bijektive abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | geg. A,B zwei Mengen, und f: A-->B eine Abb.
[mm] C:=\{(a,b)\in \ AxB | f(a)=b\}
[/mm]
g: C-->A, g(a,b):=a
Zeigen sie dass g bijektiv ist. |
Zunächst einmal muss ich ja injektiv und surjektiv zeigen.
Injektiv:
2 Elemente aus C: [mm] (a_1,b_1) [/mm] und [mm] (a_2,b_2)\in \C
[/mm]
und [mm] g(a_1,b_1)=g(a_2,b_2) [/mm] ==> [mm] (a_1,b_1)=(a_2,b_2)
[/mm]
dass in g(a,b)=a eingesetzt gibt [mm] a_1=a_2
[/mm]
Mein Problem ist jetzt zu ziegen, dass das was oben steht auch stimmt.
wäre euch für ein paar tipps zum weiteren vorgehen sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> geg. A,B zwei Mengen, und f: A-->B eine Abb.
> [mm]C:=\{(a,b)\in \ AxB | f(a)=b\}[/mm]
> g: C-->A, g(a,b):=a
> Zeigen sie dass g bijektiv ist.
> Zunächst einmal muss ich ja injektiv und surjektiv
> zeigen.
> Injektiv:
> 2 Elemente aus C: [mm](a_1,b_1)[/mm] und [mm](a_2,b_2)\in C[/mm]
> und
> [mm]g(a_1,b_1)=g(a_2,b_2)[/mm] ==> [mm](a_1,b_1)=(a_2,b_2)[/mm]
> dass in g(a,b)=a eingesetzt gibt [mm]a_1=a_2[/mm]
>
> Mein Problem ist jetzt zu ziegen, dass das was oben steht
> auch stimmt.
> wäre euch für ein paar tipps zum weiteren vorgehen sehr
> dankbar.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du möchtest zunächst die Injektivität zeigen,
Du sagst völlig richtig, daß Du hierfür zeigen mußt, daß aus [mm] g(a_1,b_1)=g(a_2,b_2) [/mm] folgt: [mm] (a_1,b_1)=(a_2,b_2).
[/mm]
Du hast auch ganz richtig begonnen:
Seien [mm] (a_1,b_1), (a_2,b_2) \in [/mm] C mit
[mm] g(a_1,b_1)=g(a_2,b_2)
[/mm]
==>
[mm] a_1=a_2.
[/mm]
Soweit bist Du gekommen - und damit hast Du immerhin schon die Hälfte dessen, was Du willst.
Zu überlegen ist nun noch, warum auch [mm] b_1=b_2 [/mm] ist.
Schau Dir mal die Menge C an. Welche Zahlenpaare sind da drin?
Die Zahlenpaare (a,b) mit f(a)=b.
Also ist [mm] f(a_1)= [/mm] ... und [mm] f(a_2)=....
[/mm]
Nun hast Du aber bereits herausgefunden, daß [mm] a_1=a_2. [/mm] Also sind auch deren Funktionswerte unter der Abbildung f gleich.
Also???
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
achso, da ich ja weiß das [mm] a_1=a_2 [/mm] ist kann ich das in f(a)=b einsetzen und erhalte dann [mm] f(a_1)=b_1 [/mm] und [mm] f(a_2)=b_2
[/mm]
da [mm] a_1=a_2 [/mm] gilt somit auch [mm] b_1=b_2
[/mm]
ist die Injektivität somit gezeigt?
|
|
|
| |
|
> achso, da ich ja weiß das [mm]a_1=a_2[/mm] ist kann ich das in
> f(a)=b einsetzen und erhalte dann [mm]f(a_1)=b_1[/mm] und
> [mm]f(a_2)=b_2[/mm]
> da [mm]a_1=a_2[/mm] gilt somit auch [mm]b_1=b_2[/mm]
> ist die Injektivität somit gezeigt?
Hallo,
verstanden hast Du's, aufschreiben würd' ich's so:
[mm] a_1=a_2, [/mm] also ist [mm] b_1=f(a_1)=f(a_2)=b_2.
[/mm]
Nun mußt Du nöch ausdrücklich vermerken, daß also somit [mm] (a_1, b_1)=(a_2, b_2) [/mm] ist. Damit kannst Du die Injektivität abhaken.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Danke erstmal für die Hilfe.
Dann muss ich jetzt noch die surjektivität zeigen. da hab ich so meine Probleme.
ich muss mir doch ein [mm] a\in \A [/mm] nehmen und zeigen, dass es dazu ein [mm] (a,b)\in \C [/mm] gibt mit g((a,b))=a.
Wenn das soweit stimmt, was muss ich dann machen.
|
|
|
| |
|
> Danke erstmal für die Hilfe.
>
> Dann muss ich jetzt noch die surjektivität zeigen. da hab
> ich so meine Probleme.
