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| Aufgabe | | Geben Sie eine bijektive Funktion f : [0,1] → [mm] {(x_{1},x_{2}) \in R x R | x_{1} \in [−1, 1], (x_{1})^{2} - x_{2} = 0} [/mm] an. Benutzen Sie hierfür auch Schulwissen! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Und schon wieder habe ich ein Problem =(. Dieses mal jedoch eher ein Verständnisfrage.
Also muss ich hier eine bijektive Funktion finden, die in dem Definitonsbereich [0,1] nur maximal 2 y-Werte (hier in dem Fall ja als [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] bezeichnet) hat, für die [mm] (x_{1})^{2} [/mm] − [mm] x_{2} [/mm] = 0 gelten muss und die weiterhin im Intervall [−1, 1] liegen müssen?
Ich habe schon überlegt das mit einer gebrochenrationalen Funktion zu machen, aber das funktioniert ja doch nicht, weil diese ja nicht überall bijektiv sind. Also ich stehe vollkommen auf dem Schlauch... Vielleicht habe ich die Aufgabe auch ganz falsch interpretiert...
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Apropos ich habe noch vergessen, dass die rechte Seite von dem Pfeil eine Menge ist. Ich habe die Mengenklammern vergessen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nebenbei: Du hattest nicht die Mengenklammern vergessen, sondern
in Latex schreibt man sie so \{\}.
Ich hab' nur mal den Backslash jeweils ergänzt!
> Geben Sie eine bijektive Funktion f : [0,1] →
> [mm]\{(x_{1},x_{2}) \in R x R | x_{1} \in [−1, 1], (x_{1})^{2} - x_{2} = 0\}[/mm]
> an. Benutzen Sie hierfür auch Schulwissen!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Und schon wieder habe ich ein Problem =(. Dieses mal jedoch
> eher ein Verständnisfrage.
>
> Also muss ich hier eine bijektive Funktion finden, die in
> dem Definitonsbereich [0,1] nur maximal 2 y-Werte (hier in
> dem Fall ja als [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] bezeichnet) hat,
? Was?
> für die
> [mm](x_{1})^{2}[/mm] − [mm]x_{2}[/mm] = 0 gelten muss und die weiterhin im
> Intervall [−1, 1] liegen müssen?
>
> Ich habe schon überlegt das mit einer gebrochenrationalen
> Funktion zu machen, aber das funktioniert ja doch nicht,
> weil diese ja nicht überall bijektiv sind. Also ich stehe
> vollkommen auf dem Schlauch... Vielleicht habe ich die
> Aufgabe auch ganz falsch interpretiert...
ja, ich weiß nicht, was Du da gemacht hast. Vielleicht fangen wir mal mit
folgendem an:
Was ist die Menge [mm] $\{(r,s) \in \IR^2: r \in [-1,1] \text{ und }r^2-s=0\}$?
[/mm]
(Das ist nur eine Umnotation Deiner Zielmenge!)
Sowas kennst Du eigentlich: Das ist die Menge aller Punkte des [mm] $\IR^2\,,$
[/mm]
für die gilt, dass die zweite Komponente [mm] ($s\,$) [/mm] das Quadrat der ersten
[mm] ($r\,$) [/mm] ist - wobei hier [mm] $r\,$ [/mm] auf den Bereich $[-1,1]$ eingeschränkt ist.
Wenn Du hinguckst, siehst Du eigentlich sofort, dass Du diese Menge
als Graphen einer Funktion beschrieben kannst:
Sei $g: [-1,1] [mm] \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $g(\text{x}):=\text{x}^2\,,$
[/mm]
dann ist der Graph von [mm] $g\,$ [/mm] gerade die oben beschriebene Zielmenge -
d.h. [mm] $f\,$ [/mm] soll eine bijektive Funktion werden, so dass, wenn bei [mm] $f(x)\,$
[/mm]
das [mm] $x\,$ [/mm] das Intervall $[0,1]$ durchläuft, quasi das Bild von [mm] $[0,1]\,$ [/mm]
unter [mm] $f\,$ [/mm] einfach der Bereich der Normalparabel des [mm] $\IR^2$ [/mm] ist, der
durch den Graphen von [mm] $g\,$ [/mm] beschrieben wird.
Du kannst es Dir so vorstellen:
Schreibe nicht [mm] $f(x)\,$ [/mm] für $x [mm] \in [0,1]\,,$ [/mm] sondern [mm] $f(t)\,.$ [/mm] Wir markieren
dann zu einem Zeitpunkt [mm] $t\,$ [/mm] eine Stelle $f(t) [mm] \in \IR^2\,,$ [/mm] und diese
soll dann auf der "durch -1 und 1 begrenzten" Normalparabel liegen, d.h. wo die erste Komponente zwischen $[-1,1]$ liege. Beim Durchlaufen von [mm] $t=0\,$ [/mm] zu [mm] $t=1\,$ [/mm] vervollständigt sich nach und nach das Bild zur
Normalparabel - mit den genannten Grenzen - denn [mm] $f\,$ [/mm] soll ja surjektiv
sein, und kein Punkt "erscheint dicker" als irgendeiner, weil keiner
zweimal übermalt wird. Wir gehen dabei davon aus, dass "doppelt" getroffene Punkte" dicker erscheinen würden.
Nur, damit Du Dir mal ein bisschen was vorstellen kannst.
