
Ein Hochpunkt ist ein lokales Maximum, ein Tiefpunkt ein lokales Minimum, und ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit der Steigung 0.
Für alle diese Punkte muss $f'(x)=0$ gelten.
Aus $f'(x)=0$ und $f''(x) < 0$ folgt, das an der Stelle x ein Hochpunkt ist.
Aus $f'(x)=0$ und $f''(x) > 0$ folgt, das an der Stelle x ein Tiefpunkt ist.
Aus $f'(x)=0$, $f''(x) = 0$ und $f'''(x) [mm] \not= [/mm] 0$ folgt, das an der Stelle x ein Sattelpunkt ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mi 21.03.2007 | | Autor: | xilos |
okay das wusste ich jetzt auch ^^
aber ich weiß trotzdem nicht wie ich jetzt anfangen soll ^^
kannst du vll die teilaufgabe a) als bsp machen?? ich denke dann sollte ich es auch selber hinbekommen
thx jetzt schon mal
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Hallo xilos,
rechne doch einfach mal los,
bestimme die erste und zweite Ableitung von [mm] f(x)=x^3+bx^2+cx+d
[/mm]
und halte dich dann an die Tipps von Ankh.
Einfach mal loslegen, dann kommste von ganz alleine drauf, da bin ich sicher 
Kannst ja Zwischenergebnisse posten.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mi 21.03.2007 | | Autor: | xilos |
die 1. ableitung bekomm ich ohne probleme hin ;)
3x² + 2bx + c = 0
mit dieser ableitung müsste ich ja die aufgabe a) lösen können ^^
jedoch weiß ich jetzt nicht weiter...
die 2. ableitung ist
6x + 2b
diese brauche ich ja wahrscheinlich für die berechnung des sattelpunktes (jedoch kommt dort kein c mehr darin vor)
wie soll ich also eine beziehung zwischen b und c herstellen?? ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> die 1. ableitung bekomm ich ohne probleme hin ;)
>
> 3x² + 2bx + c = 0
>
> mit dieser ableitung müsste ich ja die aufgabe a) lösen
> können ^^
> jedoch weiß ich jetzt nicht weiter...
Wie löst man eine quadratische Gleichung?
> die 2. ableitung ist
>
> 6x + 2b
>
> diese brauche ich ja wahrscheinlich für die berechnung des
> sattelpunktes (jedoch kommt dort kein c mehr darin vor)
Nicht nur dafür, sondern auch für die Extrempunkte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Mi 21.03.2007 | | Autor: | xilos |
entweder mit der abc formel oder der pq formel ^^
so hab das jetzt gemacht und habe folgendes raus
-2b +- [mm] \wurzel{4b²-12c} [/mm] / 6
auch wenn es nervig ist noch mal die gleiche frage ^^...wie mache ich jetzt weiter??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> -2b +- [mm]\wurzel{4b²-12c}[/mm] / 6
Das ist falsch. Du musst zuerst die Gleichung durch 3 teilen:
[mm] $x²+\bruch{2}{3}bx+\bruch{c}{3}=0$
[/mm]
und dann die p-q-Formel anwenden:
[mm] x_{01/2}=-\bruch{b}{3} \pm \wurzel{\bruch{b²}{9}-\bruch{c}{3}}
[/mm]
Der Ausdruck unter der Wurzel darf nicht negativ werden. Daraus kannst du eine Bedingung für b und c ableiten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mi 21.03.2007 | | Autor: | xilos |
kann ich das nicht mit der abc formel machen ?? o.O
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Ja, das kannst du natürlich, die beiden Ausdrücke sind gleich, nur ist deine Klammerung nicht eindeutig.
Dein Ausdruck [mm] x_1,x_2=\bruch{-2b\pm\wurzel{4b^2-12c}}{6}=\bruch{-2b\pm\wurzel{4(b^2-3c)}}{6}=\bruch{-2b\pm2\wurzel{b^2-3c}}{6}=-\bruch{1}{3}b\pm\bruch{\wurzel{b^2-3c}}{3}
[/mm]
Das ist genau der Term, den Ankh angegeben hat (erweitere bei Ankh den hinteren Bruch unter der Wurzel auf Neuntel, dann steht genau das da.
Zur weiteren Argumentation würde ich dir den Ausdruck hier empfehlen:
[mm] x_1,x_2=-\bruch{1}{3}b\pm\bruch{\wurzel{b^2-3c}}{3}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mi 21.03.2007 | | Autor: | xilos |
d.h. bei der teilaufgabe a) würde
b² - 3c > 0
b² > 3c
als lösung heruaskommen??
und bei der aufgabe c)
b² < 3c
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> d.h. bei der teilaufgabe a) würde
>
> b² - 3c > 0
> b² > 3c
>
> als lösung heruaskommen??
Für alle Teilaufgaben muss die 1. Ableitung eine Nullstelle besitzen, und das ist genau dann der Fall, wenn gilt: $b² [mm] \geq [/mm] 3c$
Die Unterscheidung zwischen Hoch- (a), Tief- (b) und Sattelpunkt (c)geschieht durch die 2. Ableitung.
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