> ich muss mir doch ein [mm]a\in \A[/mm] nehmen und zeigen, dass es
> dazu ein [mm](a,b)\in C[/mm] gibt mit g((a,b))=a.
> Wenn das soweit stimmt, was muss ich dann machen.
Hallo,
das stimmt soweit.
Du mußt das tun, was Du sagst - also ein konkretes Paar aus C vorweisen, welches auf a abgebildet wird.
Naja, [mm] a\in [/mm] A, und was kannst/mußt Du für b nehmen, damit (a,b) in C liegt? Dann g drauf anwenden, und fertig bist Du.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
heißt das also:
ich nehme mir ein [mm] a_1\in \A [/mm] und ein [mm] b_1\in \B [/mm] und [mm] (a_1,b_1)\in \C
[/mm]
wende das auf g an und erhalte dann:
[mm] g(a_1,b_1)=a_1
[/mm]
is hiermit jetzt schon die surjektivität gezeigt?
|
|
|
| |
|
> heißt das also:
> ich nehme mir ein [mm]a_1\in \A[/mm] und ein [mm]b_1\in B[/mm] und
> [mm](a_1,b_1)\in C[/mm]
Naja, damit [mm] (a_1,b_1)\in [/mm] C ist, muß das [mm] b_1 [/mm] ja von einer ganz bestimmten Machart sein. Welches Element aus B mußt Du nehmen? Nicht irgendeins, sondern???
So geht's:
sei [mm] a\in [/mm] A.
Dann ist (a,...) in C, und es ist g((a,...))=a, also ist g surjektiv.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
muss das b wie folgt sein:
[mm] b_1=f(a_1)\in \B
[/mm]
|
|
|
| |
|
> muss das b wie folgt sein:
> [mm]b_1=f(a_1)\in B[/mm]
Hallo,
ja, so muß es sein. Die Paare in C, einer Teilmenge von AxB, haben ja nach Def. alle die Gestalt (a,f(a)). (f(a) ist in B, weil die Funktion f so definiert ist.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi, du hast mir echt super viel geholfen. ich hab jetzt nochmal alles zusammen aufgeschrieben. vielleicht kannste ja noch mal drübergucken ob das so geht.
z.z g ist bijektiv, also g injektiv und surjektiv
g injektiv:
[mm] (a_1,b_1), (a_2,b_2)\in \C [/mm] mit [mm] g(a_1,b_1)=g(a_2,b_2) [/mm] ==> [mm] a_1=a_2
[/mm]
[mm] b_1=f(a_1)=f(a_2)=b_2
[/mm]
==> [mm] (a_1,B_1)=(a_2,b_2)
[/mm]
g surjektiv:
[mm] (a_1,b_1)\in \C [/mm] mit [mm] g(a_1,b_1)=a_1
[/mm]
sei [mm] a_1\in \A [/mm] und [mm] b_1=f(a_1)\in \B
[/mm]
[mm] g(((a_1,f(a_1)))=a_1
[/mm]
==> g ist bijektiv
kann man das so schreiben?
|
|
|
| |
|
Hallo,
laß vor den Mengen die Backslashes weg, dann erscheinen sie auch im Post.
> z.z g ist bijektiv, also g injektiv und surjektiv
>
> g injektiv:
Zu zeigen: ...
Beweis:
>
Es seien
> [mm](a_1,b_1), (a_2,b_2)\in C[/mm] mit [mm]g(a_1,b_1)=g(a_2,b_2)[/mm] ==>
> [mm]a_1=a_2[/mm]
(nach Def. von g)
Da [mm] (a_1,b_1), (a_2,b_2) [/mm] aus C sind, ist also
> [mm]b_1=f(a_1)=f(a_2)=b_2[/mm].
Damit hat man [mm] a_1=a_2 [/mm] und [mm] b_1=b_2, [/mm] also folgt
>
> ==> [mm](a_1,B_1)=(a_2,b_2)[/mm],
und somit ist g injektiv.
>
> g surjektiv:
Zu zeigen: für jedes a [mm] \in [/mm] A findet man ein
> [mm](a_1,b_1)\in C[/mm] mit [mm]g(a _1,b_1)=a[/mm]
Beweis:
>
> sei [mm]a \in \A[/mm].
Wähle [mm] a_1:=a
[/mm]
Dann ist nach Def. von f
> [mm]b_1:=f(a_1)\in \B[/mm],
und nach Def. von C ist [mm] (a_1, f(a_1))=(a, [/mm] f(a)) [mm] \in [/mm] C.
Nach Def. von g ist
>
> [mm]g(((a,f(a)))=a[/mm],
also ist g surjektiv.
g ist injektiv und surjektiv
> ==> g ist bijektiv
>
> kann man das so schreiben?
Ich hab's noch 'nen bißchen frisiert, aber es war im Prinzip stimmte das so.
Beachte die (teilweise nicht mehr vorhandenen) Indizes bei der Surjektivität - das ist Absicht!
Gruß v. Angela
|
|
|
|