So, und ich definiere jetzt erstmal ein [mm] $f\,,$ [/mm] was nicht zur Aufgabe passt:
Ich setze $f:[0,1] [mm] \to \{...\}$ [/mm] fest durch [mm] $f(t):=(\;t-1,\;(t-1)^2\;)\,.$ [/mm]
Dann wäre $f([0,1])$ allerdings nur der Graph von obigem [mm] $g\,$ [/mm]
eingeschränkt auf [mm] $[-1,0]\,,$ [/mm] dort wäre [mm] $f\,$ [/mm] aber injektiv und würde
"diesen linken Teil der begrenzten Parabel" auch ganz erfassen.
Versuch' nun halt mal, [mm] $f\,$ [/mm] so umzubauen, dass [mm] $f(1/2)=(\;0,\;0\,)$
[/mm]
gilt und dass Du für $t [mm] \in [/mm] [0,1/2]$ dann den Bereich erfasst, den oben
"meine bzgl. der Aufgabe falsche" Funktion erfasst hat und dann bastle
[mm] $f\,$ [/mm] so, dass [mm] $f(1/2+\epsilon)=f(1/2-\epsilon)$ [/mm] (für alle $0 [mm] \le \epsilon \le [/mm] 1/2$) gilt - und mach' Dir klar, was das bedeutet!
Tipp:
Finde bei
[mm] $f(t):=(\;c*(t-0.5),\;c^2*(t-0.5)^2\;)$
[/mm]
ein passendes [mm] $c\,$ [/mm] und beweise dann Deine Behauptung!
Gruß,
Marcel
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Ich verstehe deine Ausführungen bis f(t):= ( t-1, [mm] (t-1)^{2} [/mm] ). Ich weiß nicht so wirklich was das ist. Ich meine wenn man diese Funktion als Graf zeichnen will, wie sollte man das tun, da da das Komma dazwischen ist? Ich kann damit nicht wirklich was anfangen und mir absolut nicht vorstellen =(.
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Hallo Milchschelle,
> Ich verstehe deine Ausführungen bis f(t):= ( t-1,[mm](t-1)^{2}[/mm] ).
> Ich weiß nicht so wirklich was das ist.
Das ist eine Parameterdarstellung. t wird abgebildet auf einen (Orts-)Vektor oder besser: auf einen 2-Tupel.
Man nimmt diese Form oft bei Kurven, besonders bei solchen, die nicht als Funktion y=f(x) oder umgekehrt dargestellt werden können. Das gilt z.B. für eine Spirale.
> Ich
> meine wenn man diese Funktion als Graf zeichnen will, wie
> sollte man das tun, da da das Komma dazwischen ist?
Geplottet wird der Punkt $(x,y)$ mit $x=t-1$ und [mm] y=(t-1)^2
[/mm]
> Ich
> kann damit nicht wirklich was anfangen und mir absolut
> nicht vorstellen =(.
Grüße
reverend
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Okay, ich habe das jetzt doch verstanden. Das sind einfach nur Punkte, die eine Parabel beschreiben, stimmts?
Deine angegebene Funktion zeigt ja schon den linken Teil von der Funktion , die ich angeben soll. Aber wie soll daraus eine bijektive Funktion werden? Die Normalparabel in dem Bereich von -1 bis 1 ist doch auch nicht bijektiv... versteh das nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Do 25.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] P:=\{(x,y) \in \IR^2: 0 \le x \le 1, y=x^2\}
[/mm]
Die Frage war, gibt es eine Bijektion f: [0,1] [mm] \to [/mm] P ?
Schau Dir mal [mm] f(t)=(t,t^2) [/mm] an.
FRED
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Aber das ist doch keine Bijektion? Das ist ja mein Problem. Das beschreibt doch die Normalparabel und die ja weder injektiv noch surjektiv.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Do 25.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Aber das ist doch keine Bijektion? Das ist ja mein Problem.
> Das beschreibt doch die Normalparabel und die ja weder
> injektiv noch surjektiv.
Natürlich ist das obige f bijektiv ! Du verwechselst etwas: P ist der graph der Funktion g: [0,1] [mm] \to \IR, g(x)=x^2
[/mm]
FRED
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Also ich versuche mal mein Problem in Worte zu fassen. Ich verstehe schon, dass die Zielmenge meiner ursprünglichen Aufgabe die Normalparabel beschreibt, also [mm] x^{2} [/mm] ist. Eine Abbildung wird ja immer von X nach Y abgebildet. Also X-->Y ... Meine x-Werte sind ja hier einzelne Zahlen und ich weiß nicht, wie einzelne Zahlen auf Tupel abgebildet werden, ich wüsste auch nicht wie Tupel auf Tupel agebildet werden. Also ich habe große Probleme mit den Tupeln. Sagen wir mal ein Tupel wäre (1,2) ... Wenn ich dann ein Koordinatensystem aufzeiche, dann würde doch mein Tupel (1,2) einfach nur den Punkte (1,2) beschreiben oder nicht? Also wäre x=1 und y=2. Und so würde sich dann aus dem Tupel [mm] (t,t^{2}) [/mm] die quadratische Funktion zusammensetzen. Sind dann f(x)= [mm] x^{2} [/mm] und f(t)= [mm] (t,t^{2}) [/mm] 2 gleiche Funktionen, nur unterschiedliche Schreibweisen?
Zurück zu meiner Aufgabe: Wie soll denn nun ein einzelner x- Wert auf einen Punkt abbilden bzw. ein Tupel? Weil meine gesucht Funktion soll ja vom Intervall (0,1) --> [mm] (t,t^{2} [/mm] im Intervall (-1,1)) abgebildet werden und zusätzlich bijektiv sein.
Fragen über Fragen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 27.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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